建筑环境与能源测试技术 第4版 课件 第2 章 测量误差分析与数据处理1

2026/8/151第2章测量误差分析与数据处理现代测量技术基础Measurementerroranalysisanddataprocessing误差理论|数据处理|工程应用课程导引：测量误差的必然性测量误差的存在是不可避免的任何测量值都只能近似地反映被测量值的真值，这是因为：测量过程中无数随机因素的影响传感器总要从被测介质中吸取能量测量方法、仪器和操作者的局限性真值与误差的关系真值往往是不可能得到的，但测量是必须进行的。关注的重点是测量结果偏离真值的程度（即误差）有多少。只有当测量结果的误差已知，或测量误差的可能范围已知时，科学试验所提供的数据才是有意义的。学习目标与重点学习要点提示1.重点理解随机误差的统计特性与处理方法2.掌握系统误差的识别与消除技术3.熟练运用最小二乘法进行数据处理4.能够进行误差的合成与分配计算本章学习目标理解测量误差的必然性与分类掌握随机误差的性质与分析方法掌握系统误差的判别与消除方法了解粗大误差的产生与判别准则学会误差的合成、传递与分配方法掌握测量数据处理与回归分析方法2.2系统误差2.1

随机误差2.3粗大误差2.4误差合成2.6数据处理目录2.5误差传递与分配RANDOMERRORPROPERTIES随机误差的性质随机误差正态分布曲线

误差方程

重要说明随机误差服从多种统计规律：正态分布、均匀分布、离散双值分布、辛普松分布等。正态分布是最常见、最重要的随机误差分布形式。正态分布规律：对同一被测量进行多次重复测量，将各测量数据的随机误差绘制在坐标图上，得到符合正态分布规律的曲线。随机误差的四大性质1对称性绝对值相等的正负误差出现的概率相等2规律性绝对值小的误差出现的概率大，绝对值大的误差出现的概率小3有限性在有限次测量中，随机误差的绝对值不会超过一定界限4补偿性当测量次数足够多时，随机误差的算术平均值趋于零RESIDUALERROR剩余误差（残差）引入剩余误差的原因在测量过程中，因真值永远得不到而采用最优概值来代替真值。由于真值的不可知，随机误差也难以得到。为此，引进剩余误差来代替随机误差。剩余误差的定义当进行有限次测量时，各测得值Xi与最优概值X0之差，称为剩余误差或残差，用ν表示，即：vᵢ

——Xᵢ的剩余误差Xᵢ——第i个测量值，i=1,2,...,nX0——最优概值（算术平均值）测量列的定义当对某个被测量X进行有限次测量时，将测量得到的数据排成一列，即为测量列，记作｛Xi｝，i=1,2,...,nVARIANCEANDSTANDARDDEVIATION方差与标准差当时测量值与最优概值之差的平方的统计平均值，就称为方差。称为测量值的样本方差，简称方差取平方的原因：1无论正负：xᵢ取平方后总是正的，相加不会等于零，可以用来描述分散程度2计算便利：求和再平均后，使较大的误差占的比例更大，对分散程度反应灵敏由于方差σ²是单位的平方，使用时不够方便。为了与随机误差xᵢ单位一致，取正方根σ定义为测量值的标准误差或均方根误差，也称标准偏差，简称标准差。σ反应了测量的精密度，σ小表示精密度高，测得值集中，σ大表示精密度低，测得值分散。DISTRIBUTIONPROBABILITYOFRANDOMERRORS随机误差的分布概率对于正态分布的随机误差xi

，其概率密度函数为：φ(x)σ较小•φ(x)值较大•曲线更加尖锐•测量值集中，精密度高σ较大•φ(x)值较小•曲线更加平坦•测量值分散，精密度低关键特征测量值在最优概值上出现的概率最大即：等于零的随机误差出现的概率最大（规律性）大小相等符号相反的误差出现的概率相等（对称性、补偿性）曲线快速收敛于x轴，即超过一定界限的随机误差几乎不出现（有限性）STANDARDERRORS标准误差----测量列的标准误差σ和极限误差Δmax测量列的定义当对某个被测量X进行有限次测量时，将测量得到的数据排成一列，即为测量列，记作｛Xi｝，i=1,2,...,n测量列的标准误差σ采用均方根差公式计算，因被测量的真值不能得到,xi不能计算,因此用剩余误差vi=Xi-X0来代替标准误差；此外，实际测量中，测量次数是有限的，尤其是测量次数少的数据，它的标准误差跟测量次数无穷多的标准误差是有偏的。因此有限次测量数据的标准偏差用贝塞尔公式表示：

——剩余误差

贝塞尔公式与均方根误差公式的不同点：用最优概值来代替真值；用剩余误差来代替绝对误差；分母用(n-1)代替n，称为自由度修正。注：测量次数n>1时公式才有意义

从概率论中得知,对于正态分布的随机误差,根据式(2-8),可计算出其落在[-σ,+σ]、[-2σ,+2σ]和[-3σ,+3σ]区间的概率为其含义为，在进行大量等精度测量时，随机误差落在区间［-σ，σ］、[-2σ,+2σ]和[-3σ,+3σ]的测量值的数目分别占测量总数目的68.3%、95.5%和99.7%。或者说，测量值落在区间［X0-σ，X0+σ］（该区间在概率论中称为置信区间）内的概率（在概率论中称为置信概率）分别为0.683、0.955和0.997。

测量值落在［-3σ，3σ］区间内概率为99.7%，而落在外面的只有0.3%，即测量1000次，其中997次落在置信区间内，仅有3次落在置信区间外。因此，在有限次的测量中，认为不会出现大于3σ的误差，故把3σ定义为极限误差Δmax

，或称为最大误差，也称为随机不确定度。把大于3σ的误差就定义为粗大误差。STANDARDERRORS标准误差----最优概值的标准误差σX0和极限误差σX0max最优概值是用来代替真值的值，它比每个测量值都更接近于真值，它的标准误差也肯定比其他值的标准误差要小。或

这表明：增加测量次数n可以减小最优概值的误差，提高最优概值的精度。但减小速度要比n的增长慢得多，即仅靠单纯增加测量次数来减小标准差收益不大。2.2系统误差2.1随机误差2.3粗大误差2.4误差合成26数据处理目录2.5误差传递与分配SYSTEMATICERRORDEFINITION系统误差的定义与性质系统误差的定义当进行多次等精度测量同一恒定量值时，其误差的绝对值和符号保持不变，或当条件改变时，其误差按某种规律变化，称之为系统误差。用ε表示系统误差，其性质是具有单向性和重复性。不具备抵偿性取平均值对其无效，多次测量不能消除不易被发现隐藏在测量数据中，需要专门方法判别处理更困难产生原因复杂，需要仔细分析和经验系统误差的特点测量数据排除了粗大误差后，测量误差等于随机误差和系统误差的代数和。假设进行n次等精度测量，并设系统误差为恒值系统误差或变化非常缓慢，即，则△Xi的算术平均值为：当n足够大时，由于随机误差的抵偿性，Xi的算术平均值趋于零.

可见当系统误差与随机误差同时存在时，若测量次数足够多，则各次测量绝对误差的算术平均值等于系统误差。SYSTEMATICERRORDETECTION系统误差的判别方法1理论分析法凡由测量方法或测量原理引入的系统误差，不难通过对测量方法的定性、定量分析发现系统误差，甚至计算出系统误差的大小。适用于理论误差和方法误差的分析2校准和比对法当怀疑测量结果可能会有系统误差时，可用准确度更高的测量仪器进行重复测量以发现系统误差。•测量仪器定期进行校准或标定•采用多台同型号仪器进行比对3改变测量条件法系统误差通常与测量条件有关，如果能改变测量条件，比如更换测量人员、测量环境、测量方法等，根据对分组测量数据的比较，有可能发现系统误差。方法2、3属于实验比对法，一般用来发现恒值系统误差4剩余误差观察法通过观察测量所得的一系列数据中各个剩余误差的大小、符号的变化规律，以判断有无系统误差及系统误差类型。主要用来发现变值系统误差（累进性、周期性等）通常将剩余误差制成曲线，如图

图（a）显示剩余误差大体上正负相同，无明显变化规律，可以认为不存在系统误差；图（b）中呈现线性递增规律，可认为存在累进性系统误差；图（c）中大小和符号大体呈现周期性，可认为存在周期性系统误差；图（d）中变化规律复杂，大体上可认为同时存在线性递增的累进性系统误差和周期性系统误差。剩余误差法主要用来发现变值系统误差。ROOTCAUSESOFSYSTEMATICERROR系统误差产生的根源1测量方法和原理不当采用不正确测量方法或测量原理会引入系统误差。后面将专门讨论能有效削弱系统误差的测量技术与方法。2仪器选用不当选用的仪器仪表类型不正确，或准确度不满足测量要求。•仪器量程选择不合理•精度等级过低，无法满足测量需求3仪器使用和维护不当测量仪器应定期标定、校准，测量前要正确调节零点。•应按操作规程正确使用仪器•精密测量时应采取稳压、恒温、电磁屏蔽等措施4读数方式问题条件许可时，应尽量采用数字显示仪器代替指针式仪器，以减小由于刻度不准及分辨力不高等因素带来的系统误差。5测量人员主观因素提高测量人员的学识水平、操作技能，去除一些不良习惯，尽量消除带来系统误差的主观原因。GENERALPRINCIPLES处理系统误差的一般原则1严格检定和正确使用仪器对所使用的仪器应按期严格检定，并在规定的使用条件下，按操作规程正确使用。•定期校准和标定，获取修正值•在规定的温度、湿度、压力等条件下使用•正确调节零点，避免操作失误2已知系统误差的数据处理对于确知存在而又无法消除的系统误差，须正确地进行数据处理：恒定系统误差方向、大小确定，采用修正值消除变化系统误差估计变化区间[a,b]，取中值修正，半宽作随机误差3排除装置中的误差因素尽可能排除实验装置中可能产生系统误差的因素。示例：利用风洞实验时，风机运转的稳定性十分重要，为此应使用稳压电源。处理流程A实验设计和安装时减少系统误差B测量结果处理时按误差规律处理C最大限度消除系统误差对结果的影响关键要点•预防为主：实验设计时减少系统误差•及时修正：已知系统误差用修正值消除•科学处理：变化系统误差按随机误差处理•全程控制：从仪器检到测量操作全流程把控MEASUREMENTTECHNIQUES削弱系统误差的典型测量技术1零示法在测量中，把被测量与已知标准量相比较，当两者的效应互相抵消时，零示器示值为零，此时已知标准量的数值就是被测量的数值。原理图：X—被测量|S—标准量|P—零示器只要零示器的灵敏度足够高，测量的准确度基本上等于标准量的准确度。•典型应用：电位差计、各类电桥、数字电压表•优点：消除零示器不准带来的系统误差2替代法在测量条件不变的情况下，用一标准已知量去替代被测量，通过调整标准量而使仪器的示值不变，此时标准量的值即等于被测量值。由于替代前后整个测量系统及仪器示值均未改变，因此测量中的恒定系统误差对测量结果不产生影响。测量准确度主要取决于标准已知量的准确度及指示器灵敏度3利用修正值或修正因数根据测量仪器检定书中给出的校正曲线、校正数据或利用说明书中的校正公式对测得值进行修正，是实际测量中常用的办法。这种方法原则上适用于任何形式的系统误差4智能仪器中的系统误差消除直流零位校准测量输入端短路时的直流零电压并存储，实际测量时相减。自动校准利用微处理器实现自动校准或修正，消除漂移、增益变化等误差。技术选择建议•零示法、替代法主要用来削弱恒定系统误差•智能仪器中的校准方法在数字仪表中广泛应用•随机化处理方法实际应用较少2.2系统误差2.1随机误差2.3粗大误差2.4误差合成2.6数据处理目录2.5误差传递与分配

IDENTIFICATIONANDHANDLINGOFGROSSERRORS粗大误差的判别与处理判别准则3σ准则（莱伊特准则）如果在测量列中，发现有大于3σ的残余误差的测得值，即|vᵢ|>3σ，则可以认为它含有粗大误差，应予剔除。判别条件|vᵢ|>3σ注意事项•3σ准则适用测量次数较多的测量列•一般测量次数较少，可靠性不高•但使用简便，不需查表•要求不高时经常应用格拉布斯准则当重复测量次数较少时，且测量误差呈正态分布时，一般采用格拉布斯准则判断测量数据中是否含有粗大误差。判别条件若g(max)>g(n,α)，则剔除该值两种准则的对比3σ准则：简便，不需查表，适用测量次数较多格拉布斯准则：科学严谨，适用测量次数较少，可靠性更高对测量次数较少而要求较高的测量列，应采用格拉布斯准则处理原则•粗大误差一旦发现，必须立即剔除•若判别出有两个以上测得值含有粗大误差，只能首先剔除含有最大误差的测得值•重新计算算术平均值及标准差，再对余下的测得值进行判别•逐步剔除，直至所有测得值皆不含粗大误差为止•保证测量环境稳定，避免外界干扰2.2系统误差2.1随机误差2.3粗大误差2.4误差合成2.6数据处理目录2.5误差传递与分配RANDOMERRORSYNTHESIS随机误差的合成合成的必要性实际测量中，测量的精确度是由总误差来度量的。当剔除粗大误差后，决定测量精确度的就是系统误差和随机误差。误差合成就是在正确地分析和综合由多个不同类型的单项误差因素的基础上，来正确地表述这些误差的综合影响。标准差合成若测量结果中有n个彼此独立的随机误差，各单次测量误差的标准误差分别为σ₁,σ₂,...,σn，则综合后的标准差σ为：适用条件：各随机误差相互独立极限误差合成在计算综合误差时，经常采用极限误差合成。设各单项极限误差lᵢ=3σᵢ，合成后的极限误差为：合成公式的物理意义1误差叠加：综合误差是各独立误差分量的平方和的平方根2大误差主导：较大的误差分量对总误差的影响更大3独立性要求：各误差分量之间必须相互独立，否则需要引入协方差项SYSTEMATICERRORSYNTHESIS系统误差的合成确定系统误差的合成1.代数合成法已知各系统误差分量ε₁,ε₂,...,εm的大小和符号：2.绝对值合成法只能估计数值大小，不能确定符号时：最保守的合成方法3.标准差合成法分量较多(m>10)时采用：不确定系统误差的合成1.线性相加法误差估计偏大，n≤9时应用2.标准差合成法n>10时采用3.置信系数法方法选择建议已知符号和大小时优先采用代数合成法，最准确只知大小不知符号时分量少用绝对值法，分量多用标准差法不确定系统误差根据分项数选择线性相加或标准差合成COMPREHENSIVEERRORSYNTHESIS随机误差与系统误差的综合综合误差的构成在测量结果中，一般既有随机误差，又有系统误差。综合误差应同时考虑确定的系统误差、不确定的系统误差和随机误差的极限误差。综合误差表达式：Δ=ε±(e+l)ε：确定的系统误差•大小和符号均已确定•采用修正值消除•不能消除时计入总误差e：不确定的系统误差•只知变化范围•采用误差限处理•按随机误差近似处理l：随机误差的极限误差•l=3σ（3σ准则）•置信概率99.7%•反映随机误差的最大可能范围误差构成示意确定的系统误差ε不确定的系统误差e随机误差极限l综合误差Δ=ε±(e+l)注意事项•系统误差和随机误差性质不同，合成方式不同•综合误差是评价测量质量的重要指标实际应用•测量结果表达式：X=X₀±Δ•确定系统误差优先修正•不确定系统误差和随机误差合成•综合误差反映测量总不确定度2.2系统误差2.1随机误差2.3粗大误差2.4误差合成2.6数据处理目录2.5误差传递与分配ERRORPROPAGATIONPRINCIPLE误差传递的基本原理误差传递的概念在科学实验中，有许多量只能通过直接测量后，再进行间接的函数计算才能确定。由于直接测量存在误差，因此由计算得到的间接测量值也必然存在误差，这就是误差传递。在间接测量中，函数误差计算就是研究函数中误差的传递与分配问题。函数关系设x₁,x₂,...,xn为独立的测量量，y为待测物理量，其函数关系为：y=f(x₁,x₂,...,xn)绝对误差传递公式相对误差传递公式相对误差传递公式反映了各直接测量值的相对误差对间接测量值相对误差的贡献。按泰勒公式展开，略去高阶项，得到间接测量误差的基本传递公式。COMMONFUNCTIONSERRORPROPAGATION常见函数的误差传递公式1.和差函数绝对误差：相对误差：2.积函数绝对误差：相对误差：3.商函数绝对误差：相对误差：4.幂函数绝对误差：相对误差：应用要点和差函数的绝对误差为各误差绝对值之和积商函数的相对误差为各相对误差之和幂函数的相对误差与幂次成正比误差符号不确定时取绝对值相加（最保守）实际应用中可根据误差符号确定性选择合适公式RANDOMERRORPROPAGATION随机、系统误差的传递公式标准差传递公式设函数的一般形式为y=f(x₁,x₂,...,xn)，已知各直接测量的标准误差σ₁,σ₂,...,σn，则绝对误差为：部分误差式中，称为某个自变量的部分误差，则式子可变为：如果用相对误差来表示，则为:误差传播定律1误差累积定律间接测量值的标准误差是各独立测量值标准误差的平方和开方2传递系数影响传递系数∂f/∂xᵢ决定了各误差对总误差的影响程度3独立性要求各直接测量误差必须相互独立，否则需考虑协方差系统误差的传递公式当系统误差为确定系统误差时当系统误差为不确定系统误差、各分项数小于10时可采用绝对值求和法；各分项数大于10时可采用标准差法。绝对值求和法：标准差法：【例2-5】用一温度计来测量某温差,已知温度计量程为100℃,精度等级1.0级,测量得到t1=65℃,t2=60℃,计算温差的相对误差。【解】设温差的表达式为Δt=t1-t2根据题意,结合精度等级的概念,可以得到该温度表的最大绝对误差为Δtm=±100℃×1%=±1℃,则可以计算出t1、t2的相对误差分别为

根据和差函数的误差传递公式,可以直接求得温差Δt的相对误差为ERRORDISTRIBUTIONPRINCIPLES误差分配的原则与方法误差分配反向设计目的：在已知总允许误差的前提下，合理分配各直接测量量的误差。应用场景：设计测量系统，选择合适的测量仪表。核心问题：如何将总误差

合理地分解到各个测量值Xi上。1.等作用原则分配误差等作用原则就是对同性质的物理量，认为其部分误差对函数误差的影响相等：2.微小误差准则若有某一部分误差Dk可以忽略不计，则称Dk为微小误差。当某个自变量的部分误差小于函数标准误差的1/3时，这个部分误差即可忽略：对于数学、物理常数，总可以取得足够精度使误差满足微小误差条件。简化计算，聚焦主要误差来源。3.按可能性调整误差按等作用原则分配误差虽然计算简单，但可能出现不合理情况。必须根据具体情况进行调整：•对难以保证的误差项适当扩大允许误差值•对容易保证的误差项尽可能减小误差值•对其余各项不予调整4.验算调整后的总误差将误差进行相应处理后，若超出了给定的允许误差范围，应选择可能缩小误差的方法进行补偿。若发现实际总误差较小，还可适当扩大难以实现的误差项。误差分配应用举例

【例】设计一个简单的散热器热工性能试验装置，利用下式计算散热量：

式中：Q—体积流量；ρ——水的密度；c——比热；

t1，t2——散热器进出口水温。设计工况：t1-t2=25℃，L=50L/h。

水温最高不超过100℃，要求散热器的测量误差不大于10%，需如何进行误差分配及选择测量仪表？【解】1.根据标准误差传递公式，写出相对误差关系式：由散热器的计算公式可知，这是一个间接测量问题，直接测量量为热水流量L、进口水温t1和出口水温t2。为简单起见，设L、t1及t2相互独立且为正态分布，ρ、c均为常数且误差为0。根据标准误差传递公式可以写出：根据正态分布可写成误差△Q的传递公式，两边同除以Q2,则为：

2.按误差等作用原则进行误差分配：将题意给定的总误差分解，初步估计直接误差限。由题意已知，要求测量的总误差：故应满足：显然，可能有无穷多个解。这里，我们按误差等作用原则，令以此作为初选仪表的依据。

3.配置测量仪表

现有量程0~400L/h，精度为1.5级的浮子流量计，可用于水流量的测量；还有0~100℃，允许误差为±1℃的玻璃水银温度计，可用于水温测量。下面分析可能的测量误差。

1）流量测量依所给条件，上述浮子流量计最大测量误差为：

在设计工况下，流量为50L/h时，相对误差的最大值为：

可见，已经超出了按误差等作用原则给出的初选指标,应重新选择精度更高的仪表。2）温度测量在设计工况规定的温差t1-t2=25℃时，温差测量的相对误差为：

没有超出初选指标的要求。如果按照上述两种仪表配置，总误差将为13%，不能满足要求。为此，应重新选择流量测量仪表，选用量程为0~400L/h，精度为1.0级的浮子流量计。计算如下:

流量测量的最大误差为：

相对误差的最大值为：

虽然比初选指标略高，但考虑到温度测量精度的余量，也有可能满足总的测量要求。将上述结果复核，则：

符合设计要求，故所选仪表可用。需要说明，这里只讨论在无系统误差情况下的间接测量问题，在例题中，还对某些实际的误差因素作了简化和省略，在处理实际工程问题时，则需要仔细而周密的分析与计算。2.2系统误差2.1随机误差2.3粗大误差2.4误差合成2.6数据处理目录2.5误差传递与分配DATAPROCESSINGSTEPS数据处理的基本步骤与最小二乘法原理数据处理的基本步骤1找出误差分布规律在给定条件下确定误差的分布特性2求出最优概值计算被测量的最佳估计值3估计测量精度对最优概值的测量精度做出估计数据处理的前提条件测量数据中的全部坏值（粗大误差）已经剔除系统误差ε处理到最小，达到可以归纳到随机误差x中去的地步近似认为系统误差ε=0即测量数据中的绝对误差近似等于随机误差最小二乘法原理最小二乘法是为了满足土木、测量工程需要而发展起来的一种古老的方法，它是科研或生产中对实测数据进行处理的最基本的数据处理方法。核心思想：剩余误差平方和为最小最小二乘法的统计学原理在等精度测量中，各测定量的出现是彼此独立的，所有误差同时出现的概率为：为使P最大，显然应该令Σξᵢ²最小。常用算术平均值代替数学期望值，以剩余误差vᵢ代替绝对误差ξᵢ：DIRECTMEASUREMENTPROCESSING直接测量数据的处理1利用修正值修正对测量值进行修正，将已削弱恒值系统误差影响的各数据Xi依次列成表格2求最优概