2026年六年级下册奥数培优讲义：等差数列求和及应用（知识梳理+例题讲解+提升练习）原卷版+解析

专题17等差数列求和及应用

I知识点梳理I

一、基本概念

等差数列是小升初奥数核心考点，指从第二项开始，每一项与前一项的差值都固定不变的数列,

这个固定差值叫公差，数列的第一个数叫首项，最后一个数叫末项，数列中数的总个数叫项数，

所有数的总和叫数列和。

关键要素：

1.首项：数列的第一个数，用字母町表示

2.末项：数列的最后一个数，用字母由表示

3.公差：相邻两项的固定差值，用字母"表示

4.项数：数列中数的总个数，用字母〃表示

5.数列和：所有项相加的结果，用字母S”表示

示例：数歹”,3,5,7,9

首顶用=1,末项%=9,公差d=2,项数〃=5,和S〃=25

二、核心公式（必背）

1.求和公式

S〃=（首项+末项）x项数+2

文字理解：等差数列的和等于首尾两项的平均数乘项数

2.求项数公式

项数=（末项-首项户公差+1

文字理解：用总差值除以公差，得到间隔数，间隔数加1就是项数

3.求末项公式

末项=首项+（项数-l）x公差

文字理解：首项加上（项数-1）个公差，就是最后一项

4.求首项公式

首项=末项-（项数T）x公差

5.求公差公式

公差=（末项-首项）+（项数-1）

三、核心解题方法

对标定义新运算的解题逻辑，等差数列也有三类核心方法：

1.直接套用法（基础）

已知首项、末项、项数，直接代入求和公式计算，无需额外推导。

2.先求关键量法（进阶）

题目未直接给出项数/末项，先通过公式求出缺失的关键量，再代入求和。

3.逆向推理法（综合）

已知数列和、首项、公差等条件，反求项数、末项、首项等未知量，需列方程求解C

四、常见题型

1.直接求和型：给出完整数列，直接计算总和

2.关键量求解型：己知部分量，求项数、末项、公差

3.逆向反求型：已知和，反求项数、首项等未知量

4.生活应用型：结合植树、楼层、阶梯、日期等实际场景出题

।例题讲解I

一、基础题（直接套用法）

例1：求等差数列2,4,6,8,10,12的和。

解题步骤：

确定关键量：首项=2,末项=12,项数=6

代入求和公式：（2+12）x6-2=14x6-2=42

跟踪练习1：计算等差数列5,10,15,20,25的和。

答案：（5+25）x5+2=75

解析：直接确定首项、末项、项数，代入公式快速计算。

例2：已知等差数列首项3,天项15,项数7,求数列和。

解题步骤：

直接套用求和公式：（3+15）x7+2=18x7+2=63

跟踪练习2：首项1,末项19,项数10,求和。

答案：（l+19）xl（R2=100

二、进阶题（先求关键量法）

例3：求等差数列3,7,11,15,…,43的和。

解题步骤：

求公差：7-3=4,公差d=4

求项数:（43-3）-4+1=40-4+1=11

求和：（3+43）x11+2=46x11+2=253

跟踪练习3：求数列5,10,15,…,100的和。

答案：1050

解析：公差=5,项数=（公0-5）+5+1=20,和=（5+100）x20+2=1050

例4：等差数列首项2,公差3,第15项是多少？

解题步骤：

代入末项公式：2+（15-1）x3=2+42=44

跟踪练习4：首项6,公差4,求第20项。

答案：64-（20-1）x4=82

三、挑战题（逆向推理+生活应用）

例5：一个等差数列首项是4,公差是3,所有数的和是247,求这个数列的项数。

解题步骤：

设项数为〃，末项=4+（〃-1）x3=3〃+1

代入求和公式：（4+3〃+l）x〃+2=247

化简：（3〃+5）〃=494,试数得〃=13

跟踪练习5：等差数列末项30,公差2,和240,求首项。

答案：10

解析：设项数为〃，30=首项+[〃T）x2；（首项+30）x〃+2=240,联立解得首项=10。

例6（生活应用）：小明爬楼梯，从1楼到5楼用了20秒，每层楼梯台阶数成等差数列，1楼

到2楼有10级，每层比上一层多2级，求5楼一共有多少级台阶？

解题步骤：

确定数列：10,12,14,16（1-2楼到4-5楼，共4项）

首项=10,末项=16,项数=4,公差=2

求和：（10+16）x4+2=52（级）

提升练习

1.一堆圆木的每一层都比下一层少2根，最上面一层（第1层）有10根，第16层有（）。

A.40根B.42根C.44根D.46根

2.50个盒子都装有棋子，且每盒装的棋子个数互不相同，那么这50个盒子装的棋子总数最

少是（）o

A.1000个B.1225个C.1275个D.2550个

3.对任何自然数n,和数l+2+...+n的个位数字不可能是（

A.2；4；7；9B.4；6；7；9C.6；2；7；9D.2；6；9E.6；9

4.光明农场饲养员张叔叔专门负责养鸽子，为了方便查看，他给每只鸽子都编了号：1、2、3、

4、5、6,…一天，他计算鸽子编号总和时发现与以往不同，是2023.若飞走的鸽子数的最大值

为m,而飞走的鸽子编号的最大值为n,则（m,n）=（）。

A.（10,57）B.（11,57）C.（10,58）D.（15,88）E.以上都不

对

5.如图，将连续的奇数1,3,5,7,9,11,…按5个一行排列成如下的数表，当十字框的

中心处于从上往下数第185行第4个数时，十字框中的5个数的和是（）。

13579

II13151719

2123252729

3133153739

・••

A.7635B.9235C.10135D.10235

6.小明在计算器上从1开始，按自然数的顺序做连加练习，当他加到某一数时，结果是1991,

后来发现中间漏加了一个数，那么漏加的那个数是(：)o

A.24B.25C.28D.29

7.计算：1+2—3+4+5—6+7+8—9+…+37+38—39=(),)

8.有这样一列数，第一个数为I,后一个数比前一个数大3,这列数的最后一个数为106.这

列数共有个数。

9.己知一个等差数列的前15项之和为450,前2()项之和为7(X),请问：这个数列的首项是

10.在YMO课堂上，老师先在黑板上写了一个等差数列，然后又擦去了其中的大部分数，只

留下第三个数31和第十个数73,请问老师开始写下的第一个数是_______o

11.张超练习弹钢琴，他第一天弹了35分钟，之后每一天都比前一天多弹10分钟，他第四天

弹钢琴()分钟。

12.一条直路上依次放有31块石头，相邻两块石头的距离都是1.8米，一个机器人从放第一

块石头的地方开始，将全部石头都搬到中间的位置，且每次只能搬一块石头。机器人搬完这些

石头一共需走_______米。

13.小军将2007年共365张的某报纸合订本全部拆开，然后将拆下来的报纸重新分成若干薄

本，使每一本的报纸张数都不相同。那么小军最多可以将这些报纸分成本。

14.桌上放着若干堆棋子，每堆棋子数量互不相同，且数量都不超过100颗。其中任意三堆棋

子可以平均分成3份，任意四堆棋子也可以平均分成四份。己知其中一堆有9颗棋子，则桌上

放的棋子总数最多是______颗。

15.用合适的方法计算下面各题。

1+3+5+7+…+95+97+99

23x2x4+25x4x2+27x1x8+25x8x1

16.计算：1+11+21+…+191+201+211。

17,等差数列2、5、8、11…共有31项，这31项的和是多少？

18.有9个朋友聚会，见面时如果每个人和其余的每个人只能握一次手，那么9个人共握多少

次手？

19.有数组(1,1,1),(2,4,8),(3,9,27),求第100组的三个数之和.

20.安康市体育场南看台有30排座位，每后面一排都比前一排多2个座位，最后一排有132

个座位，体育场南看台共有多少个座位？

21.把64颗糖果分装在4个袋里，从第二袋开始，每袋都比前一袋多2颗糖果，该怎么分?

22.有一堆粗细均匀的圆木，堆成如图的形状，已知最上面一层有6根，共堆了25层.请问:

这堆圆木共有多少根？

23.一个5x5的方格表中，每个小方格内填有一个数，并且表中的每一行、每一列的数都构成

等差数列.已知任取n个方格，只要知道了这些方格中的数，就可以把方格表补填完整，那么，

n的最小值是多少？

24.小悦读一本课外书，第一天读了15页，以后每天都比前一天多读3页，最后一天读了36

页，刚好把书读完.请问：小悦一共读了多少天？这本课外书共有多少页？

专题17等差数列求和及应用

I知识点梳理I

一、基本概念

等差数列是小升初奥数核心考点，指从第二项开始，每一项与前一项的差值都固定不变的数列,

这个固定差值叫公差，数列的第一个数叫首项，最后一个数叫末项，数列中数的总个数叫项数，

所有数的总和叫数列和。

关键要素：

1.首项：数列的第一个数，用字母可表示

2.末项：数列的最后一个数，用字母由表示

3.公差：相邻两项的固定差值，用字母"表示

4.项数：数列中数的总个数，用字母〃表示

5.数列和：所有•项相加的结果，用字母S“表示

示例：数列1,3,5,7,9

首项。］=1,末项。〃=9,公差"=2,项数〃=5,和S〃=25

二、核心公式（必背）

1.求和公式

S〃=（首项+末项）x项数+2

文字理解：等差数列的和等于首尾两项的平均数乘项数

2.求项数公式

项数=（末项-首项户公差+1

文字理解：用总差值除以公差，得到间隔数，间隔数加1就是项数

3.求末项公式

末项=首项+（项数T）x公差

文字理解：首项加上（项数-1）个公差，就是最后一项

4.求首项公式

首项=末项-（项数T）x公差

5.求公差公式

公差=（末项-首项）+（项数-1）

三、核心解题方法

对标定义新运算的解题逻辑，等差数列也有三类核心方法：

1.直接套用法（基础）

已知首项、末项、项数，直接代入求和公式计算，无需额外推导。

2.先求关键量法（进阶）

题目未直接给出项数/末项，先通过公式求出缺失的关键量，再代入求和。

3.逆向推理法（综合）

已知数列和、首项、公差等条件，反求项数、末项、首项等未知量，需列方程求解C

四、常见题型

1.直接求和型：给出完整数列，直接计算总和

2.关键量求解型：己知部分量，求项数、末项、公差

3.逆向反求型：已知和，反求项数、首项等未知量

4.生活应用型：结合植树、楼层、阶梯、日期等实际场景出题

f例题讲解i

一、基础题（直接套用法）

例1：求等差数列2,4,6,8,10,12的和。

解题步骤：

确定关键量：首项=2,末项=12,项数=6

代入求和公式：（2+12）x6-2=14x6-2=42

跟踪练习1：计算等差数列5,10,15,20,25的和。

答案：（5+25）x5+2=75

解析：直接确定首项、末项、项数，代入公式快速计算。

例2：已知等差数列首项3,天项15,项数7,求数列和。

解题步骤：

直接套用求和公式：（3+15）x7+2=18x7+2=63

跟踪练习2：首项1,末项19,项数10,求和。

答案：（l+19）xl（R2=100

二、进阶题（先求关键量法）

例3：求等差数列3,7,11,15,…,43的和。

解题步骤：

求公差：7-3=4,公差d=4

求项数:（43-3）-4+1=40-4+1=11

求和：（3+43）x11+2=46x11+2=253

跟踪练习3：求数列5,10,15,…,100的和。

答案：1050

解析：公差=5,项数=（公0-5）+5+1=20,和=（5+100）x20+2=1050

例4：等差数列首项2,公差3,第15项是多少？

解题步骤：

代入末项公式：2+（15-1）x3=2+42=44

跟踪练习4：首项6,公差4,求第20项。

答案：64-（20-1）x4=82

三、挑战题（逆向推理+生活应用）

例5：一个等差数列首项是4,公差是3,所有数的和是247,求这个数列的项数。

解题步骤：

设项数为〃，末项=4+（〃-1）x3=3〃+1

代入求和公式：（4+3〃+l）x〃+2=247

化简：（3〃+5）〃=494,试数得〃=13

跟踪练习5：等差数列末项30,公差2,和240,求首项。

答案：10

解析：设项数为〃，30=首项+[〃T）x2；（首项+30）x〃+2=240,联立解得首项=10。

例6（生活应用）：小明爬楼梯，从1楼到5楼用了20秒，每层楼梯台阶数成等差数列，1楼

到2楼有10级，每层比上一层多2级，求5楼一共有多少级台阶？

解题步骤：

确定数列：10,12,14,16（1-2楼到4-5楼，共4项）

首项=10,末项=16,项数=4,公差=2

求和：（10+16）x4+2=52（级）

提升练习

1.一堆圆木的每一层都比下一层少2根，最上面一层（第1层）有10根，第16层有（）。

A.40根B.42根C.44根D.46根

【答案】A

【分析】第2层比第1层多2根，第3层比第1层多2个2根，第4层比第1层多3个2根,

以此类推，第16层比第1层多了15个2根，即可得出答案。

【详解】10+2x（16-1）

=104-2x15

=10+30

=40（根）

故答案选：A

2.50个盒子都装有棋子，且每盒装的棋子个数互不相同，那么这50个盒子装的棋子总数最

少是（）o

A.1000个B.1225个C.1275个D.2550个

【答案】C

【分析】要使50个盒子的棋子总数最少，需每个盒子的棋子数互不相同且尽可能小。最小的

50个不同正整数为1,2,3,50,其和为等差数列求和。

【详解】因为每个盒子至少装1个棋子，且数量互不相同，

因此最小的50个数为1,2,3,…，50,

这是首项为1,末项为50,公差为1,项数为50的等差数列，

该等差数列的和为，(1+50)x5(R2=1275,

则这50个盒子装的棋子总数最少是1275

故答案为：C

3.对任何自然数n,和数l+2+...+n的个位数字不可能是()。

A.2；4；7；9B.4；6；7；9C.6；2；7；9D.2；6；9E.6；9

【答案】A

【分析】1+2+3+……+n=n(n+1)-2,按照自然数n的取值枚举分析即可解答。

【详解】1+2+3+...+n=n(n+1)4-2

按n枚举得：

n=l,末尾1x2:2为1

n=2,末尾2x3+2为3

n=3,末尾3x4+2为6

n=4,末尾4x5:2为0

n=5,末尾5x6:2为5

n=6,末尾6x7:2为1

n=7,末尾7x8+2为8

n=8,末尾8x9:2为6

n=9,末尾9x10+2为5

n=10,末尾10x11+2为5

即和数1+2+……+n的个位数字不可能是不可能为2、4、7、9o

故答案为：A

4.光明农场饲养员张叔叔专门负责养鸽子，为了方便查看，他给每只鸽子都编了号：1、2、3、

4、5、6,…一天，他计算鸽子编号总和时发现与以往不同，是2023.若飞走的鸽子数的最大值

为m,而飞走的鸽子编号的最大值为n,则(m,n)=()。

A.(10,57)B.(11,57)C.(10,58)D.(15,88)E.以上都不

对

【答案】E

【分析】飞走的鸽子数的最大值为m,而飞走的鸽子编号的最大值为n。将鸽子编号，再计算

过程中，1到63的和是2017,而发现1到64相加的和是2080,正好大于2023。此时飞走的

鸽子的编号总和=编号总和一2023,得出是57。此时有64只鸽子。

分情况讨论：如果飞走的鸽子的只数最多，则飞走鸽子的编号就越小。通过计算1到10的和

是55,1到11的和是66,57正好在55到66之间。此时最多有10只。

如果飞走的编号最大，最大的编号设为57,若有65只鸽子，飞走的编号总和是122,此时最

多有15只鸽子。

若鸽子数量更多，则最大只数也会更大，编号最大值也会更大，没有上限。即只能选E。

【详解】假设飞走的鸽子数的最大值为m,而飞走的鸽子编号的最大值为n。

首先估算：

1+2+3+...+64

=(1+64)X64:2

=65x32

=2080(只)

2080>2023

2080-2023=57

①只数最多：

因为1+2+3+....4-10

=(1+10)xl(K2

=11x5

=55

1+2+3+...+11

=55+11

=66

55<57,66>57

即最多1()只。

构造情况：57=1+2+3+4+5+6+7+8+9+12

故m=10,n=12

②鸽子编号最大：57不拆分，n=57

而若共有65只，则飞走编号总和为:

1+2+……+65-2023

=2080+65-2023

=2145-2023

=122

此时的只数最多：

1+2+3+...+16

二（1+16）xl6：2

=17x8

=136（只）

136>122

即最多15只，若鸽子数量更多，则最大只数也会更大，编号最大值也会更大，没有上限。即

只能选E。

故答案为：E

5.如图，将连续的奇数1,3,5,7,9,11,…按5个一行排列成如下的数表，当十字框的

中心处于从上往下数第185行第4个数时，十字框中的5个数的和是（）o

13579

II13151719

2123252729

3133153739

A.7635B.9235C.10135D.10235

【答案】B

【分析】观察发现，十字框中的五个数中，上面的数比中间数少10,下面的数比中间数多10,

左边的数比中间数少2,右边的数比中间数多2,所以这5个数的和是中间数的5倍。

每一行的第4个数分别为：7,17,27,37,47,……，是以7为首项，公差为10的等差数列,

所以根据等差数列公式“末项=首项+（项数-1）x公差”

计算出第185行第4个数为1847,最后用1847乘5即可得到这十字框中的5个数的和。

【详解】7+(185-1)xlO

=7+184x10

=7+1840

=1847

1847x5=9235

则十字框中的5个数的和是9235。

故答案为：B

6.小明在计算器上从1开始，按自然数的顺序做连加练习，当他加到某一数时，结果是1991,

后来发现中间漏加了一个数，那么漏加的那个数是()o

A.24B.25C.28D.29

【答案】B

【分析】从1开始，按自然数的顺序做连加就是公差为1的等差数列求和，根据等差数

列的求和公式：Sn=(首项+末项)x项数:2。即1+2—3+........+n=n(1+n)4-2,由于少

加了一个数，最后的和应该大于1991,根据尝试计算，得出n=63,则连加到了63,其中漏

加的数=加到63的和一1991。

【详解】1+2+3+.......+n=n(1+n)+2A1991

当n=62时，

62x(62+1)-2

=62x63:2

=31x63

=1953

当n=63时，

63x(63+1)4-2

=63x644-2

=63x32

=2016

1953V1991V2016

2016-1991=25

则漏加的那个数是25。

故答案为：B

7.计算：1+2—3+4+5—6+7+8—9+...+37+38—39=()。

【答案】234

【分析】观察题目可得，三项为一组，共有13组：1+2—3=(),4+5—6=3,7+8—9=6,

37+38-39=36,0+3+6+...+36,它可以看成首项为0,末项为36,公差为3,项数为13

的一个等差数列，然后根据和=(首项+末项)x项数:2代入数据计算即可。

【洋角军】1+2—3+4+5—6+7+8—9+…+37+38-39

=(1+2—3)+(4+5-6)+(7+8-9)+...+(37+38-39)

=0+3+6+…+36

=(0+36)x(39+3)4-2

=36x13-72

=468:2

=234

8.有这样一列数，第一个数为1,后一个数比前一个数大3,这列数的最后一个数为106,这

列数共有个数。

【答案】

36

【分析】第一个数为1,后一个数比前一个数大3,最后一个数为106,因此可知这个数列是

一个等差数列，首项为1,公差为3,末项为106o根据等差数列的公式“项数=(末项-首项)

・公差+1”即可求出这个数列一共有多少个数。

【详解】(106-1)+3+1

=105+3+1

=35+1

=36

因此这列数共有36个数。

9.已知一个等差数列的前15项之和为450,前2()项之和为700,请问：这个数列的首项是

【答案】16

【分析】等差数列的特点是：相邻两项的差（公差）都相等，且项数为奇数时，数列的和=中

间项x项数（中间项就是最中间的那个数）；项数为偶数时，数列的和=（首项+末项）x项数

口,也可以看成“两两配对（第1项和最后1项、第2项和倒数第2项……）,每对和都相等,

和=每对和x配对数”。

我们先利用“项数为奇数时的和=中间项X项数”找到关键项，再通过项与项的差求公差，最后

倒推首项。

【详解】前15项的和是450,15是奇数，中间项是第8项。根据“和=中间项X项数”，可得：

第8项=前15项和X5=450X5=30。

前20项的和是700,20是偶数，能分成10对（第1项和第20项、第2项和第19项……第

10项和第11项），每对的和都相等。每对的和=前20项和*0=70070=70,也就是第10项

+第11项=70。

等差数列中，相邻两项的差固定（叫公差），所以：第9项=第8项+公差，第1（）项=第9

项+公差=第8项+2个公差，第11项=第10项+公差=第8项+3个公差。

已知第8项=30,所以，第10项+第11项=（30+2个公差）+（30+3个公差）=60+5

个公差；又因为第10项+第11项=70,因此60+5个公差=70,5个公差=70—60=10,1

个公差=10:5=2。

从第1项到第8项，中间隔了7个公差（第1项与第2项相差1个公差，…，第1项与第8

项相差7个公差），因此：第8项=首项+7个公差。已知第8项=3（）,公差=2,代入得3（）

=首项+7x2,30=首项+14,首项=30-14=16。

【点睛】等差数列的核心特点是“相邻项差相等“，项数为奇数时，用”和=中间项x项数”能快

速找到中间项；

项数为偶数时，通过“两两配对，每对和相等“，把复杂求和转化为“每对和x配对数"，降低计

算难度；

求首项或末项时，先数清楚”目标项和己知项之间隔了儿个公差”，再用“已知项土公差X间隔数”

计算，避免数错间隔数（比如第1项到第8项隔7个公差，不是8个）。

10.在YMO课堂上，老师先在黑板上写了一个等差数列，然后又擦去了其中的大部分数，只

留下第三个数31和第十个数73,请问老师开始写下的第一个数是_______o

【答案】19

【分析】根据这个等差数列的第3个数是31,第10个数是73,从第3个数到第10个数，中

间有7个间隔，一共增加了：73-31=42,因此可以求出这个等差数列的公差为：42+7=6。

第三个数与第一个数之间有2个间隔，那么用第三个数减去2个公差，即31—6—6,据此就

可以求出老师开始写下的第一个数是多少。

【详解】公差：（73—31）4-（10-3）

=42+7

=6

第一个数：31—6—6

=25-6

=19

因此老师开始写下的第一个数是19。

II.张超练习弹钢琴，他第一天弹了35分钟，之后每一天都比前一天多弹10分钟，他第四天

弹钢琴（）分钟。

【答案】65

【分析】每一天都比前一天多弹10分钟，则第四天比第一天多弹的时间为：（4—1）x10=30

（分钟）。第•天弹了35分钟,因此用35分钟加上30分钟即可求出他笫四天弹钢琴多少分钟。

【详解】（4-1）X10+35

=3x10+35

=30+35

=65（分钟）

因此他第四天弹钢琴65分钟。

12.一条直路上依次放有31块石头，相邻两块石头的距离都是1.8米，一个机器人从放第一

块石头的地方开始，将全部石头都搬到中间的位置，且每次只能搬一块石头。机器人搬完这些

石头一共需走_______米。

【答案】837

【分析】一共有31块石头，即有奇数块石头，因此正中间的那块石头不需要挪到，从头走到

正中间的石头需要走的段数为：（31—1）：2=15（段）。因此机器人需要走15段到正中间，然

后走14段回来，又继续走14段回到正中间，再走13段回来，根据这个规律依次累加即可解

决。

【详解】(31-1)+2

=30：2

=15(段)

(15+14+14+13+13+12+12+11+11+……+1+1+0+1+1+2+2+……+14+14+15

+15)xl.8

=15x3x1.8+(14+13+12+11+.......+1)x4xl.8

=45x1.8+15x144-2x4x1.8

=81+105x7.2

=81+756

=837(米)

因此机器人搬完这些石头一共需走837米。

13.小军将2007年共365张的某报纸合订本全部拆开，然后将拆下来的报纸重新分成若干薄

本，使每一本的报纸张数都不相同。那么小军最多可以将这些报纸分成本。

【答案】26

【分析】题目要求每一本的报纸张数都不相同，求最多可以分成多少本，即必须分成的薄本中

报纸张数应尽可能少。因此可以考虑每本的张数依次是1张、2张，3张……，然后利用等差

数列求和来估算出当和最接近365时，是由多少个数相加所得。即可知道可以分为多少本。

【详解】1+2+3+......+26

=(1+26)x26：2

=27x26+2

=702:2

=351(页)

1+2+3+……+27

=(1+27)X27-2

=28x274-2

=756:2

=378(页)

378>365>351,因此小军最多可以将这些报纸分成26本。

14.桌上放着若干堆棋子，每堆棋子数量互不相同，且数量都不超过100颗。其中任意三堆棋

子可以平均分成3份，任意四堆棋子也可以平均分成四份。已知其中一堆有9颗棋子，则桌上

放的棋子总数最多是______颗。

【答案】408

【分析】任意三堆棋子可以平均分成3份，也就是能被3整除，其中有一堆有9颗棋子，9能

被3整除，所以每堆也能被3整除，才能保证任意的堆都能被3整除。

同样任意四堆棋子也可以平均分成四份，也就是任意的四堆能被4整除，其中有一堆有9颗棋

子，9除以4余1,则每堆除以4余数也是1。

100以内的数中能被3整除，且能被4除余1的最小的数是9,下一个数是21,再下一个数是

33,通过观察发现这些数的特征是12N+9。

桌上棋子最多的情况就是将符合条件的所有的数相加即可。且当N为7时，这堆棋子最多是

93,即从9开始，后一个数都是前一个数加12,一直加到最多的93即可。

【详解】9+3=3

9E=2……1

符合条件的数：9、21、33、45、57、69、81、93

9+21+33+45+57+69+81+93

=（9+93）x8：2

=102x84-2

=102x4

=408（颗）

则桌上放的棋子总数最多是408颗。

【点睛】等差数列是常见数列的一种，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等

于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，而这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d

表示.

计算等差数列的相关公式：

（1）通项公式：an=首项+（项数-1）X公差

（2）项数公式：n=（末项-首项）♦公差+1

（3）求和公式：Sn=（首项+末项）x项数:2

15.用合适的方法计算下面各题。

1+3+5+7+…+95+97+99

23x2x4+25x4x2+27x1x8+25x8x1

【答案】2500

800

【分析】观察发现，这是一道等差数列，根据等差数列的求和公式：Sn=(首项+末项)X项

数:2可以简便的计算出和。

先利用乘法的结合律，先算出2x4、4x2、1x8、8x1,再利用乘法的分配律提出8,最后将剩

卜的数相加得一个整百数，可以简便计算。

【详解】1+3+5+7+…+95+97+99

=(1+99)x50+2

=100x50+2

=100x25

=2500

23x2x4+25x4x2+27x1x8+25x8x1

=23x8+25x8+27x8+25x8

=8x(23+25+27+25)

=8x100

=8(X)

16.计算：1+11+21+…+191+201+211。

【答案】2332

【分析】本题是一个首项为1、末项为211、公差为10的等差数列求和，需要先求出等差数列

的项数=（末项一首项）♦公差+1,再代入求和=（首项+末项）x项数:2。

【详解】项数：（211—1）-rlO+1

=210:10+1

=21+1

=22

和：（1+211）X224-2

=212x22:2

=4664:2

=2332

【点睛】本题考点为等差数列的求和公式，充分牢记等差数列求和公式是解题的关键。

17.等差数列2、5、8、11…共有31项，这31项的和是多少？

【答窠】1457

【分析】本题是一个首项为2、项数为31、公差为3的等差数列求和，我们需要计算出数列的

末项=首项+（项数一1）x公差，等差数列的和=（首项+末项）x项数:2,据此解答即可。

【详解】2+（31-1）x3

=2+30x3

=2+90

=92

（2+92）X314-2

=94x31:2

=2914:2

=1457

这31项的和是1457o

18,有9个朋友聚会，见面时如果每个人和其余的每个人只能握一次手，那么9个人共握多少

次手？

【答案】36次

【详解】8+7+6+5+4+3+2+1=36(次)

答：共握36次.

19.有数组(1,1,1),(2,4,8),(3,9,27),求第100组的三个数之和.

【答案】101010()

【分析】根据给出的三组数，知道每组第1个数是按自然数顺序排列的，公差是1的等差数列，

每组第2个数是平方数，每组第3个数是立方数，那第100组的三个数就是，100,1002,10伊，

因此即可求出三个数的和.

［详解］100+1002+10(P=100+10000+1000000=1010100；

答：第100组的三个数之和是1010100.

20.安康市体育场南看台有30排座位，每后面一排都比前一排多2个座位，最后一排有132

个座位，体育场南看台共有多少个座位？

【答案】3090个

【分析】每后面一排都比前一排多2