北京市2025-2026学年八年级下学期期末模拟自测数学试卷（三）人教版（含答案）

北京市2025-2026学年八年级下学期期末模拟自测数学试卷

一.选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）

1.（3分）（2024秋•开远市校级期中）当xV（）时，图中表示函数y=”的图象的是（）

2.（3分）下列哪个点在反比例函数j，=（的图象上（）

A.Pi（1,-4）B.02（4,-1）

C.P3（2,4）D.04（2V2,加）

3.（3分）（2025秋•秦都区校级期中）下列说法不正确的是（）

A.点、（1,2）在第一象限

B.点（-3,5）到y轴的距离为3

C.已知点M（2,3）,点N（-2,3）,则河?/〃工轴

D.若xy=0,则点（x,y）一定在x轴上

4.（3分）（2023春•淮安月考）如果0°<ZA<45°,那么siM与cos4的差（）

A.大于0B.小于0C.等于0D.不能确定

5.（3分）（2024•德阳）某校学生开展综合实践活动，测量一建筑物C。的高度，在建筑物旁边有一高度

为1（）米的小楼房力从小李同学在小楼房楼底4处测得。处的仰角为60。，在小楼房楼顶力处测得C

处的仰角为30°（AB.C。在同一平面内，B、力在同一水平面上），则建筑物CQ的高为（）米.

c

C.12D.I0+5V3

6.（3分）（2025春•靖江市校级期末）定义：若x,），满足y=7nx="1瓶（,〃为常数），则称点

y）为“和谐点”.下列说法正确的是（）

①尸（2,2）是“和谐点”；

②直线y=-2x+5上有且只有一个“和谐点”；

③当左＞2时，反比例函数y=（的图象上最多只有两个“和谐点”；

A.①B.①②C.①③D.②③

4.

7.（3分）（2022秋•连山区月考）如图，点B,P在函数尸三（40）的图象上，四边形C。力B是正方形,

四边形2底尸是长方形，下列说法不正确的是（）

A.长方形8bG和长方形GNEP的面积相等

B.点8的坐标为（4,4）

C.y=［的图象关于过点。与8的直线对称

D.长方形EOEP和正方形。。力8面积相等

8.（3分）（2025•越秀区校级开学）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形O/18C的顶点力（5,4）,点

8在第一象限内，顶点。在y轴上，经过点力的反比例函数y=5。＞0）的图象交8C于点力，若点Z）

为线段8C的中点，则平行四必形0/出。的面积为（）

二.填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）

9.13分）（2024•昌平区校级开学）在反比例函数y=”的图象上有两点（1,a）,（2,/），则与/.（填

或“V”）

10.（3分）RtZVIBC的两条边长分别是6和8,则其最小角的正弦值是.

II.（3分）（2024•祁汀区二模）如图,点力、R、C、。在网格中小正方形的顶点处,力力与相交于点

12.（3分）（2025•雁塔区校级一模）如图，已知点力、8分别在反比例函数y=?Q>0）,y=-^（x>0）

b

13.（3分）（2024秋•武侯区校级月考）如图，直线（«>0）与双曲线y=5（k>0,%>0）交于点

A（1,3）,则当x>0时，不等式"+力<5的解集是.

14.（3分）（2025•深圳模拟）如图，一束太阳光从天花板和落地窗交界处的点。射入，经过地板"N上的

C、。两点反射到天花板上形成光斑力、从中午和下午某时刻光线与地板的夹角分别为a,p.由光的

反射原理可知，/PCM=NACN=a,NPDM=/BDN=6.已知天花板与地面是平行的，且它们之间

的距离为3m,当a=45°,0=30°时，光斑移动的距离48为米.

15.（3分）（2024•大连模拟）如图，直线尸质+6与函数y=三（％>0）的图象相交于点。3,2）,则不等

16.（3分）（2024•南山区校级模拟）如图，点。是Rt△48C的斜边4C上一点，且N48C=90°,N4=

30°,BC=4近,以8。为斜边作等腰RtZXBQE,使E,C在8。同侧，连接CE,则CE的最小值

为

三.解答题（共11小题，满分72分）

17.（6分）（2024•南昌一模）（1）计算：我一2sm45。：

（2）已知b为实数，"”=2,用'求』的值.

18.（6分）在RtZ\/5C中，ZC=90°,sin>l=g,求co”,sinZ?,cosB,tarvl,tanZ?的值.

19.（6分）（2024•天元区校级一模）如图，正比例函数y=的图象与反比例函数y=¥（x>0）的图象相

JX

交于点4

（1）求点A的坐标.

（2）若线段。力的垂直平分线8C交x轴于点。.求线段OD的长.

□

20.（6分）（2024•东营区模拟）如图，在Rt^/18。中，NC=90；D为8c上一点，4?=5,1,tan8=*

NBAD=a.

（1）求的长;

(2)求sina的值.

21.（6分）（2023•大兴区二模）如图，在△48C中，AB=AC,力。_L8C于点。，延长。。到点E,使CE

=CD.过点E作EE〃力。交NC的延长线于点R连接力E,DF.

（1）求证：四边形力。心是平行四边形；

（2）过点£作£G_LQb于点G,若4。=2,AE=5,求EG的长.

22.（6分）（2023•平遥县一模）阅读与思考.

请仔细阅读并完成相应的任务.

利用我们所学习的三角函数的相关知识可以解决许多关于三角形边长、角度、面积等问题.如图，在锐

AHAH

角△/8C中，/A,/B,NC的对边分别是a,b,c过点8作8"_L4C于点”，则cos/二前二^,

即力〃=c・cos/,于是C〃=8-c・cos4在中，BH1=AB2-AH2,在RtZ\B，C中，BH2=BC2

-CH2,••c1-c2cos2/l=a2-(b-c*cosA)2,整理得a2=b1+c2-2bc・cos4.

任务：

(1)b2=,c2=；

(2)已知△48C中，/A,/B,NC所对边分别是a,b,c,a=V5,b=2,cosC=络，求c.

23.(6分)(2023•郸州区校级自主招生)阅读材料:对于正数〃、4有(E-OZ0,所以a+b-2痴Z0,

即Q+bN当且仅当。=b时取“=”，特别地：Q+WN2m=2(当且仅当。=1时取“=”).因

此，当a>0时，a+!有最小值2,此时。=1.简单应用：

(1)函数y=2—不一晟。>0)的最大值为.

1

(2)求函数y=4%+不彳(%>1),当.丫=时，最小值为.

解决问题：

(3)已知P(-2,3)是反比例函数y=(图象上的点，。是双曲线在第四象限这一分支上的动点，过

点Q作直线，使其与双曲线y=?只有一个公共点，且与x轴、y轴分别交于点4、8.另一直线y=1x+6

人乙

与x轴、)，轴分别交于点C、D,求四边形48CD面积的最小值.

24.（6分）（2024秋•息县期末）如图，直线”=-3+4与双曲线y=?（k,0）交于4B两点,点力的坐

标为（1,/〃），经过点A直线”=x+〃与x轴交于点C.

（1）求反比例函数的表达式以及点。的坐标；

（2）直接写出不等式—x+4>5的解集.

25.（8分）已知二次函数图象的顶点坐标为"（2,0）,直线），=户2与该二次函数的图象交于4B两点,

其中点力在〉，轴卜.如图所示.

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）。为线段力4上一点（不与4、4重合），过点夕作x轴的垂线PC与二次函数图象交于点。，设

线段尸。长为外点。的横坐标为x.求歹与x之间的函数关系式，并求自变量x的取值范围.

26.（8分）（2024•船营区模拟）【特例感知】

（1）如图1,点。为直线/上一点，将一块等腰直角三角板的直角顶点与。重合，两条直角边4C、BC

在直线/的两侧，过力作力。1/于点。，过8作8E_L/于点£,求证：AD=CE.

【应用拓展】

（2）当等腰直角△4C8的边4C落在直线/上，ZACB=90°,AC=BC,。为直线/上的一个动点（点

。不与力、。重合），连接8。，将线段4。绕点4逆时针旋转90°的得到线段连接幺£,Z1E与射

线8C交于点立

①如图2,求证：AF=EFx

②当BC=3CF时，请直接写出力。：AC的

B

图1图2

值.备用图

27.（8分）（2024春•山亭区校级月考）解下列小等式，并将他们的解集在数釉上表示出来.

(1)2x-(9x+4)V3；

1-xx+2

(2)〈一丁

3I

x-34x-l

(3)<1.

24

参考答案与试题解析

选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）

1.（3分）（2024秋•开远市校级期中）当xVO时，图中表示函数歹=《的图象的是（）

【考点】反比例函数的图象.

【专题】反比例函数及其应用；几何直观；推理能力.

【答案】D

【分析】根据反比例函数的图象性质及自变量的取值范围可知.

【解答】解：函数y=［中的4=1,故其图象在一、三象限，当xVO时，其图象在第三象限.

故选：D.

【点评】本题考查了反比例函数的图象，反比例函数的图象是双曲线，当火＞0时，它的两个分支

分别位于第一、三象限；当片V0时，它的两个分支分别位于第二、四象限.

2.（3分）下列哪个点在反比例函数的图象上（）

A.P\（1,-4）B.Pi（4,-1）

C.03（2,4）D.&（2V2,6

【考点】反比例函数图象上点的坐标特征.

【专题】反比例函数及其应用；运算能力.

【答案】D

【分析】根据得左=xy=4,所以只要点的横坐标与纵坐标的积等于4,就在函数图象上.

【解答】解；4、IX（4）=4K4,所以点G（1,-4）不在函数图象上，不符合题意;

B.4X（-1）=-4K4,所以点P2<4,-I）不在函数图象上，不符合题意；

C、2X4=8W4,所以点P3（2,4）不在函数图象上，不符合题意；

D、2V2xV2=4,所以点。4（2夜，V2）在函数图象上，符合题意，

故选：D.

【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，掌握反比例函数的基本性质是解题的关键.

3.（3分）（2025秋•秦都区校级期中）下列说法不正确的是（）

A.点（1,2）在第一象限

B.点（・3,5）到y轴的距离为3

C.已知点M（2,3）,点N（-2,3）,则MN〃工轴

D.若xy=0,则点（x,y）一定在x轴上

【考点】坐标与图形性质.

【专题】半面直角坐标系.

【答案】D

【分析】通过逐一分析各选项，判断其正确性即可.

【解答】解•：4、点（1,2）的横坐标1>0,纵坐标2>0,则点（1,2）在第一象限，正确，不符合

题意；

4、点（-3,5）到y轴的距离|-3|=3,正确，不符合题意：

C、点M（2,3）和点N（-2,3）的纵坐标均为3,

・・・MN〃x轴，正确，不符合题意；

D、由xy=0,得x=0或y=0,点可能在x轴上（y=0）或y轴上（x=0）或原点（x=0,y=0）,

，不一定在x轴上，错误，符合题意.

故选：D.

【点评】本题考查平面直角坐标系中点的坐标特征、点到坐标轴的距离、平行于坐标轴的直线条件等基

础知识.

4.（3分）（2023春•淮安月考）如果0°<ZJ<45°,那么sin/与cos4的差（）

A.大于0B.小于0C.等于0D.不能确定

【考点】锐角三角函数的增减性.

【专题】解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力.

【答案】B

【分析】由0。VN/iV450,可得/力V90°-Z/1,进而得到sinJVsin（90°-ZA）,再根据互余两

锐角三角函数的关系进行解答即可.

【解答】解：・・・0°<ZJ<45°,

A45°V(90°-ZJ)<90°,

AZ/)<90°-Z/l,

sin/Ksin(90°-Z.A),

即sirt4<cosJ,

siivl-cosnVO,

故选：B.

【点评】本题考查锐知三角函数的增减性，掌握当N4V90°・/4时，siMVsin(90°-ZJ)以及

sinJ=cos(90°-A)是正确解答的关键.

5.(3分)(2024•德阳)某校学生开展综合实践活动，测量一建筑物CO的高度，在建筑物旁边有一高度

为10米的小楼房力从小李同学在小楼房楼底8处测得。处的仰角为60°,在小楼房楼顶力处测得C

处的仰角为30°3B、CO在同一半血内，B、。在同一水平曲上)，则建筑物C。的高为()米.

【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题.

【专题】解直角三角形及其应用；运算能力；应用意识.

【答案】B

【分析】设过点力的水平线于CO交于点E，在中，用CO表示80,在Rt△力CE中，用CQ

表示AE,再利用AE=BD列方程即可求出CD.

【解答】解：设过点月的水平线于CO交于点E,如图，

由题意，知：四边形/8OE是矩形。£>=48=10米，AE=BD,

在RtABCD中，

BD==*D,

在中，

AE=-r-^Tp=V3(CD-DE=V3(CD-10),

Z.V3(CD-10)=孚。。，

解得C0=15(米)，

故选：B.

【点评】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，通过作辅助线构造直角三角形是解题的关键.

6.(3分)(2025春•靖江市校级期末)定义：若x,y满足y=三e》=/巴(/〃为常数)，则称点M(x,

*DD

y)为“和谐点”.下列说法正确的是()

①尸(2,2)是“和谐点”;

②直线y=-2x+5上有且只有一个“和谐点”；

③当人＞2时，反比例函数y=(的图象上最多只有两个“和谐点”；

A.①B.①②C.①③D.②③

【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；一次函数图象上点的坐标特征.

【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力.

【答案】A

【分析】依据题意，由“和谐点的定义”以及联立方程组进行求解即可.

【解答】解：①由题意得，、=写%=2,

»•m--2.

,x=-~弱及=2，故①成立.

②由题意可得，—2%+5=三%，

in=X2+6X-15»

(-2x+5)2-m

/.------------------=X.

3

••・将tn=x^+6x-15代入上式，

-29x+40=0,.

・・・x=8或％故②错误.

③出题意，•・•反比例函数y=2最多有两个和谐点，

，联立反比例函数与和谐点定义，则-3kx・F=0

，（x2-4）（f+3x+%）=0,

・4-%=（）或x2+3x+k=O,

X>2,

解x2-k=0得x=±y/k,

解x2-3x+左=0,

•・•A=9-4k,

工当左=2.1时,A=9・4”>0,

・・・F-3x+A=（）有两个不相等的实数根，

••・该方程可能有4个实根，

故③错误.

综上，正确的有①.

故选：A.

【点评】本题主要考查比例函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征，正确理解新定义

是解题的关键.

7.（3分）（2022秋•连山区月考）如图，点心尸在函数/=言（》>0）的图象上，四边形CO45是正方形,

四边形尸。是长方形，下列说法不正确的是（）

A.长方形4C尸G和长方形G/E尸的面积相等

B.点4的坐标为（4,4）

C.y=?的图象关于过点。与8的直线对称

D.长方形尸OEP和正方形C044面积相等

【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；矩形的性质；正方形的性质;

坐标与图形变化-对称：坐标与图形变化-旋转：反比例函数的性质.

【专题】反比例函数及其应用；应用意识.

【答案】B

【分析】根据反比例函数图象的性质即可求解.

【解答】解：/、因为点8、点2为反比例函数上的点，所以=则四边形CO/3

和四边形尸C底尸面积相等，所以长方形5bG和长方形G4Eq的面积相等.所以力选项不符合题意；

8、点8坐标对应-y值相乘的积为4,所以点8的坐标为(2,2),所以8选项符合题意；

C、因为四边形CO45为正方形，所以06为正方形对角线，也是反比例函数的对称轴.所以C选项不

符合题意；

D、因为点4、点。为反比例函数上的点，所以BCX4B=PFXPE=4,则四边形CO4?和四边形歹OEP

面积相等.所以。选项不符合题意；

故选:B.

【点评】本题考兖反比例函数图象的性质，解题的关键是掌握反比例函数中A的几何意义.

8.(3分)(2025•越秀区校级开学)如图，在平面直角坐标示中，平行四边形048C的顶点力(5,4),点

〃在第一象限内，顶点C在y轴上，经过点力的反比例函数y=!(%>0)的图象交4C于点。，若点。

人

【考点】反比例函数系数k的几何意义：反比例函数图象上点的坐标特征；平行四边形的性质.

【专题】反比例函数及其应用；多边形与平行四边形；运算能力；推理能力.

【答案】D

【分析】设C(0,〃)，由题意可知8(5,〃+4),进一步求得。(5,〃+2),由点力、。在反比例函数y=?(x>0)

的图象上，得至I」k=5X4=,(〃+2),解得〃=6,利用平行四边形的面积公式求得即可.

【解答】解：设C(0,«),

•・•平行四边形CM8C的顶点/(5,4),点8在第一象限内，顶点。在y轴上,

:・B（5,〃I4）,

丁点。为线段8。的中点,

5

.*.£>（-»n+2）,

2

•・•点力、。在反比例函数y=［（%>0）的图象上，

.\jt=5X4=15+2）,

解得〃=6,

：.0C=6,

，平行四边形048。的面积为：6X5=30.

故选：D.

【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质，正确表示点的坐标是解题的

关键.

二.填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）

9.（3分）（2024•昌平区校级开学i在反比例函数y=9的图象上有两点（1,刈），（2,”），则、>”.（填

“>”或“V”）

【考点】反比例函数图象上点的坐标特征.

【专题】反比例函数及其应用；运算能力.

【答案】>.

【分析】根据反比例函数的图象性质：当K>0时，在第一象限内，y随X的增大而减小，根据0V1V2,

可判断川与”的大小.

【解答】解：•・•反比例函数产4,k=1>°，

，在第一象限，y随x的增大而减小，

VO<1<2,

>yi.

故答案为：>.

【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征和性质，对于反比例函数y=5&H0）,当k>0

时，在每一个象限内，歹随x的增大而减小；当A-V0时，在每一个象限内，y随x的增大而增大.

1（）.（3分）为△力4。的两条边长分别是6和8,则其最小角的正弦值是_之或2_.

【考点】解直角三角形.

【专题】分类讨论；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力.

3V7

【答案】二或丁

54

【分析】分两种情况讨论：当6和8是直角边长时，利用勾段求出斜边长是付不沥=10,则最小角的

正弦值=叱坐":当6是直角边长，8是斜边长时，利用勾股求出另一条直角边长是府二不=2夕,

斜边长

最小边的长

则最小角的正弦值=

斜边长

【解答】解：当6和8是直角边长时，斜边长是V62+82=10,

3

所以最小角的正弦值是3;

当6是直角边长，8是斜边长时,

另一条直角边长是衍W=2近，即最短边长是2位，

2aV7

所以最小角的正弦值是y=—.

84

故答案为：|■或冬

【点评】本题主要考查勾股定理、解直角三角形，解题关键是熟知：在直角三角形中，①三边之间的

关系：冉庐一：②边角之间的关系：sinJ，”髻建,警二1,taM="絮

斜边。斜边c5的邻边b

（q,b,c分别是NAN8、NC的对边）.

11.（3分）（2024•祁江区二模）如图，点4、B、C、。在网格中小正方形的顶点处，力。与5c相交于点

O,则tanNZOB的值为3

【考点】解直角三角形.

【专题】解直角三角形及其应用；运算能力.

【答案】3.

【分析】过点力作8c的平行线4E,根据勾股定理求出力。，发现力。=£。，再过点力作ED边的垂线,

构造出直角三角形即可解决问题.

【解答】解：过点/作4C的平行线/E,交。。延长线于点E,过点力作EO的垂线，垂足为

由勾股定理得，

AD=V32+42=5,

:,DE=AD,

：・/EAD=NAED,

又•：AE〃BC,

，ZAOB=ZEAD,

ZAOB=ZAED.

在RtZXjEW中，

tan/AED==y=3,

/.lanZAOB=tanZAED=3.

故答案为：3.

【点评】本题考查解直角三角形，通过平行线的性质及等边对等角将4/08进行转化是解题的关键.

12.(3分)(2025•雁塔区校级一模)如图，已知点小4分别在反比例函数y=称(％>0),y=-^(x>0)

【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；解直角三角形：反比例函数的性质.

【专题】反比例函数及其应用；运算能力；推理能力.

【答案】3

【分析】作/C_Ly轴，垂足为C,轴，垂足为。，证明得到注蝮=(照)？==

即tan8=多求得N8=30‘，从而求得sin8=4.

【解答】解：作《CJL歹轴，垂足为C,BDlyffl,垂足为。，

*：AO1BO,

AZAOC=ZOBD=900-ABOD,

'：/ACO=/ODB=90°,

，△ACOSXODB,

.S&AOC/04q)■

S^BODOB

qq

..•点/、B分别在反比例函数y=歹(％>0),y=一歹(％>0)的图象上，

39

.*.5AJC0=2»S/、ODB=］，

OA,i

OB3

>04_V3

tan5=苧，

；・NB=30°,

1

s\nB=—.

2

【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数上值的几何意义是关键.

13.(3分)(2024秋•武侯区校级月考)如图，直线歹=ax+b(a>0)与双曲线y=5(k>0,%>0)交于点

A(1,3),则当x>0时，不等式ax+bV刍的解集是OVxVl.

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题.

【专题】用函数的观点看方程（组）或不等式；几何直观.

【答案】0<x<l.

【分析】借助图象求出不等式的解集即可.

b

【解答】解：直线（心0）与双曲线y=?（k>0,*>0）交于点4（1,3）,

观察图象，不等式办+匕V§的解集是OVxVl,

故答案为：0<x<l.

【点评】本题考查函数与不等式的关系，解题关键是能够根据图象交点左右两侧y值大小关系求解.

14.（3分）（2025♦深圳模拟）如图，一束太阳光从天花板和落地窗交界处的点月射入，经过地板MN上的

C、。两点反射到天花板上形成光斑4、B.中午和下午某时刻光线与地板的夹角分别为a,p.由光的

反射原理可知，NPCM=NACN=a,/PDM=NBDN=｝已知天花板与地面是平行的，且它们之间

的距离为3m,当a=45°,0=30°时，光斑移动的距离相为―（6V3-6）一米.

【专题】解直角三角形及其应用；应用意识.

【答案】（6V3-6）.

【分析】过点C作CE_L尸氏垂足为石，过点。作。尸J■尸以垂足为尸，根据题意可得：CE-DF-3m,

△力。尸和48。/）都是等腰三角形，8尸〃"3从而可得/a。=/?。川=45°,/8/?。=/〃）八才=30°,

然后在Rt△尸CE中，利用锐角三角函数的定义求出PE的长，从而求出/P的长，再在RtZ\PZ）产中，

利用锐角三角函数的定义求的废的长，从而求出8尸的长，最后利用线段的和差关系进行计算即可解

答.

【解答】解：如图：过点。作。七_1_尸以垂足为E,过点。作_LP8,垂足为巴

地板

由题意得：CE=DF=3m,ZX」。尸和△BOP都是等腰三角形，BP//MN、

/.ZJPC=ZPCM=45°,/BPD=/PDM=30°,

在Rt△尸C七中，PE==3（w）,

vIXfCi,

:.AP=2PE=6（w）,

nro

在RtZW乃中，PF==3y[3（zn）,

cciriouvs

T

:.BP=2PF=6如（w）,

：.AB=BP-AP=（673-6）泪,

，光斑移动的距离NR为（60-6）m,

故答案为：（6代—6）.

【点评】本题考杳了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的

关键.

15.（3分）（2024•大连模拟）如图，直线^=h+力与函数y=£（x>0）的图象相交于点尸（1,2）,则不等

人

式一>kx+匕的解集为0W1.

x

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题.

【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力.

【答案】0<x<l

【分析】根据函数图象直接写出不等式的解集即可.

【解答】解：由图象可知，不等式竺〉H+b的解集为：OVxVl.

x

故答案为：OVxVl.

【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式是关键.

16.（3分）（2024•南山区校级模拟）如图，点力是RIZX/8C的斜边力。上一点，且/月夕。=90",//=

30°,4。=4鱼，以为斜边作等腰RtZSAZM,使召，。在同侧，连接CZ?,则€7?的最小值为2

【考点】相似三角形的判定与性质；垂线段最短；三角形三边关系；全等三角形的判定与性质；含30

度角的直角三角形；勾股定理；等腰直角三角形.

【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；图形的相似；推理能力；应用意识.

【答案】2.

【分析】如图，过点C作C〃_L4C,使CH=CB,连接BH,HD,利用等腰直角三角形的性质和相似三

角形的判定与性质得到CE与。〃的关系，则当C£取最小值时，。〃最小；所以当由于垂

线段最短，此时。，最小，接着利用含30°角的直角三角形的性质和勾股定理求得〃。即可得出结论.

【解答】解：如图，过点C作C〃_L4C,使CH=CB=4a,连接8从HD,

则为等腰直角三角形，

:./HBC=450.

,:XBDE为等腰直角三角形，

：.NDBE=/BDE=45°,BE=DE,

JZDBE=/HBC,

：.NDBH=NEBC.

BDHB

V—=—=rV2»

ULJUC

：ABDHs^BEC,

：.CE=^DH,

・•・当。，取最小值时，CE最小.

・••当时,此时。，最小.

,:CH工BC,ABLBC,

；・/HCD=NA=3Q°,

:・HD=%C=2五,

：.CE=^-DH=2,

・••"的最小值为2.

故答案为：2.

【点评】本题主要考查了直角三角形的性质，勾股定理，含30°角的直角三角形的性质，等腰直角三

角形的性质，恰当的添加辅助线构造直角三角形的是解题的关犍.

三.解答题（共n小题，满分72分）

17.（6分）（2024•南昌一模）（1）计算：加一2sm4S。：

Q］匕

（2）己知a,b为实数,。+38=2,用,求「的值.

1-0

【考点】实数的运算；特殊角的三角函数值.

【专题】实数；运算能力.

【答案】（1）V2；（2）2.

【分析】（1）首先计算开平方和特殊角的三角函数值，然后计算乘法，最后计算减法，求出算式的值即

可；

（2）根据a+3b=2,可得。=2-36,把a=2・3Z）代入坐，求出算式的值即可.

1-b

【解答】解：（1）诉-2s出45。

=2a-2x孝

=2V2-V2

=«.

（2）•・•〃+3b=2,

・・・a=2-3b,

a+b

•,百

2-3b+b

~1-b

2-2b

~~T^b

=2

【点评】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一

样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级

运算要按照从左到右的顺序进行.

4、

18.(6分)在中，ZC=90°,sin4=g,求coM,sinB,cosB,taiM,taiB的值.

【考点】互余两角三角函数的关系;同角三角函数的关系.

【专题】解直角三角形及其应用；运算能力.

……33443

【谷案】-；g；-；--

【分析】根据siiZ4+cos?/=1可得cos4,根据/4+/8=90°得sin8=cos力，cos8=sinJ,再根据

⑶吹二照,tan8=^|即可得出答案•

【解答】解：在Rt△力8c中，ZC=90°,sin/=4/5,

Vsin2J+cos2J=1,

cosJ=V1—sin2A=J1-(')2=卷,

VZA+ZB=90°,

34

.*.sinZ?=cosJ=cos8=sin/1二弓,

.,.sinA4,sin33

••tanJ=^Z=Ttan^n=^I=4-

【点评】此题主要考查了互余两角三角函数的关系，同角三角函数的关系，熟练掌握互余两角三角函

数的关系，同角三角函数的关系是解决问题的关键.

19.（6分）（2024•天元区校级一模）如图，正比例函数、=打的图象与反比例函数y="Q>0）的图象相

交于点力.

（1）求点A的坐标.

（2）若线段的垂直平分线8C交x轴于点Z）.求线段0D的长.

【考点】反比例困数与一次困数的交点问题.

【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力.

【答案】（1）4（3,4）；（2）。。=年.

【分析】（1）解两个函数联立组成的方程组即可；

（2）由题意可得：CO垂直平分连接4。，如图，根据线段垂直平分线的性质可得40=00,设

D（加，0）,根据两点间的距离建立方程，解方程即可求出答案.

A

y=

【解答】解：（1）解方程组1%

JL4

Vy=一x

公俨1=3（x2=-3

得1%=4,[y2=-4'

Vx>0,

：.A（3,4）；

（2）由题意可得：。。垂直平分。力，

连接力。,如图，则/。=。。,

设。（〃[，0）,

则nr=（w-3）2+42,

解得m=等，

；.0D==2^5.

【点评】本题考查了•次函数与反比例函数的交点、线段垂直平分线的性质以及勾股定理的应用等知识,

熟练掌握上述知识是解题的关键.

20.（6分）（2024•东营区模拟）如图，在Rt△48C中，NC=90°.D为BC上一点、,AB=5,BD=1,tan5=

NBAD=a.

（1）求的长；

（2）求sina的值.

八

【考点】解直角三角形.

【专题】解直角三角形及其应用：几何直观；运算能力.

【答案】(1)3V2：

V2

⑵行

【分析】⑴根据tan81可设力C=3x,得BC=4x,再由勾股定理列出x的方程求出x,最后放在

Rt△彳CD中由勾股定理求Z。；

(2)要求sina的值，想到把a放在直角三角形中，所以过点。作。垂足为点、E,然后放在直角

三角形七中，利用tam?的值求出4E与。E,进而求得结果.

【解答】解：(1)在RtAJBC中，NC=90°,tan8=*49=5,

・•・可设/C=3x,BC=4x,

222

•：AC+BC=ABf

:.(3x)2+(4x)2=52,

解得，x=-1(舍去)，或x=l,

AJC=3,BC=4,

■:BD=\,

:・CD=3,

：.AD=y/CD2+AC2=372：

(2)过点、D作DEL4B于点、E,

B

在RtZXAE。中，tan"

・•・可设。E=3.y,WOBE=4y,

DE1\DE1=BD2>

:.（3y）2+（4y）2=I2,

解得，y=-1（舍），或尸/

.,.DE=5，

.._DE_5_J2

•,即。=而=荻=奇

【点评】本题考查了是解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义和勾般定理是解题的关键.

21.（6分）（2023•大兴区二模）如图，在△48。中，AB=AC,4DLBC于点D,延长QC到点E,使CE

=CD.过点E作EE〃/1。交/C的延长线于点R连接力E,DF.

（1）求证：四边形4。住是平行四边形；

（2）过点E作EG上DF于点G,若BD=2,AE=5,求EG的长.

【考点】平行四边形的判定与性质；等腰三角形的性质.

【专题】三角形；图形的全等；等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；运算能力；推理能力.

【答案】（1）证明见解析；

12

⑵T-

【分析】（1）证△尸（4S4）,得即二力。，再由平行四边形的判定即可得出结论；

（2）由平行四边形的性质得。/=4E=5,再由等腰三角形的性质得8=80=2,则OE=2CO=4,

进而由勾股定理得EF=3,然后由面积法求出EG的长即可.

【解答】（1）证明：•・•加'〃力D,

NFEC=ZADC,

又YCE=CD,ZFCE=ZACD,

:•△FCE色S（ASA）,

:,EF=AD,

・•・四边形ADFE是平行四边形:

（2）解;如图,

由（1）可知，四边形必是平行四边形，

:.DF=AE=5,

*：AB=AC,ADLBC,

：.CD=BD=2,

:,CE=CD=2,

：.DE=2CD=4,

*：EF//AD,

:・EF工BC,

AZDEF=9O0,

：.EF=yJDF2-DE2=A/52-42=3,

VEG1DF,

gDF・EG=寺DE・EF，

.片厂DEEF4x312

即EG的长为蓝.

【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定

理以及三角形面积等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键.

22.（6分）（2023•平遥县一模）阅读与思考.

请仔细阅读并完成相应的任务.

利用我们所学习的三角函数的相关知识可以解决许多关于三角形边长、角度、面积等问题.如图，在锐

AUAU

角△/8C中，ZJ,4B,NC的对边分别是a,b,。过点4作4〃_L4C于点〃，则cosA=翳=釜■,

即4〃=c・cos/，于是CH=b・c・cos4在Rt△力8〃中，Blf=AB2-AH2,在RtZ\8HC中，BH2=BC2

-CiP,c2-c2cos24=02-(b-c*cosA)2,整理得a2=b2+c2-2hc*cosA.

任务；

(1)62=42+C2-2〃CCOS8,犬二射+川-2McosC；

(2)已知△48C中，N4/B,NC所对边分别是。，b,c,a=遍，b=2,cosC=求c.

【考点】解直角三角形；勾股定理.

【专题】解直角三角形及其应用：推理能力.

【答案】(1)a2+c2-2accos8；a2+b2-2"cosC；

(2)c=V5.

【分析】(1)直接根据/=〃+c2・2bc・cos4进行类比即可求解；

(2)根据4=a2+b2・2abcosC代入数值可得。2=5,继而求解即可.

【解答】解:(1)根据a2=b2+c2-2bc*cosA进行类比，可得bi=a2+c2,-laccosB,c2=a2+b2-2abeosC.

故答案为：a2+c2-2accosB,a2+b2-2tz/)cosC；

(2)Vc2=a2+Z>2-2。加osC,a=V5>6=2,cosC=殍，

22

Ac=(㈣2+2-2XV5X2X^,

即C2=5,

解得CI=V5,c2=-V5(舍去)，

，c=V5.

【点评】本题考查了解宜角三角形，读懂题意，熟练掌握知识点是解题的关键.

23.(6分)(2023•郸州区校级自主招生)阅读材料:对于正数a6,有(8-VS)2>0,所以a+b-2房>0,

即a+匕22病(当且仅当a=b时取“=”，特别地：a+j>2JTJ=2(当且仅当〃=1时取“=”).因

此，当a>0时，a+：有最小值2,此时。=1.简单应用：

(1)函数、=2—工一3。>°)的最大值为7.

13

(2)求函数y=4x+三口(％>1),当x=_]—时，最小值为8.

解决问题:

(3)已知P(-2,3)是反比例函数y=2图象上的点，。是双曲线在第四象限这一分支上的动点