吉林油田某中学2025-2026学年高一年级下册期中考试数学试卷（含解析）

吉林油田高级中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷

一、单选题

1.复数z=l-&i，则Z的虚部为（）

A.V2B.-V2C.V2iD.—V2i

2.设向量B是两个不共线的单位向量，~AB=a+b^BC=3a-2b,CD=-a+4b则（）

A.A,6,C三点共线B.4,B,。三点共线

C.A,C,。三点共线D.B,C,。三点共线

3.已知平面。和两条不同的直线〃?、〃，则下列说法正确的是（）

A.若加上有无数个点不在a内，则〃〃/a

B.若〃?〃a,则机与a内的任意一条直线都没有公共点

C.若〃?//a,则〃?平行于。内的任意一条直线

D.若m//n,且m//a,则n//a

4.已知sin2a=ga,则cos（a+=]=（）

3142JI4J

A.一逅B.渔C.一直D.显

3333

5.如图，在出，48C中，点N是8c的中点，点时是4N的中点，设而=1AC=b那么庆=（）

C.--a^-b

44

6.把函数图像上所有点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移1个单

位长度，得到函数^=$出》的图像，则/（》）=（）

7.已知圆锥的轴截面是等边三角形，若该圆锥的表面积与球。的表面积相等，则该圆锥的体积与球O的

体积之比为（）

A362V15「32

A.-----nB.------C.—D.—

51543

8.已知圆。的半径为2,44是圆上两点且N/O8=券，是一条直径，点C在圆内且满足

OC=AOA+(\-A)OB(0<2<l),则而•丽的最小值为

C.-3D.-4

二、多选题

9.下列各式中运算正确的是()

n717t.It.TC网十五

A.sinl5°cosl5°=—B.cos—cos——sin—sin-=--------

41261264

C.tan200+tan250+tan20°tan25°=1D.1^^=^

l+tan15°

10.已知平面向量Q=（X,2）力=（1,5）,则下列说法正确的是（）

A.当力工B时，x=-10

B.若G和B的夹角为锐角，则由，，物）

，•・

C.当x=-3时，2在B方向上的投影向量为

D.^\a+b\=\a-2b\,则2和万的夹角为45°

11.《数书九章》是南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷，共八十一个问题，分为九类，每类九

个问题，《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积术”中提出了已知三角形三

边”，6,*求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以少广求之，以小斜舞并大斜

希减中斜帚，氽半之，自乘丁上；以小斜室乘大斜塞减L,氽四约之，为实：一为从隅，开平方得积.若

把以上这段文字写成公式，即S=J".现有色"C满足sin/:sin4:sinC=2:3：V7,

且cb/BC的面积S=6x/J，请运用上述公式判断下列结论正确的是（）

A.&/18C的周长为10+2万B.a/I8C三个内通力，B,C满足2c=4+4

C.出48C外接圆的直径为生亘

D.&/18C的中线CO的长为3及

3

三、填空题

12.一个平面图形用斜二测画法画出的直观图如图所示，△0/8’是等腰直角三角形月.。彳=月'用，其中斜边

O'B1=5/3,则这个平面图形的面积是

13.已知函数/(x)=/sin(5+。)/>0"">0,觇<5的部分图象如图所示，则。为_______

乙)

14.如图，在平行四边形48CO中，点E,尸分别是边力。，OC边的中点，BE,分别与4。交于R,T

AR

两点.若2万.而+9而.万=0,则嘤的值是

AD

四、解答题

15.已知向量a=(3,-4),3=(5,2).

⑴若仅-34〃胸+可，求实数％的值；

(2)若仅一族)求实数〃?的值.

16.在中国传统文化中，灯笼作为节日和庆典的象征，常常蕴含着丰富的美学与数学设计；灯笼不仅要考

虑美观，还要具备结构上的合理性和稳定性；现在有一盏独特的国风灯笼，它的外形结构包括多个几何体,

具体设计如下：

顶部装饰：灯笼的顶部是一个正四校台，上底边长为2分米，下底边长为4分米，高为2分米；

核心结构：灯笼的核心部分是一个正四棱柱，底面边长为3分米，高为6分米.

(1)求灯笼总体积；(单位：分米”

(2)已知灯笼上下底不糊纸，所以正四棱台侧面积与正四棱柱侧面积的和就是灯笼所需纸张的总面积，求灯

笼所需纸张的总面积.(单位：分米2)

17.已知0＜。＜5＜尸＜兀，sina=1，sin夕={.

(1)求cos(/?-a)的值；

(2)求sin2a-cos%的值

1+cos2a

18.已知db/BC的三个内角A,B,C所对的边分别为〃，瓦c,＜7sinC=V3(/)-6/cosC).

(1)求角4的大小.

r-

⑵若方+c=4,&48C的面积为半，求。的值.

⑶若6=1,在•就=1，点。是线段8C上一点，求内角4平分线力。的长.

19.如图所示，设。式,。)，是平面内相交成。(0＜。＜兀)角的两条数轴，1高分别是与X4轴正方向同向的

单位向量，则称平面坐标系X。＞为。仿射坐标系，若在。仿射坐标系卜OM=ae^b^,则把有序数对(。,3

叫做向量血的仿射坐标，记为。m

(1)若。=60。,0必=21+3■，求口研的模长：

(2)若6=60。,次=工再+必［砺=々1+乂另，有同学认为“况1砺”的充要条件是“内占+必必=0”，你认为

是否正确？若正确，请给出证明，若不正确，请说明理由；

(3)设刀二(3,1),砺=(1,1),408=。，若陀-/西N石对TfeR恒成立，求cosa的最大值.

题号12345678910

答案BBBCAA1)CACAIM)

题号11

答案ABC

1.B

【详解】由虚部的定义可知，复数z=l-"的虚部为

2.B

根据平面向审共线的基本定理依次判断求解.

【详解】对于A,若4,B,。三点共线，则方=2比，AeR,

即1否=43[*），则_2；=>此时见无解，故A错误；

对于B,若力,B,。三点共线，则丽=〃丽，〃eR,

VUBD=BC+Cb=2a+2h>即£+》="2£+2可，

）2//=11

则//解得〃=；，故B正确；

12〃=12

对于C,若4C,。三点共线，则抚=%而，ZGR,

而就=而+册=4_石，即4。一坂=〃卜4+4坂），

—k=4

则L一,,此时左无解，故c错误；

4〃=一1

对于D,若B,C,。三点共线，则团=工而，xeR,

即3125=X（-Z+4园,则丁=\，此时x无解，故D错误.

\）[4x=-2

3.B

【详解】对于A选项，若加上有无数个点不在。内，则加〃a或加与。相交，A错;

对于B选项，若〃"/。，则直线，〃与平面。没有公共点，

因为平面。内的任意一条直线上的所有点都在平面。内，

所以m与a内的任意一条直线一定没有公共点，B对：

对于C选项，若〃"/a,则加与a内的任意一-条直线平行或异面，C错；

对干D选项，若/“〃〃，且“7//a,贝！J〃//a或〃ua,D错.

4.C

7T7T.7T、/2..

【详解】a+—=cosacos—sinasin—=——(cosa-sina).

4J442

乃兀

ae

:.sina>cosa,即cosa-sina<0,故cosa+—<0

I4j

对所求式两边平方得:

TV1.

cosa+—=—(zcosa-sinay=^(cos2a+sin2a-2sinacosa).

4J

*.*sin2a=

・•・代入得

结合cosa

5.A

根据已知条件结合平面向量基本定理求解即可.

【详解】因为在在48C中，点N是BC的中点，点M是⑷V的中点,AB=a>AC=b»

所以庆=配一疯=祝一!•丽

2

二元「君」正

44

1—3—1-3-

=—ABH■—AC=—a+—b.

4444

故选:A

6.A

根据函数图像的平移及逆向变换思路求解即可.

【详解】函数y=sinx的图像向左平移；个单位长度，得至ijy=sin(x+g、.

所有点的横坐标缩小为原来的卜纵坐标不变，得到尸

Xy=sin2x+y=cos(2x+g_[=cos(2xj),所以/(x)=cos(2x-1

7.D

【详解】设圆锥的底面半径为厂，则其母线长为2厂，高为石心

所以该圆锥的表面积为+ux2l=3九/二，

设球。的半径为R,则球。的表面积为4位"

r2

由题意知3m2=4兀尸，所以[二百，

圆锥的体积匕」"2X6=正/,球。的体积匕=2兀叱，

333

6

所干Vv?-加2

々-TtR3R)3

3

8.C

【详解】试题分析：由图可知：CM=0M-OC,CN=0N-OC,

」.a?•西-(西-庆)•(而-A)=而7.两_(两十丽).历十历，又因为A/N是圆的一条直径，故

而，弧是相反向量，且|两|=|网=2,.•.丽.丽=-4+反:因为点C在圆内且满足

灰=2方+(1-/1)丽(0<M1),，4C,5三点共线，当C为48的中点时，反2取得最小值1,故而.函的

最小值为-3.

考点：向量的运算.

9.AC

根据二倍角公式以及两角和差的余弦公式，两角和差的正切公式逐项分析即可.

【详解】^^sinl50cosl50=-x2sinl50cosl50=-sin30°=-,所以A正确；

224

因为cosEcos?■—sina-sinZ=cosf』-+cos'所以B错误；

1261261126)42

tan25+tan2Q

因为tan45°=tan(25°+20°)=00=]

')1-tan25°tan200

所以tan25。+tan200=1-tan25°tail20°,即tan200+tan250+tan250tan200=1,所以C正确；

l-tan15°tan450-tan15°…，­、v3rrHIta.'0

因为--------=---------------=tan(45。-15。)=tan30°=—»所以D错i天.

1+tan15°I+tan45°tan15°')3

10.ABD

由向量垂直的坐标表示可判断A,由向量夹角和数量积的符号关系可判断B,由投影向量计算公式可判断C,

通过平方可判断D.

【详解】选项A,若a-Lb得ab=x-l+2-5=x+10=0*

解得x=-10,A正确，

选项B,由G与B夹角为锐角,

得：ab=x+10>0=>x>-10»

当两向量共线，得5x=lx2nx2=(,

此时值=(2/-),为同向共线，夹隹为0°(不是锐角)，需排除工=2(,

JJ

因此XC-10,y^U^y,+(Z>J,B正确，

选项C,当x=-3时，5=(-3,2),

ab-

。在b方向上的投影向量为讦人，

\b\

a^=-3xl+2x5=7,|^|2=l2+52=26,

7r1一

因此投影向量为C错误，

262

选项D,对|a+b\=\a-2b\，两边平方:伍+方=他-2斤，

展开整理得：624=3瓦，代入W『=26,得ab=\3f

又不石=x+l()=13nx=3，因此力=(3,2),|司=疔百=、后，

设夹角为仇cos*M：犷而％='，由。式阴180。］得8=45。,D正确.

11.ABC

对「•选项/,由正弦定理得三角形三边之比，由面积求出三边，代入公式即可求出周长；

对于选项4,根据余弦定理可求得cos。的值为可得。=。，可得金48c三个内角/,C,"成等差数

列；

对于选项C,由正弦定理可得，&48C外接圆直径2R=——可得2R的值；

sinC

对于选项。，由题意利用中线定理即可计算得解.

【详解】由正弦定理可得a»:c=2:3：q.

设a=2m,b=3m,c=47m(m>0),

解得切=2,二△/出C的周长为〃+b+c=4+6+2V7=10+2j7，故4正确;

由余弦定理得胃++”条—+'，

故B正确;

c_277_4721

由正弦定理知，出,48。外接圆的直径一sinC一.〃一3，故C正确;

sin—

3

由中线定理得/+〃=；/+2CQ：即CO?=3(16+36—?28)=19,

:<D=M,故。错误.

故选X8C.

12.逑/之0

22

【详解】设△0/8,对应的平面图形为△04〃，

在斜二测画法的图形中。'*在/轴上，还原后的图形中08在x轴上，且长度不变,

在斜二测画法的图形中OW在V轴上，还原后的图形中04在V轴上，

且0A的长度扩大为OW的2倍，

•.•△0W&是等腰直角三角形且"=四,斜边00=6.3"®邛，

二根据斜二测画法可知，08=0®=G，3=2OW=2x手=6，405=90°,

-.S,=-OAOB=-XX/6X73=—.

O£»\JBAO222

3I

【详解】由图象得/(x)的最大值为3,最小值为-3,所以4=3,

17=当一丁=手，解得/=兀=如(/>°)，所以。=2,

41264cov

又F(x)过点信,3),代入可得3$山(2吟+>]=3,所以sin但+J=1,

\6；k6；13J

则二+9=¥+2E,keZ,解得9=2+2依，左eZ,

326

因为|同<1，所以“=

26

14.y/2

__2__

设方=得到方=2〃3+〃修，根据6,T,厂三点共线，得到万=§衣，再用刀，而表示向量,

最后应用数量枳运算律计算得出森2_2取2=0，结合模长公式求解；

【详解】设否=〃0=〃而+〃无=2〃而+〃而，且8,T,广三点共线，

1—.I——7—一I—

...2〃+〃=1,解得〃=5，「.。7=3。4「.力7=?力。；同理力R=Q/C；

由E,产分别是边力。和DC上.的中点，由三角形相似可得R,7分别是线段4瓜台厂上的三等分点，

又方=：宿所以而=_：而=_:（而-而）=_:'/+而卜》-了5,

又因为2在•而+9而.万=0,所以2而亦=-9方•万=-9x„荔—砌（方+西

即得2而而=-2（赤=赤,而-2而）所以诟2.2而2=o，

ARL

所以月8=JL1。，即得二；；=夜.

AD

15.（1）^=-1：

7

⑵吁而•

（1）利用向量共线的坐标形式可求参数的值或者利用共线向最定理可求参数的值；

（2）利用向量垂直的坐标形式可求参数的值.

【详解】（1）方法一：由题意得,i-36=（-12,-10）,〃+B=（34+5,2-4攵），

•.•夕-3郎/他+B），12（2-4攵）+10（3女+5）=0,

解得公；.

方法二：由题意得,%,二不平行,设工-3%/1憾+可，

'=1

贝la-3石=+，•,*,.»解得％=—不

-3o=43

（2）由题意得，a-mb=（3-5m,-4-2m）,

V[a-nib^±h,（a—m^）-S=5（3-5m）+2（-4-2m）=0,

解得〃?=[.

16.⑴亍分米3

（2）72+12石分米2

（1）先分别代入公式计算正四棱台的体积和正四棱柱的体积，洛两个几何体的体积相加，即可得到灯笼的

总体积；

（2）先根据正四棱台的高和上下底边长差求出正四棱台的斜高，再分别计算正四棱台的侧面积与正四棱柱

的侧面积，将两个侧面积相加，即可得到灯笼所需纸张的总面积.

【详解】（1）己知正四棱台上底边长。=2,下底边长〃=4,高/?=2,则S[.=22=4,S下=4'=16,

所以七台二;x2x（4+16+"^）二/（分米3）,

已知正四棱柱底面边长3,高〃=6,则/柱=32x6=54=?（分米3）,

总体积：/台+噎柱=曰+与=半（分米3）.

JJJ

（2）正四棱柱侧面为4个矩形，侧面积%柱侧=4x（3x6）=72（分米？），

正四棱台侧面为4个全等等腰梯形，先求斜高/：正四棱台高为2,等腰梯形上下底差的一半为?=1,

由勾股定理得斜高/石，单个等腰梯形面积为与土x石=3后，

因此正四棱台侧面积S板台例=4x3石=12石，

总面积5=%的+%柱侧=72+12右（分米2）.

,7-

（1）利用同角三角函数关系式得cosa=3w，cos/7=-5-^,结合两角差的余弦公式计算得出答案;

J1J

（2）利用二倍角公式化简原式，代入计算可得结果;

【详解】(1)因为0va＜夕＜兀，sina=g,sin/7=

35

所以cosa=-,cos/?=---.

513

所以cos(〃-a)=cos/cosa+sin/7sina

5312433

=-X—+-X-=.

13513565

/3、sin2a-cos~a2sinacosa-cos%2sina-cosa

(2)------------=----------；------=-----------

1+cos2a1+2cos%-12cosa

=55J

2d6

5

is.⑴y

J

（2）：/=Vio

⑶苧

（1）先根据正弦定理将“sinC=ViS-qcosC）转化为sin4sinC=V3（sin^-sinJcosC）,

再根据sin8=sin（4+C）对上式进行化简，最后求出力的值.

（2）根据三角形面积公式可求出6c的值，再结合余弦定理以及6+c•的值求解出。的值.

（3）先根据8=1,君•刀=1求解出。的值，再利用面积法求解H角平分线力。的长度.

【详解】（1）asinC=>/3（b-acosC）,/.sinJsinC=V3（sinfi-sin/IcosC）.

在cfe/18C中，sin=sin（J+C）=sin/IcosC+coszlsinC,

sin8-sin4cosC=cosJsinC，可得sin力sinC=百cos/sinC,

vC€(0,n),sinCwO,tan4=丝2=J5,又力e(0,兀)，可得力=四.

cosJ'3

⑵由S='bcsin4='儿乂巫=立，解得6c,=2,

…2222

由余弦定理得/=〃+c2-bc，所以a2=S+cf—3庆,=16-6=1(),故〃=廊.