甘肃省兰州市某中学2025-2026学年高二年级上册期中考试数学试卷（解析版）

西北师大附中

2025.2026学年第一学期期中考试试题

高二数学

一、单选题：(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的).

I.在数列1,2,如，…中，2如是这个数列的()

A.第16项B.第24项C.第26项D.第28项

【答案】C

【解析】

【详解】数列可化为Vf,j3xl+l,j3x2+l,j3x3+l,・・、j3x4+l,・・・,

所以an=^3x(/?-1)+1=j3〃-2,

所以扃=，=2M=J拓，解得〃=26,所以2M是这人数列的第26项，故选C.

2.已知直线/经过点P(LO),且方向向量炉=(1,2),则/的方程为()

A.x+2y-2=OB.2x-y-2=0C.x+2y-l=0D.x-2y-\=0

【答案】B

【解析】

【分析】由直线的方向向量求出斜率，再由点斜式得到直线方程即可.

【详解】因为直线/的方向向量3=(1,2),所以直线的斜率为2,

又直线/经过点打1,0),所以直线方程为y—0=2(x—l),即21一)，-2二0.

故选：B.

3.已知，〃为实数，直线4：皿+k1=0,白(3加一2卜+〃7)-2=0,若“〃2,则实数用的值

A.2B.1C.1或2D.0或4

3

【答案】B

【解析】

【分析】根据直线平行的等价条件，求出加的值；

【详解】解：当加=0时，两直线方程分别为y-l=o和一2%一2=0,不满足条件.

、r,八M.i1m3，〃-2m-2

当in工0时，则4〃/,,•.-------=一工一，

m1-1

由四二=:得〃，一3〃2+2=0得〃7=1或〃7=2,

m1

iH—2

由；w1■得机。2,则根=1,

1—1

故选:B

【点暗】本题考查两直线的位置关系求参数的值，属于基础题.

4.从分别写有1,2,3,4,5,6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4

的倍数的概率为()

11八22

A.—,B.-C.-D.一

5353

【答案】C

【解析】

【分析】方法一：先列举出所有情况，再从中挑出数字之积是4倍数的情况，由古典概型求概率即可.

【详解】［方法一］:【最优解】无序

从6张卡片中无放回抽取2张，共有

(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(Z6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)15种情

况，其中数字之积为4的倍数的有(1.4),(2,4),(2,6),(3,4),(4,5),(4,6)6种情况，故概率为卷=今

［方法二］：有序

从6张卡片中无放回抽取2张，共有

(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6),(2,1),(3,

1),(4,1),(5,1),(6』)。2),(4,2),(5,2),(6,2),(4,3),(5,3),(6,3),(5,4),(6,4),(6,5)30种情况，

其中数字之积为4的倍数有(1,4),(2,4),(2,6),(3,4),(4』),(4,2),(4,3),(4,5),(4,6),(5,4),(6,2),(6,4)12种情况,故概率

122

为一=—.

305

故选：C.

【整体点评】方法一：将抽出的卡片看成一个组合，再利用古典概型的概率公式解出，是该题的最优解；

方法二：将抽出的卡片看成一个排列，再利用古典概型的概率公式解出；

5.设等差数列｛q｝的前〃项和为S,r.若S2Vs3<0.则下列结论中IF确的是()

A.4<0B.七一4<0

C.4+4<°D.a4>yja3-a5

【答案】D

【解析】

【分析】根据52Vs3<0,可得例>0，a2<o,从而可判断AB,举出反例即可判断C,根据等差数列

的性质结合基本不等式即可判断D.

【详解】解：因为S2Vs3<0,

所以S3-S2=〃3>。，故A错误；

$3=3生<。，所以/<°，

则公差2=4-42=。2一q>0,故B错误；

所以等差数列｛/｝为递增数列，

则%>0,%>0，

则〃3+生》2“「生，

所以2%=q+G>21a台.%，

所以。4>1空•%，故D正确；

对于C,当q=-3/=2时，

生=-1必=1,S2=-4<S3=-3<0o

此时的+〃3=0,故C错误.

故选：D.

6.已知数列｛q｝满足4=不，。川=1一一，则%)25=()

A.-1B.2C.3D.g

【答案】B

【解析】

【分析】由递推关系式可知数列｛4｝是周期为3的周期数列，杈据周期性可得结果.

,11

【详解】由4+1=1--,«1=-,贝%=2,

*2

=-1=-11

Qa夕11t=

所以-4+11__L1一为

4

所以数列数列｛《,｝是周期为3的周期数列，则的3=%=2.

故选：B.

7.实数乂y满足f+y?=2x-2y,则|工一丁+3|的最小值为（）

A.3B.7C.-72D.3+72

【答案】A

【解析】

【分析】化简/+）,2=2工一2），可得（工一1）2+（丁+1『=2,I）一y+3|表示为圆上点到直线；r>+3=0

距离的拉倍，运用几何法求解即可.

【详解】化简d+）,2=2x—2y可得（X-1）2+（），+1）2=2,即（x,y）在圆上，

则1工->'+3|表示为圆上点到直线工-），+3=（）距离的血倍，

圆心（1,一1）到直线距离为d=爰,

则|x-y+3|的最小值为

故选：A

8.已知数列｛q｝满足4=1，a向=苜〃wN"）.记数列｛%｝的前〃项和为S“，则（）

:2

A.裔

、〃+1

B-4+1>-----生

〃+31

3

C.5<邑025V3

D.4VS2025<5

【答案】C

【解析】

【分析】由4=1，

1_1___]_

t,从而故再利用累加法求解：由

4a2,

ci/〃+1。“+]/+1

n-得到才“有‘再利用累乘法求解•

,凡I3

【详解】因为4=1，4向=1+,所以4”>0，。2=万，所以S2025A4+42=-'

、2

1141

而———<

2J4

111111

故-/=百<5

1,77-1〃+14_

由累加法可得当〃22时，-7=<1+尸则

2H4-1)2

4、4

又因为当〃=1时.，an=~一下■也成立，所以q之；—

"1(〃+1)

即,之

—，A选项错误;

〃+1

八11

4<—4—5I±L<

所以"”“=1+阮n+3a1

7/4-3»B选项错误,

1+—

〃+1

故"〃-1a2

〃*3------，…,—23—,

n+2an_2〃+1aA4

由累乘法可得，当2时,

nn-\n-2326

------x------x-------x...x—X-=------------------=6—

〃+277+1n54(〃+2)(〃+1)、〃+1n+2

小+/—1\

所以§2025

(34455620262027

11<1+2=3,所以■!<$2025V3,C对D错.

1+6

(32027；

故选：C

二、多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求，都选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分）

9.已知甲罐中有四个相同的小球，标号为1,2,3,4；乙罐中有三个相同的小球，标号为I,2,3.从甲

罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件A="抽取的两个小球标号之和大于5”，事件8="抽取的两个

小球标号之积小于6”，则（）

A.事件A发生的概率为!B.事件AU8发生的概率为2

46

C.事件AB是互斥事件D.事件A,B相互独立

【答案】ABC

【解析】

【分析】A选项，列举出两个小球标号之和大于5的情况，从而得到尸（A）；B选项，列举出抽取的两个小

球标号之积小于6的情况，从而得到AU3中共有情况数，得到P（4UB）；C选项，计算出P（AD8）=。，

得到C正确;D选项，F（A。％）工产（A）7（8）,D错误.

【详解】A选项，从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，共有4x3=12种情况，

其中抽取的两个小球标号之和大于5的情况有：（3,3）,（4,2）,（4,3）,共3种情况，

31

故网力=，=一，A正确；

v7124

B选项,抽取的两个小球标号之球小于6的情况为:（1,1）,（1,2）,（1,3）,（2,1）,（2,2）,（3,1）,（4,1）,共7种

情况，

故AU8中共有3+7=10种情况，故P（AUB）="=m，B正确：

126

C选项，由于事件中无相同情况，故尸（408）=0,所以件是互斥事件，C正确；

D选项，因为P（AD8）工尸（4）/（8）,事件A8不互相独立，D错误.

故选：ABC

3

10.直线4的方程为x+2y-4=0,若在1轴上的截距为5,且4则下列说法正确的是（）

A.直线，2关于点（。，。）对称的直线经过点（-1，-2）

B,直线4与。的交点坐标为（2』）

C.已知直线4经过4与6的交点，且在）'轴上的截距是在x轴上的截距的2倍，则&的方程为

2x4-j-5=0

D.已知动直线&经过4与4的交点，当原点到4的距离最大时，点(4,2)到4的距离为不

【答案】ABD

【解析】

【分析】对于A,由题可得4方程，可得，2过点(|，2)，据此可判断选项正误；对于B,由A分析可得交

点坐标；对于C,考虑直线过原点及直线横纵截距全不为。两种情况，可判断选项正误；对于D,由题可得

4方程，然后由点到直线距离公式可判断选项正误.

【详解】对于A,由4二一；,/11,/2,可知勺=2,由在x轴上的截距为g知4过点(看0),

所以直线，2方程为)即2x—y—3=0.令x=|,得y=2,即直线乙过点

(5、

所以直线/,关于点(0,0)对称的直线经过点一；7，一2,故A正确；

-I2)

x+2y-4=0(x=2,

对于B,联立Lc八，解得《「即直线4与4的交点坐标为(2,1).故B正确；

2x-y-3=0=l

对FC,当直线g经过4与4的交点且过原点时，方程为)'=gx，即x-2y=0,满足题意；

XvS

当直线。不过原点时，设直线4的方程为一+上二1(。工0),将点(2,1)代入可得。二不，所以直线4的方

a2a2

程为2x+y-5=().

综上，满足条件的直线4的方程为工一2)，=。或2x+)，-5=().故C错误；

对FD,由题意过点(2,1)的动直线中，到原点距离最大的直线与原点和(2,1)的连线垂直，故比时直线％的

斜率为左二一卜一2,

2

|2x4+2-5|q

所以直线4为)-1二一2(工—2),即2x+y—5=0,所以点(4,2)到'的距离为五+f=非,故D

正确.

故选：ABD

11.已知数列｛〃”）满足4=1,。“+1=〃；+〃“，则（）

A.｛小｝是递增数列B.an>n

202D.jJ-」“

C.a2022<2'

q+1a2+1an+1

【答案】ABD

【解析】

【分析】由递推公式和4：>0可判断A,由数列递增和4=1可判断B,由递推公式知4川>〃；可判断

C,对递推公式取倒裂项，然后累加、放缩可判断D.

【详解】因为41=1，。用=。；+册，所以故A正确:

易知，所以句为正整数，又｛m｝是递增数列，所以4故B正确;

123*522

由递推公式得：生=2必=6>4,又%+i>〃；，所以4>4?,a5>（4）=4»

。6>92~）=42t,易知出022>4”>2?叫故C不正确;

1111

取倒得一=———-=--------7,则由累加法得

47。”（4+1）。〃4+1

1八111

又一>°所以一7+——;+•••+——7<1

〃向4+1%+1/+1

故迄ABD

三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分）

12.直线/经过直线4：工一2），+4=0和/2：工+》-2=0的交点?，且与直线/3：3%-4），+5=0平行，则

直线U3间的距离为.

3

【答案】-##0.6

5

【解析】

【分析】先设/的方程为3x-4），+〃z=0,求出//的交点代入求得“，得直线/的方程，再利用两平行直

线间的距离公式即可得解.

【详解】•・,直线/与直线/3：3工-4)，+5=0平行

故设/的方程为3x-4y+=0,

^-2y+4=0x=0/、

联立《C八，解得y=2''PM)

x+y-2=0

乂因为点尸在直线/上,

.*.3x()-4x2+m=0,解得加=8,

所以直线/方程为3x-4y+8=0,

|8-5|3

所以直线/,4间的距离为出2+(_4)2=5,

故答案为:—.

13.某大学选拔新生进“篮球”“电了竞技”“国学”三个社团，据资料统计，新生是否通过考核选拔进入这三

个社团相互独立.某新生参加社团时，假设他通过考核选拔进入该校的“篮球”“电子竞技”“国学”三个社团的

113

概率依次为〃?,一,〃，已知三个社团他都能进入的概率为一，至少进入一个社团的概率为一，则/〃+〃=

3244

3

【答案】-##0.75

4

【解析】

【分析】利用独立事件的概率公式可得关于相，"的方程组，从而可求加+〃的值.

【详解】设该新生“进入篮球社团”为事件A,“进入电子竞技社团”为事件4,“进入国学社团”为事

件C,

则：”三个社团他都能进入”的概率为P(A8C)=W=/，

“至少进入一个社团”的概率为1-P(ABC^=l-(l-f//)x-|x(l-//)=1,

±

mn=,故，〃+〃=之，

整理得到~8

(1-邛+九)+历=；4

3

故答案为：-

4

14.在数1和100之间插入〃个实数，使得这〃+2个数构成递增的等比数列，将这〃+2个数的乘积记作

再令M=lgT(〃€N),则数列｛凡｝的通项公式是

【答案】an=〃+2（〃£N"）

【解析】

【分析】记这〃+2个数构成递增的等比数列为{4},则由4=1,々+2=100，可求得（，代入

%=怆（即可得出答案.

【详解】记这〃+2个数构成递增的等比数列为抄“},则由4=1,%2=100,

由7；=4•%L•%。+2,贝乂工了=伍・%2）（*%）…①2-4）=io（r2，

n+2n+2

.•.7；=100亍，故%=lgl00亏=〃+2・

故答案为：aa二〃+2（〃£N）

四、解答题：（本题共5小题，共77分•解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.己知VA8C顶点4（1,2）、〃（一3,-1）、C（3,-3）.

（1）求边8C的垂直平分线4的方程：

（2）若直线乙过点A，且，2的纵截距是横截距的2倍，求直线的方程.

【答案】⑴3x-y-2=0

（2）y=21或2工+），-4=0

【解析】

【分析】（1）根据3（—3,-1）、。（3,-3）,即可得3c中点及斜率，进而可得其中垂线方程；

（2）当直线4过坐标原点时可得直线方程；当直线不过坐标原点时，根据直线的截距式可得解.

【小问I详解】

由8（—3,—1）、C（3,—3）,

可知8C中点为（0,—2）,且左花=j（,3：=一g，

所以其垂直平分线斜率满足用•原c=-l，即4=3,

所以边BC的垂直平分线/,的方程为j-（-2）=3（x-0）,即3/-y-2=0；

【小问2详解】

2

当直线A过坐标原点时，他=1=2,此时直线/2：,'=2工，符合题意;

当直线不过坐标原点时，由题意设直线方程为±+工=1,

■a2a

i2

由4过点A（l,2）,则,十五=1,解得〃=2,

所以直线/,方程为巳+2=1,即2x+y-4=（）,

■24

综上所述，直线&的方程为）'=2,丫或2x+）」4=0.

16.某社区举办《“环保我参与”有奖问答比赛》活动，某场比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关

31

环保知识的问题.已知甲家庭回答正确这道题的概率是一，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是一，乙、

412

内两个家庭都回答正确的概率是L若各家庭回答是否正确互不影响.

4

（1）求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率；

（2）求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率.

32

【答案】（1）

83

⑵看

【解析】

【分析】（1）记“甲家庭答对这道题“、“乙家庭答对这道题“、“丙家庭答对这道题”分别为事件A,B,C,

。⑷尸©4

由题意得｛,可解出?仍），尸（C）.

p（8｝p（c）=a

（2）先得出外二尸（，月和6二尸（A月C+ZBC+Z月C）,由对立事件概率可得结果.

【小问1详解】

记“甲家庭答对这道题“、“乙家庭答对这道题”、“丙家庭答对这道题”分别为事件A，R,C,

[1-P（A）][1-P（C）]二!

尸（可MG二三

31乙

则P（A）=]且有｛即，

尸（8）・P（C）=[尸⑻P（C）=：'

3，2

所以P（5）=6,P（C）=W.

oD

【小问2详解】

有0个家庭回答对的概率为/?）=P（^C）=P（A）P（fi）F（C）=lx|xl=A,

有1个家庭回答对的概率为

P=P（/\BC+>4BC+^BC）=-x-xl+-x-xi+lx-x-=—,

11,48348348324

5721

所以不少于2个家庭回答对这道题的概率为P=l-7?-/]=l--.

）962432

17.已知数列｛。“｝为等差数列，数列｛勿｝为正项等比数列，且满足4=々=1,%=%+】，6=4+1.

（1）求数列｛4｝和｛匕｝的通项公式;

（2）设却二+或，求数列｛%｝的前2"项和S?〃.

M

【答案】（1）=2/2-1；bn=2-'

22〃+1

+4〃

_§一（4〃+1）（4〃+3）

【解析】

【分析】（1）利用等差数列等比数列公式即可求解两个数列的通项;

（2）利用裂项相消法和等比数列求和公式即可求和.

【小问1详解】

设数列｛q｝的公差为d,数列｛"｝的公比为以9>0）,

[1+4二4+1c

则卜4"=八1'解得：〃r=2,

所以数列｛《,｝的通项公式为4,=4+（〃-1"=1+2（〃-1）=2〃-1；

数列也,｝的通项公式a=久•/=1-2"T=2j

小问2详解】

二土地"伽一】）；2〃+3产H

数列｛%｝的前2〃项和S2n=c^c2+c3+……+%_i+c2n.

<4/2—34/?+1）4/7—I4〃+3,

+（2°+2'+22++22,,-2+22^）.

UlI11]11—22〃

41134〃+l4n+3J1-2

if48H+4)।12/2+1

4(3(4〃+l)(4〃+3)J3(4〃+l)(4〃+3)

宗而端寸

18.已知圆C过A（4,l）,B（0,l）,M（2,3）三点,直线/:y=x+2.

（1）求圆。的方程；

（2）求圆C关于直线/对称的圆。的方程；

（3）若尸为直线/上的动点，。为圆。上的动点，。为坐标原点，求IOPI+IPQI的最小值.

【答案】(1)(x-2『+(y-iy=4

⑵(X+1)2+(J?-4)2=4

(3)V17-2

【解析】

【分析】（1）设出圆的标准方程，代入点的坐标求解出参数则圆的方程可知；

（2）根据斜率关系和中点关系求解出对称点C的坐标，结合对称圆的半径不变求解出圆C的方程；

（3）根据圆外一点到圆上点距离的最值可知|。尸|+|尸。|可。尸|+归。一2,然后利用对称关系将

|。4+|尸。转化为|0尸|+|PC|,结合三点共线可求最小值.

【小问1详解】

设圆的方程为（X—4+（y-b『=/上＞（））,代入人4,1）,5（0,1）,M（2,3）,

（4-4+（一『=/

a=2

则＜（-力+（1-〃『=/，解得，b=l,

（2-疗+（3叫2=产r=2

所以圆C的方程为（工一2）2+（》一1）2=4；

小问2详解】

设

n—\«,

X1=-11

m-2m=-\，/、

由对称关系可知,；c，解得《，，所以。（一1,4）,

〃+1"2+2c〃=4

---=-----+2

22

乂因为对称圆的半径不变，

所以C的方程为（x+l『+（＞一4『二4：

【小问3详解】

因为|08+归@引oH+i~q_2,

由（2）可知。关于直线/的对称点为C',

所以|呼+1尸。|=|+仍。'|习OC[=71+16=V17,

当且仅当O,P,C共线时取等号，

所以|0尸|+|尸。|之如一2,即的最小值为JF7—2.

19.设数列｛〃.｝的前〃项和为S“，若对任意的〃wN"都有S2.=AS〃（左为常数），则称数列｛4｝为“和

等比数列”，其中攵为和公比.已知也｝是首项为1，公差不为0的等差数列，且也｝是“和等比数列”，设

方，数列£｝的前〃项和为却

（1）求数列也｝的和公比；

3/7+4

（2）若不等式7；-予丁2对任意的〃wN*成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）4

3

⑵（i，5）

【解析】

【分析】⑴设等差数列也｝的数差为d,前〃项和为A”,由｛2｝是“和等比数列”,所以凡“=桃，•化

简可得Z的值;

3〃+4

(2)由(1)可知％二号，由错位相减得出再设匕二北