解三角形：正余弦定理与三角函数性质结合应用问题、几何图形中的计算问题（专项训练）解析版

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考点目录

正余弦定理与三角函数性质结合应用问题几何图形中的计算问题

考点一正余弦定理与三角函数性质性合应用问题

1.(2026•黑龙江哈尔滨•三模)记△4"。的内角力，13,C的对边分别为a,b,c,A4Z?C外接圆的半径为

76,且bcosC+acosA=V3asinX-ccosB.

⑴求a；

(2)角A的平分线交6c于点Q,且4。=心，求△43。的底长.

【答案】(1)3媚；

(2)372+6

【分析】(1)由正弦定理和三角恒等变换，特殊角的三角函数值得到4=与，由正弦定理可得a;

(2)根据三角形面枳和余弦定理可得方程组，联立可得b+c=6,求出三角形周长

【详解】(l)bcosC+acos/l=V3asinX-ccosB,

由正弦定理得sinBcosC+sin,4cosA=V3sin2A-sinCcosB,

即sinBcosC+sinCcosB=V3sinM—sinAcosX,

sin(B4-C)=sin/(V5sin4—cos?!),

又sin(B+C)=sin/,AG(0,z),sinA>0,

所以V^sinA—cos>l=1,2sin(>l--7-)=1,sin(力一£)=g,

\6/'672

因为A€(0,兀)，所以4一票£„攵一=氤解得/若

△力BC外接圆的半径为，百，由正弦定理得=276,

sin/1

所以a=2V6sin^-=372,

J

(2)4=•，故/.BAD=^CAD=4,

36

由三角形面积公式可得S^ADC=-^-bcsinA=^-bc,

24

s△八如=^-AD-csinZBAD=孥。，S”=《力口•bsinZBAD=46,

2424

50叱=5刖8£>+6^^,即=^-c4--^b,bc=b-\rcy

444

在AABC中，由余弦定理可得a2=b2+c2-26ccosA,

即〃+。2—儿=18,故/+。2+2儿=18+3儿，

因为bc=b+c,所以(6+6)2=18+3(6+°),解得6+°=6或一3(舍去)，

故△48。的周长为。+b+c=32+6.

A

2.（2025•湖北黄冈•二模）如图，锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,直线Z与△4BC的边

AB,47分别相交于点，E,设乙40E=0,满足QCOS（B—。）+bcos（/+。）=Jc.

⑴求角。的大小；

（2）若。且b=求a+c的取值范围.

【答案】⑴春

O

（2）（3,273]

【分析】（1）根据题意，由正弦定理和三角恒等变换的公式，化简得到85趣皿04+6）=。热1。,进而得

到cos。=4■，即可求解；

（2）由正弦定理，得到a=2sirM,c=2sinC,化简a+c=2屈in（。+y）,根据锐角三角舫△ABC,求

得*vcv卷，结合三角函数的性质，即可求解.

V乙

【详解】⑴解：因为QCOS（I—9）+b8S（a+6）=-y

可得a(cosBcosO+sinBsin^)+b(cosAcos0—sinAsin^)=,

可得sin4cos6cos6+sinBsin^)+sinB(cosAcos^—sinAsind)=JsinC,

所以cos^(sinAcosB4-cosBsinA)=-ysinC,可得cosOsin(A+B)=-ysinC,

又因为4+6+。=兀，可得smC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,

再以cosJ=J,因为夕e(0,冗)，所以，=亳.

⑵解：因为OE〃BC,可得8=夕=看且b,

O

b瓜=2,可得a=2sinX,c-2sinC,

由正弦定理得

sin74sinBsin。sin与

o

则a+c=2sin4+2sinC=2sin(专一C)+2sinC=V3cosC4-3sinC=2V3sin(C+-^-),

（0<A<^江

0<-?F—C<y7r

在锐角三角形△A3C中，可得；，可得0<c<f"可得…全

0<C<f

...........»

所以"1"<0+专<，所以^2~Vsin(0+5)<1,所以3V2，5sin(c++)<2V3,

所以a+c的取值范围为(3,2V3].

3.（24-25高三上•江苏扬州•阶段检测）已知锐角△力的内角4民。，所对的边分别为Q,b,c,满足

-------—\Z3tanA=1.

bcosA

⑴求角3的大小；

（2）若b=2,求△46。面积的取值范围.

【答案】⑴？

6

（2）（273,2+73]

【分析】（1）根据题意，得到。=，用加山工+灰：05人由据正弦定理和三角恒等变换的公式，化简得到

sinAcosB=sinjBsin?l,进而求得tanB的值，即可求解；

（2）由⑴和正弦定理，得至“a=4sinAc=4sin。,化简得到S^=2sin（2A-^）+V3,根据4ABC为

ADCO

锐角三角形，求得着V力V卷，结合三角函数的性质，即可求解.

JZ

【详解】（1）解：由L°,一，？tan力=1,可得L°'_，？或个4=1,即。=68也4+N。5月,

bcosAbcosAcosA

根据正弦定理得sinC=V3sinBsinA4-sinBcosA,

因为sinCf=sin[7C—(A+B)]=sin(714-B)=siriAcosB+cos/sinB,

所以sinAcosI3+cosAsinI3=V3s\nBs\nA+sinZ?cos/4,

即sirMcosB=V3sinBsinA

又因为4€(04)，所以sin力>0,可得cosB=gsinB,所以tanB=V3

3'

因为BW（0,告）,所以B=

ab

（2）解:在△力BC中，由正弦定理=4,可得a=4sirM,c=4sinC,

sinAsin!?sinC

所以S,4£j=-i-acsinZ?=4sin.4sinC=4sin>lsinf2——A^=2sin4cos4+2V3sin2i4,

ACNI)

=s\n2A-V3cos2/44-A/3=2sin(2/l—y)+V3,

0VAV£"rTT

因为△46C为锐角三角形，可得0＜居一松，解得，〈力〈会

所以2工一（£传，等），所以sin（24一专）£（9H，

所以（2，^,2+，^,即44皮7面积的取值范围为（2疗,2+，^.

4.（24-25高三上.湖北荆州•阶段检测）已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为Q,b,c,^4sinA-

6sinB=csin（X—B）.

⑴求Q的值；

V3(624-c2-a2)

（2）若△力BC的面积为，求△力周长的取值范围.

4

【答案】（l）a=4

（2）（8,12]

【分析】（1）由sin（W-B）=sinAcos8—cos4sinB,代入已知等式，利用正弦定理和余弦定理角化边，可

求a的值；

(2)已知条件结合三角形面积公式化简求出4=等，由正弦定理结合两角和与差的正弦公式得b+c=

8sin(B+^),由4Vsin(B+=1,得4Vb+cW8,可求△ABC周长的取值范围.

【详解】(1)=4sinA—bsinB=csin(A—B)=c(sinAcosB-cosAsinB),

由正弦定理可得：4a—〃=c(acosB-bcosA)=accosB-cbcosA,

由余弦定理知：accosB=-y(a2+c2—b2),cbcosA=-y(c2+b2—a2),

可得4a-〃=c(acosB—5cos.4)=a2—b2,

则有4a=a?,由a>0,解得a=4.

⑵

△ABC中由余弦定理知52+c2-a2=26ccos/4,又在4ABe中有S=^besinA,

gbesinA=瓜0-=^-bccosA，化简得tanA=V3,

242

vAe(O,7U),

J

又a=4,由正弦定理得：b——7^•sinB,c——7^•sin。,

V3V3

,,8

b+c=­p=sinZ?+sin(争一3)]=8sin(7?+-1-),

V3

因在△4BC中，4=,，0<6〈争，]〈输1（口+,）41,

所以4Vb+c&8,当4=B=C时，等号成立,

.•.△ABC周长a+b+c的取值范围是（8,12].

5.（2025•辽宁沈阳•模拟预测）在△40。中，内角4,。所对的边分别为a,b,且皂吗9吟唱

cos-B-cos-A

1.

⑴求角4的大小；

（2）若△48。为锐角三角形，点R为△ABC的垂心，AE=6,求CE+BF的取值范围.

【答案】⑴人=?

⑵（仇氏⑵

【分析】（1）由止弦定理及余弦定理可得cosA的值，再由角4的范围，可得需4的大小；

（2）设NE4B=a,分别在两个三角形中，由正弦定理可得切。CF的表达式，由辅助角公式可得6尸+

CF的取值范围.

sin?。一sinCsin6

【详解】（1）因为=1,

cos2B-cos2.4

所以sin2C-sinCsinB=cos2B-cos2A=1-sin2B-1+sin2A,

所以sin2B+sin2C-sin2X=sinCsinB,

由正弦定理可得b2+c'2—02=从，

由余弦定理可得c5M—此展衿■（°，兀），

可得a=卷;

o

（2）延长月R交3C于，延长，R交力。于E,延长CR交AB于P,力R=6,

根据题意可得6。J_AD,BELAC,因为/CAB=与，所以ZEBA=ZACP=4,

设/.FAB=%aE（0，v）,在AABF中，由正弦定理可得.爆八=.%人0,

\37snMEBAsmAFAB

即?=,可得BF=12sintz,

±sma

同理在△CE4中，可得CF=12sin(:a),

所以BF+CF=12卜ina+sin传一叫=12卜ina

1.,73

=12(-sin^+—cosa)=12sin(tz4-y),

因为aW(0《),所以a+《€(3,等),

•JJJJ

所以sin(a+5)W(坐,1],

所以6R+C9E(673,12].

6.（2025•河南•模拟预测）已知锐角三角形48C的内角48。的对边分别为a，b,c,tan3+tanC=

V^cosA

cosBcosC

⑴求4

⑵若4求b+c的取值范围.

【答案】（1）4=年

（2）（372,276]

【分析】（1）根据结合三角恒等变换分析运算：

（2）利用正弦定理进行边化甭，再利用三角恒等变换结合正弦函数分析运算.

【详解】（1）・.・tanB+tanC=个人，即噂+&吗=公+,

cosBcosCcosBcosCcosBcosC

由于B,。G（0,号），贝1IcosBWcosC*W0,即cosBcosCW0,

两边同乘以cosBcosC可得：，3cos力=sinBcosC+cosBsinC=sin（6+C）=sin/,

1贝ItanA=且力€（0,誉）,解得4=

（2）由题意及正弦定理=177=-T1-T=2/,得b=2V2sinZ?,c=2V2sinC,

sinBsinCsinA

；贝1b+c—2V2sinZ?+2V2sinC~2\/2sinZ?+2>/2sin（?14-Z?）

Q................................................................

=2V2sinZ?4-V2sinZ?+V6cosB=3V2sin/?4-V6cosZ?=2\/6sin(Z?+-1-),

由⑴可知乂=尚•，且△4BC为锐南三角形，

O

0<B<y7r-

则.4+/d解得看V3V7

「吟VB+套V专，所以哼“

故b+c的取值范围是（3，幻2痣］.

...........»

考点二几何图形中的计算问题

7.（2026•安徽•模拟预测）2026年是中国航天深空探测的关键一年，某航天勘测团队在月球背面某区域进行

地形勘测，测得该区域三个勘测点构成三角形，其中力，6两点相距2/千米，勘测仪器测得

乙B4C=60°,NABC=45°.

⑴求边的长度；

（2）为进一步精准勘测，团队计划在边的延长线上取•点。，使得NC4O=30°,求CD的长度.

【答案】（1）3（遍一禽）千米

（2）37个一遍千米

【分析】（1）先利用三角形内角和求出ZACB=75°,再用正弦定理求解即可：

（2）由正弦定理求AC,结合为等腰直角三角形、余弦定理求解即可.

【详解】（1）已知NB4C=60°,/48。=45°,则乙4。8=180°—60°—45°=75°,

・'叫「=.线心〃，已知A8=2一,sin60°=乎,

s\nZ.BACsinZACB2

sin75°=sin（45°+30°）=sin45ccos3004-sin3（）°cos45o=,

BC='BxsinpO。==.=3^.72）千米

sin75瓜+&V6+V2

4

AC_力石即Ar,_AB・sin45°_*=«_9/7

（“sinN4Z?C-sinN4C0'叩。一sin75°—-2一瓜+鼻一”'

4

已知。在6C的延长线上，NCAD=30°,4BAC=60°故/BAD=300+60°=90°,

在AABD中，^ABC=45°,ZBAZ）=90°,故△力BO为等腰直角三角形，=力。=2/

由余弦定理：CD2=AC24-AD2-2AC-AD-cosACAD,

代入得8=（6—2/1+（2/f-2（6—2—）x2A/3XCOS30°,

化简得6=3,一遍千米.

8.（2026•新疆•二模）如图，四边形ABCD为圆内接四边形，43=5,=34，cos4=--1

（1）求sinZ.ABD；

（2）若月。=5,求4BCD的面积.

【答案】（1）爷

NJ

⑵15

【详解】（1）,.,乙4是△4的内角，乙4€（0,7r）,cosA=—W

5

sinA—V1—cos2?l=J1-(—)—-p-.

在AABD中，由余弦定理得J3D2=AB2A-AD2-2-AB-AD-cosA,

代入力6=5,=34，cos4=~，得45=25+AD~+SAD,

5

整理得4^+8力。-20=0,解得？1。=2(4。=-1()不符合边长要求，舍去).

由正弦定理得ADBD

sinZ.ABDsin力’

AD-sinA_2、曰_2V5

，s\nZ.ABD=

BD37525.

(2)V四边形力6co为圆内接四边形，.••乙4+NC=兀，

43

cosC=-cosTl=—,sinC=sinX=—.

55

在△BCD中，由余弦定理得BD2=BC2+CD2-2-BC-CD-cosC,

代入RC=5,BZ?=3V5,cosC=二，得45=25+CD—8CD,

整理得8-8c©-20=0,解得CD=10(CO=-2不符合边长要求，舍去).

.•.△BCD的面积S=J・BC・CD・sinC=Jx5xl()x曰=15.

9.(25—26高三下•湖南长沙•阶段检测)A4BC中角4,B,。的对边分别为a,b,c,满足a?+b=c,tanC

--3,

(1)证明：Q+b+cV2

(2)求AABC的内切圆半径r的取值范围；

⑶若Q=4,△力的内切圆上有一点n求点。到43。三点的距离的平方和的最大值.

【答案】(1)证明见解析

⑵(心］

⑶22.

⑷625

【分析】⑴先求出sinC和cos。的值，再用Q表示b,c,进而程到a+b+c的表达式，整理证明即可；

(2)先利用S=-^-absinC和S=］(a+b+c)r得到T关于a的表达式，通过函数关系确定r的取值范

国；

⑶先求出b,c的值,再建立坐标系，将内切圆方程表示出来，设出点P的坐标，利用两点间距离公式表示

出I£412十।尸3|2十|尸。［2,结合圆的方程求其最大值

【详解】⑴由tanC=,C6(0,7T)得sinC=-p-,cosC*=y-,结合已知c=a24-6,

JD•)

a2+b2-(a2+6)2

由余弦定理得=得,化简得6=噌

2ab510。+6

所以a+b+c=a+a2+2b=叱(a+J)

5a+3

要证a+b+cV2,印证叱(°+?V2,

5a+3

因为5a+3>0,等价于8a2+8aV10a+6,即4a2-a-3=(4a+3)(a-l)<0,

...........»

5a（l-q-）

又10a4-6解得OVaVl,

a>0

所以4a+3>0,a-lVO,故（4a+3）（a—1）VO成立，得证；

（2）三角形面积S=4■质或11。=半，内切圆半径/=孕=粤,

25L5L

.5a（1-a—

代入b,L化简得1=二=:（-02+。），/£（0,1）,

r8a（a+1）44

>5Q+3

r=1（—a2+a）是开口向下的二次函数，对称轴a=《，最大值为Jr，且丁：>0,

4216

故r的取值范围是卜），4］；

（3）当a=J"时，得b=2，c=/，三边长满足b2+c2=a2,

J4）4）

贝］A40C为直角三角形，乙4为直角，内切直半径月=矶11"）=±,

425

建立坐标系，如图所示

则4（0,0）,B（言,0）,。（。强）,内心，（表,表）,

内切圆方程：卜一圭丫+自一表丫=（表5

设P（①以则（>表—1一5）2=（表）2,即炉+靖一,"=卷一（蚩）2,

平方和T=B42+pR2+PC2=a;2+g2+（3：—/）2+y2+i2+N—亲）2,

展开化简得7=3（/+必一看办一工。+轰=费”一品一卷i+蚩一京i+急,

由内切圆/的范围。一W,，当A。时最大，最大值为急.

10.（2026•天津河北•一模）在A46C中，内角A,6,。所对的边分别为Q,b,c,已知b=22,c=4,ABAC

=135°.

⑴求Q的值；

⑵求sin（26+千）的值；

（3）过点4作4。_L4/?,。在边BC上，记AABD与A4CO的面积分别为Si,S2,求曾的值.

【答案】（l）a=2«U

（2）sin（2B+f）=^

⑶2

【分析】(1)利用余弦定理直接求解.

(2)利用正弦定理、二倍角公式及和角的正弦公式求解.

(3)利用直角三角形边角关系及三角形面积公式求解.

【详解】(1)因为b=2,，c=4,Z.BAC=135°,

由余弦定理，得。2=〃+02—2乩(2$/丹4。=16+8—2乂4乂2—乂(一乌)=40,

解得a=2dIU.

2/x夸

⑵由正弦定理，得一，即sinB=5sin^4_Vio

31nAsinz5a10'

因为6为锐角，所以cosB=V1—sin2B=3A,

_4

则sin2B=2sinBcosB=-7-,cos2B=2cos2B—1..

5□

所以sin(2B+4)=sin2Bcosv+cos2Bsin4=.

'4'4410

(3)因为_LAB,即cosB=架，所以6。==4巫

BDcosB3

则CD=BC-BD=^^~.

<5

设点A到直线6。的距离为d,

因为S=4E>d,S2=[cD.d,所以某=综=2.

/202GL/

11.(2025•河北•模拟预测)设的外接圆半径为R,内切圆半径为,，定义/=，的值为△ABC的“分

离比”.

(1)若。为等腰直角三角形，求的分离比/；

⑵/，6证；/明口口力r--si2nsAi+n/ssiinnBa+isniCnC；

(3)探究J的最值.

【答案】(1)/=2+1

(2)证明见解析

(3)最小值2,没有最大值

【分析】(1)设等腰直接三角形边长，求出外接圆和内切圆半径，再计算比值即可：

(2)由正弦定理*■=/百=一77=2^可得外加圆半径兄=-77,利用等面积法求得内切圆半

sinAsmBsinC2sinC

径J_=«±i±£,代入计算且，再利用正弦定理边角互化即可证明；

VaosinCr

(3)法一、根4居/=卷(―:~zr+™―1.)＞得/「TT-：12a.2二，令〃=•

2'smAsmBsmBsmCsinAsinC72vsnrAsm-SsnrC

sin力sin/?sinC,又sinZ?=sin(/4+C)，所以〃=3sin4sinAsin2C-cos4cos2C+cosA)=

4图1优[854一以炽4+2。)]＜々怎。4854+1),得到〃忘赵3.,即/＞2,然后可直接分析/没有最

22o

....................................8

大值；法二、根据相交弦定理得=（MO+O，）（NO-。/）=（H-O/）（R+。/）=用一

0/2,然后打2一2尺—（）=心22年>2,同法一可直线分析/没有最大值.

【详解】（1）设△46。的两条直角边为斜边为2,所以外接圆半径为1.

内切圆半径丁满足-^-r(/\/2+5/2+2)=-^-y/2xV2,所以—=A/2+1.

22r

所以/=V2+1.

⑵证明：AABC的面积S=-ya6sinC

贝]Jr(aI6Ic)=[absiriC

所的i以、,一1=—a+b+c.

rabsmC

ab

由正弦定理=2R,

sin4sinBsin。

所以R=

2sinC

(a+b+c)csin/l+sinS+sinC

因此，/=

2abanrC2sinAsinBsin(7

（3）先探究了的最2(sinAsinB

sinBsinCsin?lsinC

先证明对于任意的正数Q,b,%均有均++c3>3abc.

因为（（？+〃）+（〃+°儿）>2/晨+2小心/>4而0,

所以a?+63+c3>3abe得证，当且仅当a=b=c时取等.

所以Q/sinMsin2Bsin2C，

下考虑〃=sin>lsin6sin。的取值范围.

因为sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,

所以u=sinA(siiiAsiiiCcosC,-FeosAsinC*).

u-sinA(sinAsin2C-cos力cos2C+cosA)=-ysinA[cos力—cos(力+2C)]<-ysiriA(cosA+1)

当且仅当A+2C=兀取等.

对于e=Jsin2/l(cos4+l)2=V(14-coSi4)3(l-cos?l),

2

又(1+COSA)(3—3COSA)<(1±£2§4±3ZI3COS^\=(2_COSA^^

(1+cosA)(2—cosA)W(―要®./=1⑻，

当且仅当cos/=。取等.

由⑴式与(优)的平方相乘，有(1+cosA)3(1—cosA)看，

所以&43J所以sini4sinZ?sinG=uW-

48

故>4A/#=2,当且仅当4=0=C=等取等.

再探究了的最大值，当？!足够小时，〃=sin?lsinjBsin。的取值足够小，

而GM工，所以/的取值将足够大，也即/没有最大值.

2Vu~

综上，/有最小值2,没有最大值.

【法二】设△ABC的外接圆圆心为O,内切圆圆心为/,过点/作3垂直力。于点F

连接力/并延长交圆。于点。，连接OO并延长交圆。于点E,

因为/为AABC的内心，所以力/为NH4C的平分线，

得助=公,则々BED=ADAC.

所以RtAEBD和Rt^AFI相似，得条=痣

DH13L)

又DE=2R,IF=r，得2RT=AI・BD.

连接小，则NABI=ZCBI,又4DI3C=/D