机器学习系统与优化 习题及答案 第三章

1.什么是不确定性决策？常见的不确定性决策准则有哪些？

2.什么是多属性决策？其核心特点是什么？

3.请简述层次分析法的基本步骤，并说明其适用场景。

4.加权求和法和TOPSIS法的核心区别是什么？分别适用于什么情况？

5.某书店计划采购一批新书，面临三种备选方案：采购500本（方案X）、800本

（方案Y）、1200本（方案Z）。市场需求有三种可能：低需求（200本）、中需求（600

本）、高需求（1000本），但需求概率未知。每本书的进货成本为20元，售价为40元，

未售出的书按10元/本处理（即每本亏损10元）。三种方案在不同需求下的利润（单位:

元）如下表：

方案低需求（20（）本）中需求（600*）高需求（100（）本）

X(500本)2000800010000

Y(800本)-100()1000016(X)0

Z(1200本)-50004(X)020000

请分别用乐观准则、悲观准则、折中准则（乐观系数a=0.6）选择最优方案。

6.某公司有60000元多余资金，如用于某项开发事业估计成功率为95%。成女时一

年可获利IU%,但一旦失败，有丧失全部资金的危险。如把资金存放到银行中，则可稳得

年利5%。为获取更多情报，该公司求助于咨询服务，咨询费用为600元，但咨询意见只是

提供参考，帮助下决心。据过去咨询公司类似200例咨询意见实施结果，情况见下表。（最

后结果保留3位小数）

施结果投资成功投资失败合计

咨询意

可以投资150次4次154次

不宜投资40次6次46次

合计190次10次200

试用决策树分析：

（1）该公司是否值得求助于咨询费用；

（2）该公司多余资金应如何合理使用？

7.某员工想从3种交通工具中选出“最舒适”的一种，只考虑“舒适度”这一个准

则。他3个备选方案：A-地铁，A2：公交，A3：出租车，同时给出的两两比较矩阵如下

（1-9标度）：

舒适度地铁公交出租车

地铁131/4

公交1/311/5

出租车451

用层次分析法选择哪种交通工具在“舒适度”准则下最被偏好？

8.某公司需从4款笔记本电脑（方案Al、A2、A3、A4）中选择最优款，评价属性

及数据如下：

方案价格（C1,元）性能评分（C2,续航时间（C3,重量（C4,kg）

（成本型，越小满分10分）（小时）（效益（成本型，越小

越好）效益型，越大越型，越大越好）越好）

好）

A16000861.5

A27000952.0

A35000771.8

A48000641.2

已知属性权重向量为：W=[0.3,0.3,0.2,0.2]（价格30%、性能30%、续航20%、重量

20%）o用加权求和法选择最优方案。

9.使用与题目8相同的笔记本电脑评价数据（属性、方案、原始数据及权重均一

致）。用TOPSIS法选择最优方案。

10.应用TOPSIS评选战斗机。战斗机购买案例的决策矩阵见下表，六个属性的权重

为：〃=（0.2,0.1,0.1,0.1,0.2,0.3）T。

购

最

高

连续买

速

度

本

最大有成可靠

飞行

马

属

<效1百性灵活性

距离

性

荆

万

赤

负荷美（高（高低）

（海

数

>（磅）元,低）

里）

X]X?、X、X.1及

方效益效益成本效益

案效益型效益型

型型型型

为2.()1500200005.5中等非常高

2.52700180006.5低中等

%31.82000210004.5高商

442.21800200005.0中等中等

习题3

1.不确定性决策是指决策问题中存在多个自然状态（未来可能发生的情况），但各自然状态

的发生概率未知时的决策，

常见准则包括：

乐观准则（大中取大）：从每个方案的最大收益中选择最大值对应的方案，偏向冒险；

悲观准则（小中取大）：从每个方案的最小收益中选择最大值对应的方案，偏向保守；

折中准则（赫维茨准则）：引入乐观系数a（Owawi）,计算各方案的折中收益（ax最大

收益+（l-a）x最小收益），选择折中收益最大的方案；

等概率准则（拉普拉斯准则）：假设各自然状态发生概率相等，计算方案的期望收益并选择

最大者；

最小最大后悔值准则：先计算各状态下的后悔值（该状态最优收益与方案实际收益的差值）,

再选择各方案最大后悔值中的最小值对应的方案。

2.多属性决策是指在具有多个相互关联或冲突的决策属性（指标）的情况下，从有限个备

选方案中选择最优方案或对方案进行排序的决策过程。

其核心特点包括：

存在多个决策属性，且属性间可能存在冲突（如成本与质量、风险与收益）；

备选方案数量有限且明确；

需通过一定的数学方法或逻辑规则整合各属性信息，最终得到决策结果。

3.层次分析法（AHP）的基本步骤：

建立层次结构：将决策问题分解为目标层（决策总目标）、准则层（各决策属性）、方案层

（备选方案）；

构建判断矩阵：针对上一层某元素，对下一层相关元素进行两两比较，用1-9标度法（1

表示同等重要，9表示极端重要）量化重要性，形成判断矩阵；

一致性检验：计算判断矩阵的一致性指标（CI）和一致性比例（CR）,若CRWO.1,则矩阵

满足一致性，否则需调整；

计算权重：通过特征值法（如最大特征根对应的特征向量）计算各元素的相对权重；

综合排序：将方案层对准则层的权重与准则层对目标层的权重加权求和，得到方案总排序,

确定最优方案。

适用场景：适用于决策问题层次分明、属性间可通过主观判断比较重要性的场景，如项目

评估、资源分配、评选评优等。

4.核心区别：

加权求和法：通过给各属性赋予权重，将方案的标准化属性值加权求和得到综合得分，得

分最高者为最优，本质是“线性整合”各属性信息；

TOPSIS法：通过计算方案与“理想解”和“负理想解”的距离，用“相对贴近度"排序,

本质是“距离比较”。

适用情况：

加权求和法：适用于属性'司可完全补偿（某属性的劣势可通过其他属性的优势弥补）、且权

重容易确定的场景；

TOPSIS法：适用于属性间补偿性较弱、希望方案同时接近理想解且远离负理想解的场景，

对数据分布和权重敏感性较低。

5.乐观准则(大中取大)：各方案最大利润分别为10000(X).16000(Y)、20000(Z),选

Z；

悲观准则(小中取大)：各方案最小利润分别为2000(X),-100()(Y),-5000(Z),选X；

折中准则：

X：10000x0.6+2000x0.4=6800；

Y：16000x0.6+(-1000)x0.4=9200；

Z：20000x0.6+(-5000)x0.4=10000；

选Z。

6.

△woo

^(£.1.005,

——-------------△60000

△)000

功

H------H-/-J--/-I---O-9--T4A.eooo

久——△6008

△)000

"A-3

400

7^?上卜。1、600g

△WOO

6.

结论：

(1)该公司应求助于咨询服务；

(2)如咨询意见可投资开发，可投资于开发事业，如咨询意见不宜投资开发，应将多

余资金存入银行。

7.列归一化

将每一列的元素除以该列之和。

原始矩阵

地铁公交出租车

地铁130.25

公交0.33310.2

出租车451

列和

•地铁列和：1+0.333+4=5.333

•公交列和：3+1+5=9

•出租车列和：0.25+0.2+1=1.45

列归一化后的矩阵

地铁公交出租车

地铁0.1870.3330.172

公交0.0630.1110.138

出租车0.7500.5560.690

行平均求权重w

把每一行的3个数取平均：

•卬(地铁)=(0.1B7+0.333+0.172)/3»0.231

•w(公交)=(0.063+0.111+0.138)/3工0.104

•w(出租车)=(0.750+0.556+0.690)/3«0.665

权重向量w=(0.231,0.104,0.665)丁(已归一化，和为1)

一致性检验

(a)计算Aw

用原始矩阵乘以w：

Aw=

1X0.231+3X0.104+0.25X0.665=0.231+0.312+0.166=0.709

0.333X0.231+1X0.104+0.2X0.665=0.077+0.104+0.133=C.314

4X0.231+5X0.104+1X0.665=0.924+0.520+0.665=2.109

(b)求Xmax

将Aw的每个分量除以对应”后取平均：

0.709/0.231右3.07

0.314/0.104«3.02

2.109/0.665x3.17

^■max=(3.07+3.02+3.17)/3«3.09

(c)计算C1、CR

Cl=umax-n）/（n-1）=（3.09-3）/2=0.045

•对于n=3,随机一致性指标RI=0.58

•CR=CI/RI=0.045/0.580.078<0.10

一致性可接受。

最终排序

按权重从高到低：

出租车：0.665

地铁：0.231

公交：0.104

结论：在“舒适度”单一准则下，出租车是最被偏好的交通工具。

8.属性值标准化（消除量纲影响）

xtj-minxij

效益型属性（性能C2、续航C3）标准化公式：Zij=

成本型属性（价格C1、重量C4）标准化公式：=

m’xxj厂叫n%

计算过程：

oC1(价格)：max=80()0,min=5000

Al：(8000-6000)/(8000-5000)=2000/3000比0.67

A2：(8000-7000)/3000-0.33

A3：(8000-5000)/3000=1.00

A4：(8000-8000)/3000=0.00

oC2(性能)：max=9,min=6

Al:(8-6)/(9-6)=2/3%0.67

A2：(9-6)/3=LOO

A3：(7-6)/3%0.33

A4：(6-6)/3=0.00

oC3(续航)：max=7,min=4

Al：(6-4)/(7-4)=2/3-0.67

A2：(5-4)/3比0.33

A3:(7-4)/3=1.00

A4：(4-4)/3=0.00

oC4(重量):max=2.0,min=l.2

Al：(2.0-1.5)/(2.0-1.2)=0.5/0.8=0.625

A2：(2.0-2.0)/0.8=0.00

A3：(2.0-1.8)/0.8=0.25

A4：(2.0-1.2)/0.8=1.00

标准化矩阵如下：

方案ci（价格）C2(性能)C3（续航）C4（重量）

Al0.670.670.670.625

A20.331.000.330.00

A31.000.331.000.25

|A4|0.00|0.00|0.00|1.00|

计算各方案的加权得分

加权得分公式：&=£；=](z0-x咐

41得分：0.67x0.3+0.67x0.3+0.67x0.2+0.625x0.2

=0.201+0.201+0.134+0.125«0.661

A2得分：0.33x0.3+1.00x0.3+0.33x0.2+0.00x0.2

=0.099+0.30+0.066+0*0.465

A3得分：1.00X0.3+0.33x0.3+1.00x0.2+0.25x0.2

=0.30+0.099+0.20+0.05〜0.649

A4得分：0.00x0.3+0.00x0.3+0.00x0.2+1.00x0.2

=0+04-0+0.20x0.20

结果排序与最优方案

得分：A1(0.661)>A3(0.649)>A2(0.465)>A4(0.20)

最优方案为Alo

9.构建原始决策矩阵X

标准化决策矩阵（向量归一化）

r_%

消除量纲，公式：“一百

计算各属性的分母（根号下的平方和）：

标准化决策矩阵（向量归-化）

―戈^

消除量纲，公式：r

计算各属性的分母（根号下的平方和）：

Cl(价格)：7(600°2+70002+50002+80002)=17400万々4171.33

C2(性能)：V(82+92+72+62)=V230*15.17

C3(续航)：J(62+52+72+42)=q11.22

C4(重量)：。(1.52+2.02+1£2+1.22)=^4iA93«3.31

标准化矩阵R：

方C3（续C1（重

C1（价格）C2(性能)

案航）量）

6/1.5/

6000/4171.338/15.17〜

A111.223.31»

«1.440.527

»0.5350.453

5/2.0/

7000/4171.339/15.17

A211.223.31«

X1.68«0.593

«0.4450.604

7/1.8/

5000/4171.337/15.17«

A311.223.31〜

=1.200.461

«0.6240.544

4/1.2/

8000/4171.336/15.17«

A411.223.31«

X1.920.395

X0.3560.362

构建加权标准化矩阵V

公式：%=Rjx（权重w=[0.3,0.3,0.2,0,2]）

方

C1(0.3)C2(0.3)C3(0.2)C4(0.2)

案

A1.44x0.30.527x0.30.535x0.20.453x0.2

1«0.432«0.158x0.107«0.091

A1.68x0.30.593x0.30.445x0.20.604x0.2

2X0.504X0.178X0.089«0.121

A1.20x0.30.461x0.30.624x0.20.544x0.2

3»0.360«0.138«0.125«0.109

A1.92x0.30.395x0.30.356x0.20.362x0.2

4«0.576«0.118«0.071«0.072

确定正理想解（V+）和负理？息解（V-）

效益型属性（C2、C3）：V+取最大值，V■取最小值；

成本型属性（Cl、C4）:V+取最小值，厂取最大值。

属性类型V+(最优)v-（最差）

C1成本型0.360(A3)0.576(A4)

C2效益型0.178(A2)0.118(A4)

C3效益型0.125(A3)0.071(A4)

C4成本型0.072(A4)0.121(A2)

计算各方案到v+和v-的欧氏距离

距离公式：咛=J药=』；=】（％一-）2

Al:dt=VC0.432-0.360)2+(0.158-0.178)2+(0.107-0.125)2+(0.091-0.072)2«0.079

咛=7(0.432-0.576)2+(0.158-0.118)2+(0.107-0.071)24-(0.091-0.121)2«0.156

A2=7(0.504-0.360)2+(0.178-0.178)2+(0.089-0.125)2+(0.121-0.072)2«0.156

A3:d]=7(0-360-0.360)2+(0.138-0.178)2+(0.125-0.125)24-(0.109-0.072)2=0.055

di=7(0.360-0.576)2+(0.138-0.118)24-(0.125-0.071)2+(0.109-0.121)2®0.224

A4:/=7(0.576-0.360)2+(0.118-0.178)24-(0.071-0.125)2+(0.072-0.072)2«0.231

K=V(0-576-0.576)2+(0.118-0.118)2+(0.071-0.071)2+(0.072-0.121)2«0.049

计算相对贴近度

公式：却=缶(越接近1越优)

ai+di

Al：0.156/(0.079+0.156)=0.156/0.235=0.664

A2：0.095/(0.156+0.095)«0.095/0.251«0.378

A30.224/(0.055+0.224)之0.224/0.279=0.803

A4：0.049/(0.231+0.049)«0.049/0.280«0.175

结果排序与最优方案

贴近度：A3(0.803)>Al(0.664)>A2(0.378)>A4(0.175)

最优方案为A3。

10.

步骤1：构造属性矩阵M

'2.0150020000