江西省南昌某校2025-2026学年高三（上）期末数学试卷

江西省南昌十中2025・2026学年高三（上）期末数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题绐出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合/={%EN|炉V27},则4的子集的个数是（）

A.4B.8C.16D.32

2.已知一1+是关于x的实系数方程产+mx+n=0的一个复数根，则zn+n=（）

A.-5B.-1C.1D.5

3.已知抛物线V=2p%的焦点为凡点4B,C在抛物线上，F为&48c的重心，K|E4|+|而|+\FC\=12,

则p的值为（）

A.3B.4C.5|D.61

4.已知函数/■（%）=4tan（（jox+9）®>0,0<0<兀）的部分图象如图所示,

则不正确的是（）

A.9=会

B.f（x）的图象与y轴的交点坐标为（0,-殍）

C.co=2

D.函数y=/（%）的图象关于点（？,0）对称

5.若直线旷=心:+8是曲线丫=旧.+2）的切线，也是曲线y=历工+4的切线，则忆=（)

AiB.2C.In2D.2ln2

6.如图，M为△/18C的外接圆的圆心，AB=4,AC=6,N为边BC的中点，则

前.祠=（）

A.5

B.10

C.13

D.26

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7.甲、乙、丙、丁4人做传球游戏，球首先由甲传出，每个人得到球后都等可能地传给其余3人之一.第九

次传球后，球在甲手中的概率为乙，在乙手中的概率为Qn，则下列结论错误的是（）

A.22=1B.22025>Q2025

C.Pn=*口-（-1）Zl-1]D.Qn=午口-（_1），11

8.古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥面的方法来研究圆锥曲线，如图1,设圆锥轴截面的顶角为2a,

用一个平面「去截该圆锥面，随着圆锥的轴和r所成角夕的变化，截得的曲线的形状也不同.据研究，曲线的

离心率为。=啦，比如，当时，e=l,此时截得的曲线是抛物线.如图2,在底面半径为1,而为2dl

cosa厂

的圆锥S。中，AB.CO是底面圆0上互相垂直的直径，E是母线SC上一点，SE=2EC,平面ABE截该圆锥面

所得的曲线的离心率为（）

1<3「门2/3

AA.-nB.—C.—nD.

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.下列选项正确的是（）

A.设X是随机变量,若X〜N（3,2）,则E（X）=3

B.已知某组数据分别为1,2,3,5,6,6,7,9,则这组数据的上四分位数为6

C.二项式（2炉-54展开式中的常数项为一8

D.设X是随机变量，若牙―8（9、），则O（3X+5）=6

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10.如图，菱形/BCD边长为2,Z.BAD=60。,E为边48的中点.将△ADE沿DE折起，使/到力'，且平面力'DE1

平面8CDE,连接力,8,4’C.则下列结论中正确的是()

B.四面体4'CDE的外接球表面积为87r

C.BC与4'。所成角的余弦值为,

D.直线4'8与平面力'CO所成角的正弦值为？

11.已知函数/'(%),g(x)的定义域为R,7(2-x)+^(x)=5,且g(x+2)-2)=7,若幽数g(%+2)

为偶函数，9(2)=4.则()

A.f(x)为奇函数

B./(I)=1

C./«=f(x+4)

D.f(l)+f(2)+f(3)+…+f(2025)=-2025

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中.若每个信封放2张，其中标号为1,

2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有_____种.

13.已知B，/2分别为双曲线C5一芸=1(。>03>0)的左，右焦点，以F/2为直径的圆与其中一条渐

近线在第一象限交于点P,过点P作另一条渐近线的垂线，点灯恰在此垂线上，则双曲线C的离心率为—.

14.设满足方程(2amQ-b)2+(/-me+3+d)2=0的点(a,b),(c,d)的运动轨迹分别为曲线M、N,若在

区间弓,引内，曲线M，N有两个交点(其中e=2.71828…是自然对数的底数)，则实数m的最大值为一.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题13分)

记数列4｝的前几项和为又其中即=一去Q"。，对任意的共犷，有段+康+•••+点七=1-2^7

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(1)求数列｛%｝的通项公式;

(2)求Sn-

16.(本小题15分)

自“机器人扭秧歌”这一节目在2025年春晚舞台大放异彩后，宇树科技这家专注于四足机器人研发的中国

科技公司在全球范围内倍受瞩目.旗下一款机器人Unitree4ieng。在巡检与监控、安防与救援、科研与影视

等方面应用广泛.现统计出机器人在某地区2024年1月至5月的销售量如表所示：

月份工12345

销售量y/台2637506493

(1)经计算样本的相关系数0.93,故变量by线性相关性很强，求y关于”的经验回归方程；

(2)用(1)中所求的经验回归方程来拟合这组成对数据，当样本数据的残差的绝对值大J'-5时，称该对数据为

一对“次数据”，现从这5对数据中任取3对做残差分析，求取到的数据中“次数据”对数X的分布列和数

学期望.

附：经验回归直线y=以+a中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b=事曰监2a=歹一成.

£i=i\x~x)

17.(本小题15分)

△£8。中，角4B,C的对边为a,b,c,已知cos(8—C)-cos4=右且a?=%

(1)证明：△48。为等边三角形;

(2)如图，若△力BC边长为3,点E,F分别在边8C,84上，将△BEF沿着线段EF对折，顶点8恰好落在边4c

上的。点，当4D=2DC时，求重叠部分DEr的面积.

18.(本小题17分)

已知函数/'(%)=2%-a仇x+4a,(ae/?).

(1)讨论函数/lx)的单调性；

(2)当1时，不等式/'(%)>4a恒成立，求实数a的取值范闱；

2

(3)令g(x)=/(%)+cosx,若存在%1，0W(0,+8)且％1烹电时，9(与)=9(必)，证明:xrx2<a.

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19.(本小题17分)

如图，柱体上下底面是椭圆面，力'8'、48分别是上下底面椭圆的长轴，C'D'、CD分别是上下底面椭

圆的短轴I,四边形488'A'和CD。，L为矩形，。'、。分别为上下底面椭圆的长短轴的交点，AB=

y[2CD=2>[2.M.N是下底面椭圆上两动点，MN不与力B平行或重合.

(1)证明：00'J•平面/108C；

(2)若AOMB，面积为定值，求。0’的长度；

(3)在(2)的条件下，当平面0M8,1平面。N8,时，求点。到直线MN的距离的取值范围.

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答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：因为炉<27,所以rv3,

所以4=<3}={0,1,2},

所以月的子集有2?=8个.

故选：B.

首先解不等式化简集合4再根据含有几个元素的集合有2n个子笑计算可得.

本题考查子集的定义，属于基础题.

2.【答案】D

【解析】解：因为一1+，云是关于》的实系数方程X2+巾工+71=0的一个复数根，

所以一1一，%是关于"的实系数方程公+mx+n=0的另一个复数根，

由韦达定理得（（T+誓）+（T-尸=-T

解得{二二：，

所以m+n=5.

故选:D.

利用一元二次方程根的性质得到另一个根，再结合韦达定理求出参数值，最后求解m+n的值即可.

本题主要考查了实系数一元二次不等式虚根成对定理的应用，属于基础题.

3.【答案】B

【解析】解：抛物线y2=2p%（p〉0）的焦点/《,0）,

不妨设力（3,为），F（x2,y2）,。（%3，乃），

此时|兄4|+\FB\+\FC\=叼+,+&+\+%3+9=（M+#2++3）+当，

因为F为△48C的重心，所以打+:+，所以打+%2+叼=”，

则|AF|+\BF\+\CF\=3p=12,解得p=4.

故选：B.

由题意,设做巧,力），取孙乃），。（小，乃），根据抛物线的定义得到I谆1+1而1+1正I的表达式，结合三角

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形重心的定义得到以与+冷+%3=胃，进而求出P的值，

本题考查抛物线的性质的应用，考查了逻辑推理和运算能力，是中档题.

4.【答案】A

【解析】解：由函数的图象知最小正周期为7=即T=J则"去解得3=2,选项C正确；

6320)2

所以/"(%)=4tcm(2x+租)，由2x?+0=〃7r+3，kEZ,解.得(p=kn—,kEZ,

J4o

又因为OV0V/T,所以k=l,3=也选项力错误；

由题意知/(x)=4tan(2x+整)，则/(0)=4tan整=一当三选项8正确；

OOO

因为函数y=t即％的对称中心(粤,0),kezt

由2x4+”=孚，则函数关于点(拶,0)对称，选项。正确.

故选：A.

根据函数的图象求出最小正周期，可判断选项C,再由图象代入相关对称点坐标可得°判断选项力；计算

/(0)可判断选项B；利用代入验证法可判断选项D.

本题考查了正切函数的图象和性质，是基础题.

5.【答案】B

【解析】解：因为y=ln(x+2),y=5X+4的导数分别为y'=2，y'=-,

乂直线y=kx+力是曲线y=ln(x+2)的切线，也是曲线y=lnx+4的切线，

设直线y=kx+b与y=ln(x+2),y=+4分别切于(m,ln(m+2)),(n.Inn+4),

1_ln(m+2)—/nn—4

1_ln(m+2)-ln(m+2)-4

解得九=m+2,

m+2m—-(7[n+2)

所以k=2.

故选:B.

根据导数的几何意义，方程思想，即可求解.

本题考查函数的公切线问题的求解•，属中档题.

6.【答案】C

【解析】【分析】

本题考查了向量的平行四边形法则、三角形外接圆的性质、数量积运算定义，考查了推理能力与计算能力,

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属于中档题.

由N是8C边的中点，可得而=；港+而)，利用M是的外接圆的圆心，可得丽•而二

\AM\\AB\cos^BAM=1\AB\2=1x42=8,同理可得奇•位1g|荷2=也即可得出结论.

【解答】

解：•.・7是BC边的中点，可得标=g(7市+正)，

••・河是4力8C的外接圆的圆心，

AMAB=\AM\\AB\cos/.BAM=^\AB\2=1x42=8,

同理可得而?•近="而F=a

：.AN-AM=^(AB+AC)-AM=；初•AB+^AM.4C=1x84-1x18=13.

故诜c.

7.【答案】B

【解「析】解：由题意得PR=0•Pr.i+[(I一0"-1)二?一^Pn-l,

故Pn-；=-g(Pn-l-丹其中Pi=O,所以

所以乙-；=-9(-犷-1，

所以/\="1一(一，-1],故C正确；

当%=2时，则。2=J3故/正确；

同理可得Qn=0-Qn-l+g(l-QR-1)=Qn-7=-7((2n-l-7)»

其中Qi/故Qi—=*，

所以Qn-/=七(一抒T,

所以Qn=；口一(-")"]，故。正确；

202420242025

P2025=i[l-(-1)]=1[1-(1)]，02025=i[1-(-1)]=|[1+6严5],

P2025-Q2025="[I-6加力一/口+(1)2025]=-^[(|)2°24+(g产?5]＜。，

P2025V^2025，故8错误•

故选：B.

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根据题意得到乙二一论1,构造等比数列，求出入二91一（一厂1］，同理求出点=1口一（一聂与，

CO正确，再判断出4从得到答案.

本题考查概率与数列的综合应用，属于难题.

8.【答案】C

【解析】解：由题意得NOSC=a，乙EOS=0,

贝।吐SC。=90°-a,乙EOC=90°—0,

所以。=辿=网舞，

cosasinz5c0

在么SOC中，SE=2EC,SO=26CO=1,

则|国2=（|4+：丽）2=［而2+《反赤+t砺2=1+《=+

所以OE二婴，且SC=3,EC=1,

由正弦定理得金=喜，

pgSinzEOC_EC_73

国OinzSCO~~EO~~2'

故选：C.

由题意得乙OSC=a,乙EOS=B，根据题设可得6=蚓=型熟，由己知求得。E=手，再杈据正弦定理

cosasinzACO3

求得结论.

本题考查椭圆离心率的求法，属中档题.

9.【答案】AC

【解析】解：X是随机变量，若X〜N（3,2）,则E（X）=3,故力正确；

某组数据分别为1,2,3,5,6,6,7,9,共8个，

则8x0.75=6,

故这组数据的上四分位数为亨=6.5,故4错误；

二项式（2炉-展开式的通项公式为：?r+i=q（2%3）4-r（_l）r=%2"『（-1）"12-什，

令12-4丁=0,解得r=3,

故常数项为C：x2x（-l）=—8,故。正确；

…（9W），

则D(X)=9xgx|=2,

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故D(3X+5)=9/?(X)=18,故D错误.

故选:AC.

结合正态分布的定义，二项分布的期望公式，二项式定理，上四分位数的定义，即可求解.

本题主要考查命题的真假判断，属于基础题.

10.【答案】BCD

【脩析】【分析】

本题考杳命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间位置关系等基础知识，主要考查数学运算、逻

辑推理等能力，是中档题.

将ZMDE沿DE折起，使A到4,，且平而4'DE1平面8CDE,连接力'8,AfC,则EB,ED,瓦4'两两垂

直，以E为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果.

【解答】

解：将△40E沿OE折起，使4到/T,H.平面47DEI平面8C0E,连

对干力，8(1,0,0),0(0,4,0)，4'(0,0,1)，C(2,60),

前=(-l,C,0)，C=(2,73,-l)»

•••丽•力'C=一2+3=1H0，•:8。与力'C不垂直，故A错误;

对于B,取CE中点F,连接。凡

•••1DC,FE=FD=FC=］：CE=173T4=?，

过F作F。1平面CDE,四面体4，CDE的外接球球心0在直线OF二,

设OF=t,由00=04，=R»得：+产=(+(1—£)2,解得t=：,...R=J；+*=

•••匹面体A'CDE的外接球表面积为：S=4TTR2=87，故4正确;

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对于C，近=(1,6,0)，A，D=(o,vy_l)，

设BC与4，。所成角为氏

则…国二岛J

\BC\\AV\4

・••BC与4'。所成角的余弦值为,，故。正确；

4

对于o，AfB=(1,0,-1)*力/C=(2,73,—1)，A7D=(0,73,-1)>

设平面力rCD的法向量m=(x,y,z),

则，----►>取z=V3»得ri=(0,1,，5)，

五•4'D=\[3y—z=0

设直线AzB与平面4'CD所成角为9，

・•・直线为'8与平面力’CD所成角的正弦值为:

闾_

mu_<5故。正确.

\AV\-\n\4

故选：BCD.

11.【答案】CD

【解析】解：因为f(%),g(%)的定义域为为/(2-％)+g(%)=5,

所以/(一%)+g(x+2)=5,又g(x+2)-f(x-2)=7,

所以/(一%)+/(%-2)=-2,

又数9(%+2)为偶函数,所以g(-x+2)=g(x+2),

对于4因为g(x+2)=5-/(一乃所以g(—x+2)=5-f(x),

所以5-/■(%)=5所以/'(一x)=f(x)，所以/1%)为偶函数，故Z错误：

对于C,因为/(-%)=/"(%),f(-x)+f(x-2)=-2,

所以/(%)+/'(%—2)=-2,

所以/(%+2)+f(x)=-2,所以f(%+4)+f(x+2)=-2,

所以/(x+4)=/Q),所以/(x)的周期为4,故C正确；

对干B,因为g(2)=4,所以/(0)=5—g⑵=1,

所以/'(2)=-2一/"(())=-3,

又/(1)+〃-1)=-2,/(%)为偶函数,/(-1)=/(1),故/'(1)=-1,故8错误;

对于。，由上分析，/(1)=-1,/(2)=-3,

又/⑶+f⑴=-2,即/⑶=一1,

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再取％=4,可得，(4)+/(2)=-2,即得f(4)=l,

由C项知，4是函数y=/'(%)的一个周期，目/'(1)+/(2)+f(3)+/(4)=-1-3-1+1=-4,

则/(I)+/(2)4-/(3)+•••+/(2025)

=506X=(1)+f(2)+f⑶+/(4)]+f(1)

=506x(-4)+(-1)=-2025,故。正确.

故选：CD.

根据题设条件赋值代入先推出函数f。)为偶函数，判断力项；再利用此结论推出4是函数y=/(x)的一个周

期，判断C项；进而赋值代入求出/'(1)=一1判断B项；最后求出/'(2),/(3),/(4),结合函数的周期即可计

算判断。项.

本题考查抽象函数的性质的综合应，属中档题.

12.【答案】18

【脩析】解：由题意知本题是一个分步计数问题，

先从3个信封中选一个放1,2有3种不同的选法，

再从剩下的4个数中选两个放一个信封有僚=6,

余下放入最后一个信封，

.快有3*=18

故答案为：18

本题是一个分步计数问题，首先从3个信封中选一个放1,2有3种不同选法，再从剩下的4个数中选两

个放一个信封有资，余下放入最后一个信封，根据乘法原理得到结果.

本题考查分步计数原理，解题的美键是注意到第二步从剩下的4个数中选两个放到一个信封中.

13.【答案】2

【解析】解：设焦点F](一C,0),则/+/=。2,且以F[4为直径的圆方程为%2+y2=c2①，

因点P在第一象限，所以渐近线方程：y②，

联立①(②，得P(a,b),

由题意得，直线PR与渐近线y=—5x垂直，所以言•(—《)=—1，

得M=a(a+c),BPc2-ac-2a2=0,所以e?-。-2=0,因为e>l,所以e=2.

故答案为：2.

根据以昆尸2为直径的圆方程与渐近线方程联立可得点P坐标，再由题意，直线P片与渐近线y=-5%垂直，

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可得Q,b,C的方程，可得离心率.

本题主要考查求双曲线的离心率，属于中档题.

14.【答案】e+2+三

e

【解析】解：•••(2alna—b)2+(c2—me+3+d)2=0,

•••2alna-6=0,c2-me+3+d=0,

依题意，曲线M：y=2xlnx,曲线N：y=-x2+mx-3,在区间在区间内，曲线M,N有两个交点,

即方程2%仇X=-x2+mx-3,也就是m=2lnx+x+：在X£[5,e]上有两解，

直线y=m与y=2lnx+%+|,xe弓，。]的图像有两个交点，

令，x[~,e],

g(X)=2/x+X+-xee

―—_+2x-3_(x+3)(x-1)

g⑴---一’

:.=~V%V1时，g'(x)<0,当1V%Ve时，g'(x)>0,

.•・9(%)在弓,1]上单调递减，在[l,e]上单调递增，g(e)=e+2+%g(；)=-2+：+3e,

且9(e)-。(；)=4+1-2e<0,

，g(e)vg(；)，

y=m与g(x)=-x2+mx-3,xG4，e]有两交点，

二m的最大值为e+2+-.

e

故答案为：e+2+-.

e

由题意可知，曲线M：y=2xlnx,曲线N：y=-x2+mx—3,在区间在区间内，曲线M,N有两个交

点,即方程2浦nx=—,丫2+mx—3在xE[:,可上有两解.即直线y=m与y=2Ex+x+:，xE[:,引的图

像有两个交点，令g(x)=22nx+x+；xe[^,e],求导可知g(x)的单调性，进而得到g(x)的最值，从而求

出血的最大值.

本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和最值，属于中档题.

=19

15.【答案】%={11；sn=n2--n+3.

\2n--,n>2乙

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【解析】解：（1）。1=一/Qn=0,对任意的n€N*,有=:+①

2C2a3a“Qn+i2an+1

当”=1时，—=-^-=1解得。2=-?，

Q]Q2。22。22

当九工2时，可得---I---F…H----—=1--2ya—>②

。2。3«n-lann

①—②'可~=—J-'

anan+l2。八2%+]

化为-%=2,对71=1不成立，

2

(2)Sn=-1+(-1)(n-l)+|(n-l)(n-2)x2=n-1n+3.

(1)令九二1,求得。2,将已知递推式中的九换为几-1，相减可得%+1-%=2,结合等差数列的定义和通项

公式，可得所求；

(2)由等差数列的求和公式，计算可得所求和.

本题考查数列的递推式和等差数列的定义、通项公式和求和公式，考查转化思想和运算能力，属于中档题.

16.【答案】y=16.1X+5.7；

【解析】(1)由所给数据得工=1+/：+4+5=3,

-26+37+50+64+93.

y=-------------=5r4,

2

所以X：=i(xf-x)=4+1+1+4=10,

鼠1(xi-祖力—y)=xiy(~5%y=26+74+150+256+465—5x3x54=161,

所以匕=*=16.1,a=54-16.1x3=5.7,

所以y关于％的经验回归方程为y=16.1%+5.7；

(2)这5对数据的残差的绝对值分别为4.2,0.9,4,6.1,6.8,

故5对数据中有2对“次数据”，

所以X的所有可能取值为0,1,2,

4C23C13

.33_

2---,

且P(X=O)=P(XC353

5510

所以X的分布列为：

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X012

PQ)133

10510

故X的数学期望为E(X)=lx|+2x^=|.

(1)利用最小二乘估计公式并结合题目所给数据即可求解；

(2)这5对数据的残差的绝对值分别为4.2,0.9,4,6.1,6.8,故5对数据中有2对“次数据"，所以X

的所有可能取值为0,1，2,然后求出每个取值所对应的概率即可得解.

本题考查了线性回归模型及离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题.

17.【答案】证明见解答：甯.

oU

【解析】(1)证明：因为cos(8—C)一cos/=今

所以cos(F-0+cos(F+0=

展开得：cosBcosC=；,(T)

由/二A及正弦定理可得：sinBsinC=sin2?l,②

①一[—sin2/l=cosBcosC—sinBsinC=cos(F+C)=—cosA,

因为siM/l+cos?/=1,所以4cos2力+4cos4—3=0,解得cosA=g或cosA=—怖(舍去)，

乂因为0＜力＜兀，所以4=?：

将4=/代入cos(8-C)-cosA=I，得cos(B—C)=1,

因为8,C6(0,当，所以8=C,则B=C,所以/=B=C=g,

所有△ABC是等边三角形：

(2)由力。=2。。及4。=3,得DC=1,设8E=EZ)=x,则CE=3-x,

在八CEO中，由余弦定理可得：DE2=CD2+CE2-2CD-CE.cos^,

即K=I2+(3—x)2—2x1x(3—x)x解得％=即BE=

设BF=DF=y,则力尸=3-y,

在么力广。中，由余弦定理可得：DF2=AF2+AD2-2AF-ADcosDAF,

即V=(3-y)2+4-2x2x(3-y)x解得y=孑即FD=孑

又因为乙E0F—S—马

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所以=JDE•DF•sin/EDF=|x^x^x^=甯.

(1)由两角和差的余弦公式可得cos8cosC=3再由条件式及正弦定理可得sEBsMC=siM4两式相减后结

合两角差的余弦公式，平方关系可求得cosA,再结合A的范围即可求得4再由cos(8-0-cos/=匏B=C,

从而即可证明；

(2)在△CE。中和△力FD中，分别由余弦定理求Of,FD,再由三角形的面积公式即可求得.

本题考杳利用正、余弦定理和三角形的面积公式，三角恒等变换知识解三角形，属于中档题.

18.【答案】解：(1)因为/(%)=2%-出〃x+4a定义域为(0,+oc),(%)=2-?=不，

所以当QW0时，/'(x)〉。恒成立，所以/■(%)在(0,+oo)上单调递增

当G>0时，由f'(%)>0得无>P由广(》)V0得0V%V0

即/(X)在《,+8)上单调递增，在(0,3)上单调递减，

综上可得当Q<0时,/(%)在(0,+8)上单调递增,

当G>0时，/(X)在(o£)上单调递减，在+8)上单调递增.

(2)当x>1时，不等式f(x)>4a恒成立=a<意在(1,+co)上恒成立，

设y=卷，％W(l,+8),所以y'

所以当1V%Ve时y'<0,当％>e时y'>0»

所以y=餐在(l,e)上单调递减，在®+8)上单调递增，

所以％=e时ymE=2e,所以a<2e；

(3)证明：因为g(x)=/(%)+cosx=2x-alnx+4Q+cosx,g(M)=9(皿)，

所以2xl-alnx1+cosx1=2x2-alnx2+cosx2

=a(lnxx-lnx2)=2(xt-x2)+cosx^-cosx2,

令A(x)=x+cosx,则hz(x)=1—sinx>0,

所以h。)在(0,+8)上单调递增,不妨设必>x2>0,

所以h(%])>/l(x2)=+COSX1>x2+cosx2=cosxr-COSX2>X2-xx

x

=>2(%1-x2)+COSXX—COSX2>2(%1—x2)+(2~%1)=Xl—x2>

所以以必打-Znx2)>XX-x2=>a>鬲4石，

要证巧也<。2,即a>3”[必,只需证勿:;二竟2>«

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令t=只需证号>4,只需证号一切£>0,

设m(£)=浣-lnt(t>1),则m'(t)=>0,

所以m(t)在(1,+8)上单调递增，所以77i(t)>m(l)=0,

所以石■-1>,即/“一：2>成立，

X2ylX?X2lnXi-lnX2v14

所以Q>yjX'Xz，即%1%2<Q2.

【解析】(1)求出函数的定义域与导函数，再分Q<0、Q>0两种情况讨论，分别求出函数的单调区间；

(2)参变分离可得QW融(1,+8)上恒成立，设'=芸，XE(l,+oo),利用导数说明函数的单调性，求出

函数的最小值，即可得解；

(3)根据题意可得a(，n%i-Ln%2)=2(xx-x2)-(cosx1-cosx2\通过构造函数h(x)=x+cosx,求函数单

调性及参变分离可得a>「匚,令亡=以«>1),通过导数得血«)=转一行的单调性，即可证

明m(t)>m(l)=0,从而可证明x/2<a?.

本题考查导数综合应用，属于中档题.

19.【答案】证明见解析；

VI：

【解析】(1)证明：根据题意易得/!"///1，。，，AB=AfBf,

O'B'//OB,0'B'=OB,

所以四边形0。'B'B为平行四边形，

又A4‘14B，所以。0/1AB，同理0。'1CD，又ABnCD=。，

所以00'1平面力DBC；

(2)根据题意，建系如图：

Zk

C

设BB，=九，M(30),

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则8,(0,

所以痴7"=(0,北