2026年高考数学一轮考点练习平面向量的数量积

第03讲平面向量的数量积

A夯实基础B相遇高考C素养提升

A夯实基础

1.（2025•贵州贵阳•模拟预测）已知向量〃和满足。="3）力=

向量〃上的投影向量为（）

2.（2025高三•全国•专题练习）已知空间四点A氏C。满足卜8卜3,|8C|=7,|C4=11,

|。4=9,则AC・8O的值（）.

A.只有一个B.有两个C.有四个D,有无穷多个

3.（24-25高一下,北京大兴•期末）若向量〃与〃满足卜-2b）»=2,且卜卜2,贝儿在上

的投影向量的模为（）

A.2B.4C.5D.8

4.（24-25高三上•山西太原•期末）已知向量〃，力满足e-2，?）M+〃）=3,且|〃|=2,叫=1,

则〃与〃的夹角为（）

A.30°B.60"C.120D.150

5.（2025•甘肃酒泉•模拟预测）已知VA8C是边长为1的等边三角形，点。，E分别是边48,

8C的中点，连接。石并延长到点尸，使得DE=1EF,则AFBC的值为（）

31511

A.-B.-C.--D.—

4888

6.（2025・福建漳州•模拟预测）已知平面内三点A（l,0）,B（0」）,C（2,3）,则向量在AC上

的投影向量为（）

人♦儒壶）B.（2,6）C.扁）D.（言

r.r

7.（2025•河北秦皇岛•模拟预测）己知向量〃=1』）为=（2,孙若口-可"L（「+b）,则

2=()

A.-2B.-1C.1D.2

8.（2025•山东泰安・模拟预测）已知向量。=（-3,1）,。=（-1,2）则“—2万在〃上的投影向量为

（）

C.（—1,2）D.（1,-2）

9.（多选）（24・25高三下•河南•阶段练习）已知向量d=（-3,1）力=（1,-2）,则（）

A.向量〃力的夹角为个

4

B.若-〃，贝12=1

C.若-2Z?）//（2a+k〃），贝!）4=-4

D.向量“在向量〃上的投影向量为-g”

10.（多选）（2025•全国•模拟预测）设向量”，〃满足。=（1,2）,则（）

A.ab=\B.（a+〃）_!_（"一〃）

C.a+b与人的夹角为JD.a与a—〃的夹角为钝角

4

11.（2025高三•全国•专题练习）已知P为边长为1的等边VA8C所在平面内一点，且满足

CP=CB+2CA，贝“APB=.

12.（2025高三•全国•专题练习）在平行四边形ABCD中，已知48=2,AO=1,ZDAB=60°,

M为A8的中点，点P在BC与C。上运动（包括端点），则AP.OM的取值范围是.

13.（2025高三・全国•专题练习）已知四边形A88,七为的中点，

BC=2,AE=CD=3,DB=4,求ADAC的取值范围.

14.（24・25高一下•辽宁朝阳•阶段练习）如图，在直角梯形A5C。中,

dLA.IUIUUU

AB1AD,AB!/CD,AB=10,A。=C。=4,AD=4ED,BF=FC.

W^AFBEi

\AG

（2）若G为边A8上一点，且G£_LG广，求^—

\GB

B相遇高考

1.（2023•全国乙卷•高考真题）己知。的半径为1,直线丛与。相切于点A,直线P3

与00交于C两点，。为3C的中点，若归@=&，则PAPO的最大值为（）

A.MB.匕拽

22

C.l+V?D.2+V2

2.（2023•新课标I卷高考真题）已知向量”=（1,1）力=（-1）,若（。+m）_1（4+〃明则

（）

A./1+〃=1B.义+〃=—1

C.初=1D.办=-1

3.（2025•全国二卷•高考真题）己知平面向量〃="1）,6=*-1,2现若贝!）|。1二

4.（2023•天津•高考真题）在VA3c中，BC=I,NA=60,AO=:A/*CE=1C£>,记

AB=&AC="，用”/表示AE=;若8F=；BC,则AE-AF的最大值为.

C素养提升

1.（2025高三•全国•专题练习）在中，斜边行3=1，七为A8的中点，CO_L48于

D,贝IJ（CAC0（C4.CE）的最大值为.

22

2.（2025高三•全国•专题练习）设点。是V"。的外心，AB=cfAC=bf（Z?-l）+c=1,

则RCAO的取值范围为.

3.（2025高三•全国•专题练习）已知平面向量9满足口=虫,〃「+&2（2€2，其中牛小

为不共线的单位向量，若对符合上述条件的任意向量。），恒有卜-〃卜日，则e6的夹角

。的最小值是.

4.（24-25高一下•河南焦作•阶段练习）设平面内两个非零向量〃2,〃的夹角为定

义一种新运算“软'：〃?g〃=叫tan0.

⑴已知向量何=2,忖=3,a»=2,求“③。；

(2)设向量〃=G)1),〃=(居,丁,)，且46工0，证明：(参［7川+,)(*+、)；

⑶已知向量c=(cos/?,sinm，”=(8sy,siny),cdH0,若法3=2,求8s(2分一2力的值.

5.(23-24高一下•云南昆明•期中)设平面内两个非零向量相，〃的夹角为0,定义一种运

算"③"："卷〃=MHsin。.试求解下列问题：

⑴已知向量满足〃=(2,1),忖=2,a.b=4，求的值；

(2)①若4=(4,y),8=(9，为)，用坐标4，%，与，力表示a区〃；

②在平面直角坐标系中.已知点4(2.1),3(-L2),C(0,4),求4区位AC的值：

⑶已知向量。=,h=，求a合”的最小值.

cosasinasina'cosa)

第03讲平面向量的数量积

A夯实基础B相遇高考C素养提升

A夯实基础

1.（2025・贵州贵阳•模拟预测）已知向量〃和/,满足〃=。，3）力则向量〃在

向量〃上的投影向量为（）

A.得

D.

【答案】A

【分析】先计算向量4-。二再应用投影向量公式计算求解.

【详解】〃一（1,3）,〃一，贝响量吁〃

31

则〃i在a的投影向量为=22、'3

a=一

c12+3210

故选:A.

2.（2025高三•全国•专题练习）已知空间四点A优C,。满足,3卜3,忸。|=7,

|^|=9,则AC・8Q的值（）.

A.只有一个B.有两个C.有四个D,有无穷多个

【答案】A

【分析】利用向量的加法和点积公式进行推导

【详解】通过观察有+CD2=32+112=130=724-92=BC+D/C，

UllUUUUULIUUL111uunuuo/innum、

又/IB+BC+CD+DA=O,贝｛)A4+CQ=-(AC+叫,

田①11?11«2ULUUUIum>Illi：ULIlULII

两边半万得AR+CD+2AB^D=BC+DA+2ACgDA，

LUUHIBIUUUUUU

贝UAB^D=BC^)A，

故AC.8O=(A8+8cH8C+8)

=AB>BC4-BC・BC+AB-CD+BC・CD

=(AB+BC+CD)-BC+AB-CD

=AD-BC+A8-CD

=—DA*BC十AB»CD=0，

2222

^2ACBD=AD+BC-AB-CD=Of

所以ACBD只有一个值0.

故选:A.

3.（24・25高一下•北京大兴•期末）若向量”与〃满足（a-处）/=2,且忖=2,贝人在〃上

的投影向量的模为（）

A.2B.4C.5D.8

【答案】C

【分析】先根据已知条件求出“6=10;再结合向量的投影公式，及向量模的计算即可求解.

【详解】由（4-町6=2,可得:a.b=2+2b

因为忖=2,

所以Gb=2+2,『=2+2x22=10.

a-hh

又因为〃在。上的投影向量为,

所以“在》上的投影向量的模甘=y=5.

故选：C.

4.（24-25高三上•山西太原•期末）已知向量”，力满足5-2〃）«+〃）=3,且|〃|=2,g|=l,

则”与人的夹角为（）

A.30°B.60"C.120D.150

【答案】C

【分析】根据向量数量积的运算律将-力）«+。）展开，再结合向量数量积公式

a-b=\〃||〃|cos。求出cos/9的值，最后根据夹角的取值范围确定夹角0.

【详解】由（。一》）•（♦+小）=3,可得工+出〃—2〃/?—劝2=02一6小一2/0=3

又|〃|=2,叫=1

所以2?-a/?-2xr=3解得：ab=-\

所以8e/"芾i=T

又0为X180所以"泊）=120。

所以“与〃的夹角为120。.

故选：C.

5.（2025•甘肃酒泉•模拟预测）已知V/WC是边长为1的等边三角形，点。，E分别是边48,

8。的中点，连接OE并延长到点尸，使得DE=（EF,则AF8C的值为（）

31511

A.—B.-C.—D.—

4888

【答案】A

【分析】通过建立直角坐标系，根据题意求出向量ARBC的坐标，利用数量积的坐标运算

求AQ/3C的值即可.

【详解】如图，以8c所在直线为X轴，E为坐标原点，8c所在直线为x轴，建立直角坐

标系，

则。H岑二叱=（卜/}BC=（iO）

设由。E=/得，EF=3DE，

所以（x,y）=35，-*）=仲，一乎

所以『"一平'所以"一等,8c=0,0）

______3

所以

故选：A.

6.（2025•福建漳州•模拟预测）已知平面内三点A（l,0）,B（0」）,C（2,3）,则向量AB在AC上

的投影向量为（）

26、

B.（2,6）

屈、屈）c儒高

【答案】D

【分析】求出/W,AC,求出A8,AC即可求出向量AB在AC上的投影向量.

【详解】因为A(1,O),8(Q1),C仅3),

所以A8=(—1,1),AC=(1,3),

所以A8AC=2，

AC

UL1UULU

4A.ACHIT1Q

所以向量48在4c上的投影向量为1黑畔■.AC=(g].

故选：D.

rr

7.(2025•河北秦皇岛•模拟预测)已知向量”=(%T1)为=(2㈤，若①可1@+/“，则

2=()

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】B

【分析】根据平面向量的坐标运算先求。-伉"+力，最后利用数量积的坐标运算即可求解.

【详解】由题意有=("3」-为"+力=(2+1,1+4,又因为(a-〃)_L(a+〃)，

所以"〃)(4+0)=(%-3)(;1+1)+(1-/1)(1+义)=-2(；1+1)=0=2=-1,

故选：B.

8.(2025•山东泰安•模拟预测)已知向量。=(-3,1)/=(-1,2)则〃—2)在〃上的投影向量为

()

C.(—1,2)D.(1,-2)

【答案】D

【分析】根据向量的坐标运算求出〃-2〃，再根据投影向量的定义求解.

【详解】Hd-2^=(-3,l)-2(-l,2)=(-l-3),

则("23)出=Tx(-l)+(-3)x2=-5,|昨卜1)2+2?=石,

||=y(-i.2)=(i,-2).

故〃-25在〃上的投影向量为

故选：D.

9.(多选)(24-25高三下•河南•阶段练习)已知向量心=(-3#/=(1,-2),则()

A.向量的夹角为手

4

B.若（〃一劝）_L/>,则义=1

C.若（〃-2/?）//仅a+妨），则A=—4

D.向量”在向量/）上的投影向量为一；方

【答案】AC

【分析】对于A,直接由夹角公式计算即可；对于B,转换成由〃-4〃2=O即可验算；对于

C,由向量平行的充要条件即可求解；对于D,由投影向量的定义即可求解.

ab-541加

【详解】对于A,向量〃涉的夹角的余弦值为丽=迈=一彳，即向量”,〃的夹角为宁，

故A正确；

对于B,-训_LZ?oab-劝2=0o_5-52=0o/l=-l,故B错误；

对于C,若（。-2〃）//（2〃+姑），则存在实数4，使得%+姑=乂4-处），

因为6工1,所以。二（一3,1）为=（1,—2）不共线，所以2=2左=—2/l=T,故C正确；

对于D,向量。在向量〃上的投影向量为粤力=[〃=»,故D错误.

b~5

故选：AC.

10.（多选）（2025•全国•模拟预测）设向量〃，〃满足〃=（1,2）,^=（-1,1）,则（）

A.ab=\B.+

C.a+b与b的夹角为D.〃与Q—〃的夹角为钝角

4

【答案】AC

【分析】根据平面向量数量积的坐标运算，垂直的坐标表示，向量夹角的坐标公式即可判

断.

【详解】对于A,〃石=-1+2=1，故A正确;

对于B,a+6=（0,3）,a-b=（2,l）,

所以+—〃）=3,与“一人不垂直，故B错误;

对于C,（a+b^-b=31p|=\/5,|/?|=\/2,p/+^|=3,

/\y/2

8s（,"PT所彳，所以a"与〃夹角盯，故C正确;

对于D,。（"4=4>0,“与方的夹角不为钝角，故D错误;

故选：AC.

11.（2025高三•全国•专题练习）已知。为边长为1的等边VA/3C所在平面内一点，且满足

CP=CB+2CA，贝11尸人尸8=・

【答案】3

【分析】解法1、由CP=C5+2C4n3P=2CA,直接进行数量积运算即可；解法2、利用

位（后如4（PA^-PBX-（PA-PB\4的

极化恒等式PAPB=-------------------------=PM2-AW2计算•

4

【详解】解法1：如图，CP=C6+2CA=8P=2CA，

贝！1PA/3=(P3+ZM)P3=P42+ZMP4=4+1X2XCOS1200=3.

解法2：如图，M为A8的中点，PA•尸8='_堂L=p/_AM?=3.

4

故答案为：3.

12.（2025高三•全国•专题练习）在平行四边形ABCD中，已知A8=2,A。=1,NDAB=60°,

M为A4的中点，点P在BC与CD上运动（包括端点），则AP.QM的取值范围是

【答案】

【分析】根据题意分点”在AC上时，点/，在CO上两种情况进行运算求解即可.

【详解】当点P在2c上时，如图1,AB-2tAQ=1,NQA4=60。，”为43的中点，

所以AADM为等边三角形，即A伉DM=60°,BP.DM=120°,

所以ABDM=11PoM=-；网,又AP=AB+BP，

所以APQM=A3.QM+4PoM=1—g网€g,l.

当点尸在C。上时，如图2,

此时AD,DM=120°,DP,DM=60",所以ADDM---,DP-DM--|D/j,

22

・

又AP=AD+DP，所以”。"=49。"+勿。例=-；+：|阿€

综上，APDMe-1,1.

故答案为：-孑』

13.(2025高三•全国•专题练习)己知四边形A8C2E为。8的中点，

BC=2,AE=CD=3,DB=4t求的取值范围.

…上、「755-

【答案】匕彳♦

【分析】思路1：运用转化法把AO和/C进行拆分然后转为为其他数量积问题;

思路2：直接运用极化恒等式求解.

【详解】解法1：如图，设厂为C。的中点，插入分点广，则有：

7

AO•AC=(从"十〃£>)•(AF+Z。)

=AF2+AF[FD+FCj}+FDFC

oroo-

=AF2+FDFC=AF2--e4--J6--,

444_

'755'

即AOMC的取值范围为.

n755

解法2：运用极化恒等式，易得A>4C=A尸-彳£不十.

4144

14.（24-25高一下•辽宁朝阳•阶段练习）如图，在直角梯形A4C。中,

UJUIU1LLUULU

AB±AO,AB//CD,/\B=IO,AD=CD=4,AD=4ED,BF=FC.

(1)求A尸BE；

(2)若G为边A8上一点，且GELGF，求kl

【答案】⑴-64

【分析】(1)首先建立平面直角坐标系，利用坐标法求平面向量的数量积;

(2)设出点G的坐标，利用向量垂直的坐标表示，即可求解.

【详解】(1)

D--------C

E〜「

如图，以A为原点，人叫八。所在直线分别为x轴，)，轴建立平面直角坐标系，

则4(0,0)田0,3)以10,0)((4,4),尸(7,2),因为4/=(7,2>“=(0,3)-(10,0)=(-10,3),

所以AA8E=(7,2>(-103)=-70+6=-64.

(2)如图，设G(x,O),fiijGE=(0,3)-(x,0)=(-x,3),GF=(7,2)-(x,0)=(7-x,2),

因为GE_LGr，所以GEGb=一式(7—力+6=/—7工+6=0,解得x=l或6,

B相遇高考

1.(2023•全国乙卷•高考真题)己知。的半径为1,直线PA与。相切于点4直线尸8

与2。交于3,C两点，。为3C的中点，若|pq=g,则PAPQ的最大值为()

c.I+x/2D.2+JJ

【答案】A

【分析】由题意作出示意图，然后分类讨论，利用平面向量的数量积定义可得州

=g-争心。-"或PA.PO=g+冬in(2a+j然后结合三角函数的性质即可确定

PAPO的最大值.

【详解】如图所示，QA|=1,|O”=及，则由题意可知:/4PO=(,

由勾股定理可得|PA|=尸-Ok=1

当点A。位于直线P。异侧时或M为直径时，设“改”,。工0柠'

则：PAPD=1P4IIP力|cos|a+?

n

=1Xy/2cosacosa+—

4

=>/2cosry^^^cosf/—^^sina

=cos?a-sinacosa

1+cos2aI.c

----------------sin2a

22

\4i.(

--------sin

22

0<-,则一工W2a——<—

4444

当点A。位于直线PO同侧时，设NOPCa,0<a<],

=1xV2cosacos----a

(4

=Vicos<7——cosa+——sin«

122J

=cos2a+sinacosa

1+cos2a1.八

=------------+—sin2a

22

iV2.吟

22I4；

0<«<-,则上2a+，网

4444

...当2a+(=］时，%・pO有最大值

综上可得，必•9的最大值为上店.

2

故选：A.

【点睛】本题的核心在于能够正确作出示意图，然后将数量积的问题转化为三角函数求最

值的问题，考查了学生对于知识的综合掌握程度和灵活处理问题的能力.

2.(2023・新课标I卷•高考真题)已知向量a=(l用/=(1,-1),若(。+助)_L(a+Mb),则

()

A.4+〃=1B.2+//=-1

C.=1D.初=-1

【答案】D

【分析】根据向量的坐标运算求出〃+m，。+曲，再根据向量垂直的坐标表示即可求出.

【详解】因为〃=(1,1),方=。,一1),所以〃++〃++〃,1一〃)，

由(4+2Z?)_L(a+可得，(a+•(«+///?)=0,

即(l+4)(l+〃)+(l_/l)(l_〃)=0,整理得：M=T.

故选：D.

3.(2025•全国二卷•高考直题)已知平面向量d=(工1)./?=。-1.2幻.若。，(4-")，贝巾。匕

【答案】y/2

【分析】根据向量坐标化运算得a-b=(l,l-2x),再利用向量垂直的坐标表示得到方程，

解出即可.

【详解】a-b=(\A-2x),因为a_L(a-8),贝!!〃•(〃—〃)=。，

贝！Jx+l-2x=0,解得x=l.

则〃=(1,1),贝

故答案为：x/2.

4.（2023•天津•高考真题）在VA8C中，BC=\,NA=60,AD=^A13,CE=^CDtiH

AB=a,AC=ba,b表示AE=;若BP=&BC,则AE-AF的最大值为

I-I-13

【答案】-a+-b—

4224

【分析】空L根据向量的货性运算，结合E为C£)的中点进行求解:空2：用〃出表示出从下，

结合上一空答案，于是/可由公〃表示，然后根据数量积的运算和基本不等式求解.

AE+ED=AD

【详解】空1：因为石为C。的中点，则EO+EC=0,可得

AE+EC=AC

两式相加，可得到2A£=AO+AC，

11I

BP2AE=-a+bt贝I」4七=1。+/〃；

AF+FC=AC

空2：因为BF=；8C，则2尸8+尸。=0,可得

AF+FB=AB

得至IJA/+尸C+2（A尸+FB）=AC+2A8,

2-]-

即3A尸=2〃+/;,W?AF=-a+-b.

1

于是4E•人尸=2a+5a-b+2bI.

42（33

记AB=x,AC=y,

贝ljAE-A尸=W(2J+5a-b+2〃

2X2+

在VA3。中，根据余弦定理：BC2=x2+y2-2jycos60=x2+y2-x）'=l,

于是AE"$W+等+2卜直筌+4

由x2+y?-孙=1和基本不等式，x2+y2-X)1=1>2xy-xy=xy,

故冷”1,当且仅当％=y=i取得等号，

13

则0口时，AEMF有最大值五.

1I-13

故答案为：-«+-/?；—.

c

C素养提升

1.（2025高三•全国•专题练习）在RtZ\A8C中，斜边八8=1,后为月y的中点，CO_L48于

D,贝1」©。。）（。位）的最大值为.

【答案】卷2

27

【分析】结合图象，（CA.CD）（CVCE）=（CE-CQ）［；+EA-CE|,再利用数量积的几何意义，

设ED=x,贝1］（℃）（"。q=（：72）（卜9）最后利用均值不等式求最值.

【详解】如图，易知：

（CA.CO）（CA.C石）=［（CE+£4）•CZ）］［（CE+E4）•CE

=［CECD+EACD）［CECE+EACE）

=（SCQ）（；+E4CE）,

因为C£在C。方向上的投影向量为C。，且在RtZsCQE中C》=(£|-x2,

所以CECO=!-f,

4

CE在E4方向上的投影向量为。£，所以E4CE=；x,

设ED=x,贝!](。4。。)(。4(7后)=6-12)(^+5]

_(l-4.rYl+2.r>|_(l-2x)(l+2x)(14-2x)

二^-人工)=

(2-4x)(l+2x)(l+2x)]|"(2-4x)+(l+2x)+(l+2力丫2

2x42-2X42[3J―力，

当且仅当2-4户l+2x,即x1时等号成立，故所求的最大值为2白.

o27

故答案为：最2

2

2.(2025高三•全国•专题练习)设点。是VA8C的外心，AB=ctAC=bf(Z?-l)+?=1,

则6CYO的取值范围为

【答案】\;，2)

【分析】通过作出辅助线，将向量进行转化，利用中点性质将向量用己知边向量表示，再

根据数量积的几何意义最后结合己知条件求出取值范围.

【详解】如图，过点。作OE±ACf垂足分别为。、E,

点。是VA8c的外心，.：。、E分别是48、AC的中心,

/.BCAO=[BA+ACyAO=BAAO+ACAO

=|Aogs（兀-NOAO）+"C.Ao|cos/OAC

="|fi4||/to|cosZOAD+|xc||4O|cosZOAC="|^||4D|+|/4C||4E|

由（匕一1）“+/=1得/=力一〃>0,从而0<〃<2,

3cAO的取值范围为-；，2)

故答案为；卜；，2).

3.(2025高三•全国•专题练习)已知平面向量4。满足,卜吟,〃=q+2e2(2eR),其中华6

为不共线的单位向量，若对符合上述条件的任意向量。,如恒有卜-力卜?，则与e；的夹角

。的最小值是

【答案】|

【分析懈法1：设点力的夹角为a，W=a，W=b,由卜一4釜推得bN幼cosa,即得心冬

结合。=q+Ae2,代入计算可得储+24COS。+；20在R上恒成立，由AWO求得当即

IJJ

得其最小值；解法2：由卜-力卜得可得八2〃/恒成立，只需八2琲|,即1〃1N2”，

即卜+几回2之：，化简得，22+2&os8+；NO在R上恒成立，同法求得.

【详解】解法L设”,〃的夹角为。，忖=%M由卜—〃格岑可得卜「〃卜口，

两边取平方，可得/+〃-2abcosa>a2,

即2c/cosa,该式对任意a恒成立，

所以b之2a=,即|/』=卜］+&2卜'^，

I一i23I

从而,+&2t「之?，计算整理得：A2+2ACOS^+->0,该式对任意的为恒成立，

所以△=4cos3-lW0,得|cos6K：,因兀，贝！

故所求最小值为女.

,I--P33---23

解法2：易知3=1+2笈os6+42，卜-目之而，则而-2ab+〃>—,

即广22〃力恒成立,故只需7词删,即仍122H恒成立.因何卜手,

3

b=e,+2,e-,贝1|有1+22cos。+A*2-

f4f

BPA"+2Acos—>0,由△=Cos*。-1W0得—cosO<—,因0W<9W兀，

422

所以1.故所求最小值为。.

故答案为：p

4.（24-25高一下•河南焦作•阶段练习）设平面内两个非零向量风〃的夹角为夕（"桑|,定

义一种新运算"③"：m®«=pw||«|tan0.

⑴已知向量向|=2,W=3,eZ?=2,求〃③人；

（2）设向量。=（.））〃=住』），且a%。，证明：心7叫"（"；+）『）（」+、）；

+y/

(3)已知向量c=(cos£,sin0,d=(cos/,sin/),cdwO,若法》=2,求cos(2夕-2y)的值.

【答案】(1)12&

⑵证明见解析

(3)-1

【分析】(1)由向量夹角公式求出cos。，再得出tan处根据新定义求解；

(2)类比(1)求出cos。，得出tan。，利用新定义证明即可；

(3)根据(2)代入求解推出taM(〃-7)=4,再由三角恒等变换求解.

【详解】(1)设的夹角为。"e。汨)，则8se=*—=义=:，

|d|-|/?|2x33

所以sin°=Ji-cos2ip=,

20

所以tan(p=:=2xf2,

cose1

3

故。区〃=|a|・|/?|tane=2x3x2&=12^2.

(2)设a,〃的夹角为8"£。冗1),

abx.x^+y.y2

则cos(p=---------=tj一•",

HI"6+),；)(¥+£)

所以sing=71-cos2^)=年==产+)2(1+乳(丝+)加)2

v(〃+)1)*；+%)V(不+%)(石+£)

=:;£+¥)『一2/乂。为二I区)‘2一£.'1广・1%为—一311

V*；+)才)3+£)+