高考数学 集合与常用逻辑用语、不等式 全称量词和存在量词 （学生版）

全称量词和存在量词

激活思维

1.（教材经典题改编）若命题p：3xeR,x+1^0,则命题〃的否定是（）

A.VxeR,x+l<oB.x+12O

C.3xeR,x+KOD.3xeR,九+1No

2.（教材经典题改编）（多选）下列命题是全称量词命题且为真命题的有（）

A.每一个末位是0的整数都是5的倍数

B.有些菱形是正方形

C.对任意负数x,x的平方是正数

D.梯形的对角线相等

3.已知命题p：Bxe[O,4-oo）,若p为真命题，则实数。的

取值范围为.

4.（教材经典题改编）已知“若x>l,则2x+l>2”是假命题，则2的取值

范围是______.

5.设命题p：R»x2—2x+〃?-3—0,命题q：Vx£R,x2-2（/H—5）x

+/+I9W0.若〃.q都为真命题.则实数“7的取值范围为.

聚焦知识

1.全称量词命题与存在量词命题

全称量词命题存在量词命题

量词所有的、任意一个存在一个、至少有一个

符号V3

命题形式p(x)p(x)

9

否定

是__量词命题是____量词命题

2.常见词语的否定

词语是都是大于小于

词语的

否定

词语旦至少有〃个至多有一个所有X都成立

词语的

11——

否定

注意：一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能

一真一假.即：如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定是假命题，反之亦

然.

题型突破思维拓展

▲

举题说法

目帧U含量词的命题的真假判断

例1(多选)下列命题中的真命题是()

A.2c>0B.VxEN",(%-1)2>()

C.1gx<1D.tanx=2

<总结遑炼A

判定全称量词命题p(x)”是其命题，需要对集合M中的每一个

元素x,证明〃(犬)成立；判定存在量词命题“mxWM,p(x)”是真命题，只要在

限定集合内找到一个X,使p(x)成立即可.

变式1下列命题中，是存在量词命题且是真命题的是()

A.所有正方形都是矩形

B.ZhrWR,『+2A+2=0

C.至少有一个实数x,炉+1=0

D.3xeR,使『一工+；〈0

目帧包含量词的命题的否定

例2写出下列命题的否定，并判断其真假性.

(1)VxGZ,Lv|eN；

(2)每一个平行四边形都是中心对称图形;

(3)有些三角形是直角三角形；

(4)x+lWO；

(5)X2+2JV+3=O.

，总结提燎A

对于存在量词命懑的判断，只要能找到符合要求的元素使命题成立，即可判

断该命题成立：对于全称量词命题的判断，必须对任意元素证明这个命题为其，

而只要找到一个特殊元素使命题为假，即可判断该命题不成立.

变式2(2025•许昌二模)已知命题p：VxeR,-^―<1；命题g：3x>

0,在vf,则()

A.〃和y都是真命题B.~>〃知q都是真命题

C.〃和F都是真命题D.「〃和F都是真命题

目帧团结合命题真假确定参数

例3(I)已知命题p：\/x£R,x2一〃20；命题中f+Zox+Z—

a=0.若命题p,夕都是真命题，则实数。的取值范围为.

(2)已知命题p：R,—m—12()为假命题，则实数机的取值范围

为.

，总结提燎A

根据命题的真假求参数取值范围的策略

(1)已知每个命题的真假，利用集合的运算求解参数的取值范围；

(2)对于含有量词的命题求参数的取值范围的问题，可根据命题的含义，利

用函数的值域(或最值)解决.

变式3(2025•徐州2月调研)己知命题〃：加+太+3>0为真命

题，则实数。的取值范围是()

目标已双量词成立问题

例4(1)己知函数府)，当x£(—8,2)时，段)£[0,2©2),g(x)=or+l,a

£R.若对任意的关|£[-2.2],总存在唯一的及£(一8,2),使得犬X2)=gCr。，

则实数a的取值范围为.

4r1

(2)已知函数ZU)=x+；,ga)=2、+a,若^加仁予1,三0£[2,3],使

AL4_

yUDWg(x2),则实数。的取值范围是________.

，总结提燎A

(1)相等关系：

记y=7W,x^[at用的值域为A,y=g(x),x£[c,一的值域为B.

①若V;n£[a,b]f3x2^[c,d],有於i)=g3),则AGB.

②若b]fVx2£[c,刈，有於i)=g(M,则A3B.

③若b]f3x2e[c,c/J,有«箝)=8(尤2),则AABN。.

(2)不等关系：

①Vx|£A,rx£B,/Ul)〈g(X2)^/U)maxWg(X)min.

(2)3x13X2^B,汽加)Wg(X2)^/U)min<g(x)max.

③VX|W4,3X2/(XI)^^(X2)<=>/(X)max^^(X)max.

变式4(1)已知ZU)在[-2,2]上的值域为[-3,3],函数g(x)=『一级+用.若

对于任意的加£[-2,2],都存在玄£[-2,2],使得g3)=«/3),则实数机的取值

范围是__________.

(2)已知函数yu)=±,g(x)=x-l.若存在为，X2^[af。+1],使得凡n)

人T】

Vg(X2)成立，则实数。的取值范围是.

然探究逻辑推理问题

例5(2026•南昌期初)已知甲、乙、丙、丁四位老师参加青年教师教学大

赛，问其比赛结果，他们回答如下：甲：丙第一，乙第二；乙：丙第二，丁第三；

丙：丁最后，甲第二.如果每个人的两个回答中，都恰有一个是正确的，且没有

并列名次，那么这次比赛获得第一、二、三、四名的依次是（）

A.丙、甲、丁、乙B.丙、甲、乙、丁

C.甲、乙、丙、丁D.甲、乙、丁、丙

随堂内化

1.（2025•漳州二模）命题x+lWe'”的否定是（）

A.3x^0,B.3x<0,x+l>ev

C.3x>0,x+lWTD.3x>0,x+l>ev

2.（2024•新高考II卷）已知命题〃：VxER,|x+l|>l；命题/Bx>0,

则（）

A.〃和q都是真命题B.「〃却q都是真命题

C.〃和「q都是真命题D.和丑都是真命题

3.若“三元£[0,3],小一2x—aVO”为真命题，则实数。可取的最小整数值

是（）

A.-1B.0

C.1D.3

4.已知函数人用二++了，g（x）=ln（x+l）一〃，若存在xi,X2^[0,2],使得人XI）

=g（X2）,则实数。的取值范围是。

配套精练

A组夯基精练

一、单项选择题

1.（2025•青岛二测）命题“\/x>），，/Ay2”的否定为（）

A.Vx>y,x2守B.VxVy,f守

C.3x<y,fD.3x>y,x2^y2

2.（2025•唐山一模）已知命题p：V^eR,?>0：命题q：3x>0,InxV

0,则（）

A.〃和q都是真命题B.p是假命题，夕是真命题

C,p是真命题，q是假命题D.〃和夕都是假命题

3.已知p：VxGR,/+21+。2（）；q：VxGR,x2+2ar+2-^^0,若p,

。一真一假，则实数〃的取值范围为（）

A.(-2,4-oo)B.[1,4-oo)

C.(—8,-2]U[1,+oo)D.(-2,1)

4.(2025•德州模拟)某次考试后，甲、乙、丙、丁四名同学讨论其中一道考

题，甲说：我做错了；乙说：甲做对了；丙说：我做错了；丁说：我和乙中有人

做对.已知四人中只有一名同学的解答是正确的，且只有一名同学说的是正确的,

则解答正确的同学是()

A.甲B.乙C.丙D.丁

5.已知函数兀0=数+3,g(x)=mx+5—m(m>0),若对任意的xi£[1,2],总

存在加£[-1,2],使得/2xD=g3)成立，则实数，〃的取值范围是()

A.[12,+8)B.[10,+8)

C.[14,+8)D.[8,+8)

二、多项选择题

6.下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是()

A.矩形的对角线互相平分且相等

B.对任意非正数c,若则

C.有些菱形不是平行四边形

D.对任意实数x,不等式x2—3x+72()恒成立

7.下列说法中正确的是(BD)

A.若Vx£(An3),贝或

B.R,

C.a>h的一个必要不充分条件是mxoVO,a+xo^b

D.SxoeR,"+2>3次的否定是VxWR,f+2W3x

8.若“土土，21，使得源一"+1<0成立”是假命题，则实数。勺可

能取值是()

39

-CD-

A.2B.2

三、填空题

9.若使得〃+。+120”是假命题，则实数。的取值范围是

2

10.已知函数凡r)=ax+2(a>0),gW=——7.若三月£[—1,2],Vx21[2,3],

X1

使./(笛)=虱也)成立，则实数。的取值范围为•

X

11.已知函数段)=*