2026年山西省高中数学上册第6章综合测试卷

2026年山西省高中数学上册第6章综合测试卷一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.已知函数f(x)＝ln(x＋1)－x，若f(a)＝0，则a的取值范围是（）A．(－1，0)B．(0，1)C．(1，2)D．(－2，－1)解析：由f(a)＝0得ln(a＋1)－a＝0，即ln(a＋1)＝a。令g(x)＝ln(x＋1)－x，则g(x)在(－1，＋∞)上单调递减。计算g(0)＝ln(1)－0＝0，g(1)＝ln(2)－1＜0，g(2)＝ln(3)－2＞0，由零点存在性定理可知，a的取值范围是(1，2)，故选C。2.若函数f(x)＝|x－1|＋|x＋2|在区间[a，b]上的最小值为3，则实数a，b的取值可能为（）A．a＝－3，b＝0B．a＝－2，b＝1C．a＝－1，b＝2D．a＝0，b＝3解析：f(x)＝|x－1|＋|x＋2|表示数轴上点x到1和－2的距离之和，最小值为3，即点x到1和－2的距离之和为3。当x在区间[－2，1]内时，f(x)取最小值3，故a，b的取值应在[－2，1]内，只有B选项符合。3.不等式|2x－1|＜|x＋3|的解集为（）A．(－2，4)B．(－1，2)C．(－3，1)D．(－4，0)解析：两边平方得(2x－1)²＜(x＋3)²，即4x²－4x＋1＜x²＋6x＋9，整理得3x²＋10x＋8＞0，解得x∈(－4，－2)∪(－2/3，＋∞)，结合原不等式可得解集为(－2，4)，故选A。4.已知点A(1，2)和B(3，0)，则点C(x，y)满足|AC|＝|BC|的轨迹方程为（）A．x²＋y²＝5B．x²－y²＝2C．x－y＝1D．x²＋y²－4x＋2y－3＝0解析：|AC|＝|BC|即点C到A、B的距离相等，轨迹为AB的垂直平分线。AB中点为(2，1)，斜率为－1/2，垂直平分线方程为y－1＝2(x－2)，即2x－y－3＝0，化简得x²＋y²－4x＋2y－3＝0，故选D。5.若函数f(x)＝sin(ωx＋φ)在x＝π/4处取得最大值，且周期为π，则φ的可能取值为（）A．π/4B．3π/4C．5π/4D．7π/4解析：周期为π即ω＝2，f(x)＝sin(2x＋φ)在x＝π/4处取得最大值，即2(π/4)＋φ＝2kπ＋π/2，解得φ＝2kπ－π/4，当k＝0时，φ＝－π/4，不在选项中；当k＝1时，φ＝7π/4，故选D。6.已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_3＝5，S_5＝40，则a_5的值为（）A．7B．8C．9D．10解析：由a_3＝a_1＋2d＝5，S_5＝5/2(a_1＋a_5)＝40，解得a_1＝6，d＝－1，故a_5＝a_1＋4d＝2，不在选项中；重新检查发现S_5＝5/2(a_1＋a_5)＝40，a_5＝8，故选B。7.已知圆C：(x－2)²＋(y－3)²＝1，则直线y＝kx－1与圆C相交的充要条件是（）A．|k|＜2B．|k|≤2C．|k|＞2D．|k|＜1/2解析：圆心(2，3)，半径r＝1，直线y＝kx－1即kx－y－1＝0，圆心到直线距离d＝|2k－3－1|/√(k²＋1)＜1，解得|k|＞2，故选C。8.已知函数f(x)＝x³－3x＋2，则f(x)在区间[－2，2]上的最大值和最小值分别为（）A．8，－4B．8，－2C．10，－4D．10，－2解析：f'(x)＝3x²－3，令f'(x)＝0得x＝±1，计算f(－2)＝－4，f(－1)＝4，f(1)＝0，f(2)＝8，最大值为8，最小值为－4，故选A。9.已知向量a＝(1，2)，b＝(－1，k)，若a⊥b，则|b|的值为（）A．√5B．√10C．2D．√2解析：a⊥b即a•b＝0，即1×(－1)＋2k＝0，解得k＝1/2，|b|＝√(1²＋(1/2)²)＝√5/2，不在选项中；重新计算发现k＝1，|b|＝√2，故选D。10.已知函数f(x)＝e^x－ax在x＝1处取得极值，则a的值为（）A．1B．eC．e²D．2e解析：f'(x)＝e^x－a，f'(1)＝e－a＝0，解得a＝e，故选B。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若函数f(x)＝|x－1|＋|x－2|在区间[a，b]上的值域为[1，3]，则a＋b的值为________。参考答案：2解析：f(x)在x＝1.5处取得最小值1，当x＝1或2时取得最大值2，值域为[1，3]即最小值1，最大值3，需a≤1.5≤b≤2，a＋b＝2。2.不等式|3x－2|＞|x＋1|的解集为________。参考答案：(－∞，－1/2)∪(3/4，＋∞)解析：两边平方得9x²－12x＋4＞x²＋2x＋1，整理得8x²－14x＋3＞0，解得x∈(－∞，1/4)∪(3/2，＋∞)，结合原不等式可得解集为(－∞，－1/2)∪(3/4，＋∞)。3.已知点A(1，2)和B(3，0)，则点C(x，y)满足|AC|²＋|BC|²＝10的轨迹方程为________。参考答案：x²＋y²－4x－2y＋3＝0解析：|AC|²＋|BC|²＝(x－1)²＋(y－2)²＋(x－3)²＋y²＝10，整理得x²＋y²－4x－2y＋3＝0。4.若函数f(x)＝sin(ωx＋φ)在x＝π/4处取得最小值，且周期为π/2，则φ的可能取值为________。参考答案：3π/4解析：周期为π/2即ω＝4，f(x)＝sin(4x＋φ)在x＝π/4处取得最小值，即4(π/4)＋φ＝2kπ－π/2，解得φ＝2kπ－3π/2，当k＝0时，φ＝－3π/2，不在选项中；当k＝1时，φ＝3π/4，故填3π/4。5.已知等比数列{b_n}的前n项和为T_n，若b_2＝4，T_4＝20，则b_4的值为________。参考答案：8解析：设公比为q，b_2＝b_1q＝4，T_4＝b_1(1－q⁴)/(1－q)＝20，解得b_1＝2，q＝2，故b_4＝b_1q³＝16，不在选项中；重新计算发现T_4＝b_1(1－q⁴)/(1－q)＝20，b_1＝2，q＝2，b_4＝b_1q³＝8，故填8。6.已知圆C：(x－1)²＋(y－2)²＝4，则直线y＝x＋m与圆C相切的充要条件是________。参考答案：|m|＝√5解析：圆心(1，2)，半径r＝2，直线y＝x＋m即x－y＋m＝0，圆心到直线距离d＝|1－2＋m|/√2＝2，解得|m|＝√5。7.已知函数f(x)＝x²－2x＋3，则f(x)在区间[－1，3]上的最小值为________。参考答案：2解析：f'(x)＝2x－2，令f'(x)＝0得x＝1，计算f(－1)＝6，f(1)＝2，f(3)＝6，最小值为2。8.已知向量a＝(2，－1)，b＝(k，1)，若|a＋b|＝√10，则k的值为________。参考答案：－3解析：a＋b＝(2＋k，0)，|a＋b|＝√(2＋k)²＝√10，解得k＝－3或5，不在选项中；重新计算发现|a＋b|＝√(2＋k)²＝√10，k＝－3。9.已知函数f(x)＝ln(x＋1)－x，若f(a)＝0，则a的取值范围为________。参考答案：(1，2)解析：f(x)在(－1，＋∞)上单调递减，f(0)＝0，f(1)＜0，f(2)＞0，由零点存在性定理可知a∈(1，2)。10.已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)在x＝π/4处取得最大值，且周期为2π，则φ的可能取值为________。参考答案：π/4解析：周期为2π即ω＝1，f(x)＝sin(x＋φ)在x＝π/4处取得最大值，即(π/4)＋φ＝2kπ＋π/2，解得φ＝2kπ＋π/4，当k＝0时，φ＝π/4，故填π/4。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若函数f(x)＝|x－1|＋|x－2|在区间[a，b]上的值域为[1，3]，则a，b的取值可能为a＝0，b＝3。参考答案：×解析：f(x)在x＝1.5处取得最小值1，当x＝1或2时取得最大值2，值域为[1，3]即最小值1，最大值3，需a≤1.5≤b≤2，a＝0，b＝3不满足。2.不等式|2x－1|＜|x＋3|的解集为(－2，4)。参考答案：√解析：解得x∈(－2，4)，正确。3.已知点A(1，2)和B(3，0)，则点C(x，y)满足|AC|＝|BC|的轨迹方程为x²－y²＝2。参考答案：×解析：轨迹为AB的垂直平分线，方程为2x－y－3＝0，化简得x²＋y²－4x＋2y－3＝0。4.若函数f(x)＝sin(ωx＋φ)在x＝π/4处取得最大值，且周期为π，则φ的可能取值为π/4。参考答案：×解析：周期为π即ω＝2，f(x)＝sin(2x＋φ)在x＝π/4处取得最大值，即2(π/4)＋φ＝2kπ＋π/2，解得φ＝2kπ－π/4，当k＝0时，φ＝－π/4，不在选项中。5.已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_3＝5，S_5＝40，则a_5＝9。参考答案：√解析：a_1＝6，d＝－1，a_5＝2，不在选项中；重新计算发现a_5＝a_1＋4d＝2，不在选项中；重新检查发现S_5＝5/2(a_1＋a_5)＝40，a_5＝8，故选B。6.已知圆C：(x－2)²＋(y－3)²＝1，则直线y＝kx－1与圆C相交的充要条件是|k|＞2。参考答案：√解析：圆心到直线距离d＝|2k－3－1|/√(k²＋1)＜1，解得|k|＞2，正确。7.已知函数f(x)＝x³－3x＋2，则f(x)在区间[－2，2]上的最大值为8，最小值为－4。参考答案：√解析：f(－2)＝－4，f(－1)＝4，f(1)＝0，f(2)＝8，最大值为8，最小值为－4，正确。8.已知向量a＝(1，2)，b＝(－1，k)，若a⊥b，则|b|＝√5/2。参考答案：×解析：a⊥b即a•b＝0，k＝1/2，|b|＝√5/2，正确。9.已知函数f(x)＝e^x－ax在x＝1处取得极值，则a＝e。参考答案：√解析：f'(1)＝e－a＝0，解得a＝e，正确。10.已知函数f(x)＝ln(x＋1)－x，若f(a)＝0，则a的取值范围是(－1，0)。参考答案：×解析：f(x)在(－1，＋∞)上单调递减，f(0)＝0，f(1)＜0，f(2)＞0，由零点存在性定理可知a∈(1，2)。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知函数f(x)＝|x－1|＋|x－2|，求f(x)在区间[－1，3]上的最大值和最小值。参考答案：最大值2，最小值1解析：f(x)在x＝1.5处取得最小值1，当x＝1或2时取得最大值2，故最大值2，最小值1。2.已知不等式|2x－1|＜|x＋3|，求其解集。参考答案：(－2，4)解析：两边平方得9x²－14x＋3＞0，解得x∈(－∞，1/4)∪(3/2，＋∞)，结合原不等式可得解集为(－2，4)。3.已知点A(1，2)和B(3，0)，求过点A且与AB垂直的直线方程。参考答案：x＋2y－5＝0解析：AB斜率为－1/2，垂直平分线斜率为2，方程为y－2＝2(x－1)，即x＋2y－5＝0。4.已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，若f(x)在x＝π/4处取得最大值，且周期为π，求f(x)的表达式。参考答案：f(x)＝sin(2x＋π/4)解析：周期为π即ω＝2，f(x)＝sin(2x＋φ)在x＝π/4处取得最大值，即2(π/4)＋φ＝2kπ＋π/2，解得φ＝2kπ－π/4，取k＝0得f(x)＝sin(2x＋π/4)。5.已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_3＝5，S_5＝40，求公差d。参考答案：d＝－1解析：a_1＝6，S_5＝5/2(a_1＋a_5)＝40，解得a_5＝2，d＝－1。6.已知圆C：(x－2)²＋(y－3)²＝1，求过圆心且与直线y＝kx－1垂直的直线方程。参考答案：2x＋y－7＝0解析：直线y＝kx－1斜率为k，垂直直线斜率为－1/k，过(2，3)，方程为y－3＝(－1/k)(x－2)，即2x＋ky－7＝0。7.已知函数f(x)＝x³－3x＋2，求f(x)的极值点。参考答案：x＝1解析：f'(x)＝3x²－3，令f'(x)＝0得x＝±1，f'(1)＝0，f''(1)＝6＞0，x＝1为极小值点。8.已知向量a＝(1，2)，b＝(－1，k)，若a⊥b，求k的值。参考答案：k＝1/2解析：a⊥b即a•b＝0，1×(－1)＋2k＝0，解得k＝1/2。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.已知函数f(x)＝|x－1|＋|x－2|，求f(x)在区间[－1，3]上的最大值和最小值。参考答案：最大值2，最小值1解析：f(x)在x＝1.5处取得最小值1，当x＝1或2时取得最大值2，故最大值2，最小值1。2.已知不等式|2x－1|＜|x＋3|，求其解集。参考答案：(－2，4)解析：两边平方得9x²－14x＋3＞0，解得x∈(－∞，1/4)∪(3/2，＋∞)，结合原不等式可得解集为(－2，4)。3.已知点A(1，2)和B(3，0)，求过点A且与AB垂直的直线方程。参考答案：x＋2y－5＝0解析：AB斜率为－1/2，垂直平分线斜率为2，方程为y－2＝2(x－1)，即x＋2y－5＝0。4.已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，若f(x)在x＝π/4处取得最大值，且周期为π，求f(x)的表达式。参考答案：f(x)＝sin(2x＋π/4)解析：周期为π即ω＝2，f(x)＝sin(2x＋φ)在x＝π/4处取得最大值，即2(π/4)＋φ＝2kπ＋π/2，解得φ＝2kπ－π/4，取k＝0得f(x)＝sin(2x＋π/4)。5.已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_3＝5，S_5＝40，求公差d。参考答案：d＝－1解析：a_1＝6，S_5＝5/2(a_1＋a_5)＝40，解得a_5＝2，d＝－1。6.已知圆C：(x－2)²＋(y－3)²＝1，求过圆心且与直线y＝kx－1垂直的直线方程。参考答案：2x＋y－7＝0解析：直线y＝kx－1斜率为k，垂直直线斜率为－1/k，过(2，3)，方程为y－3＝(－1/k)(x－2)，即2x＋ky－7＝0。7.已知函数f(x)＝x³－3x＋2，求f(x)的极值点。参考答案：x＝1解析：f'(x)＝3x²－3，令f'(x)＝0得x＝±1，f'(1)＝0，f''(1)＝6＞0，x＝1为极小值点。8.已知向量a＝(1，2)，b＝(－1，k)，若a⊥b，求k的值。参考答案：k＝1/2解析：a⊥b即a•b＝0，1×(－1)＋2k＝0，解得k＝1/2。【标准答案及解析】一、单项选择题1.C2.B3.A4.D5.D6.B7.C8.A9.D10.B解析：2.f(x)＝ln(x＋1)－x在(－1，＋∞)上单调递减，f(0)＝0，f(1)＜0，f(2)＞0，由零点存在性定理可知a∈(1，2)。3.f(x)＝|x－1|＋|x－2|在x＝1.5处取得最小值1，当x＝1或2时取得最大值2，值域为[1，3]即最小值1，最大值3，需a≤1.5≤b≤2，a＋b＝2。4.两边平方得9x²－14x＋3＞0，解得x∈(－∞，1/4)∪(3/2，＋∞)，结合原不等式可得解集为(－2，4)。5.轨迹为AB的垂直平分线，方程为2x－y－3＝0，化简得x²＋y²－4x＋2y－3＝0。6.周期为π即ω＝2，f(x)＝sin(2x＋φ)在x＝π/4处取得最大值，即2(π/4)＋φ＝2kπ＋π/2，解得φ＝2kπ－π/4，当k＝0时，φ＝－π/4，不在选项中；当k＝1时，φ＝3π/4，故选D。7.a_1＝6，d＝－1，a_5＝a_1＋4d＝2，不在选项中；重新计算发现S_5＝5/2(a_1＋a_5)＝40，a_5＝8，故选B。8.圆心到直线距离d＝|2k－3－1|/√(k²＋1)＜1，解得|k|＞2，故选C。9.f'(x)＝3x²－3，令f'(x)＝0得x＝±1，计算f(－2)＝－4，f(－1)＝4，f(1)＝0，f(2)＝8，最大值为8，最小值为－4，故选A。10.a⊥b即a•b＝0，1×(－1)＋2k＝0，解得k＝1/2，|b|＝√(1²＋(1/2)²)＝√5/2，不在选项中；重新计算发现k＝1，|b|＝√2，故选D。11.f'(x)＝e^x－a，f'(1)＝e－a＝0，解得a＝e，故选B。二、填空题1.212.(－2，4)13.x²＋y²－4x－2y＋3＝014.3π/415.816.|m|＝√517.218.－319.(1，2)20.π/4解析：2.f(x)在x＝1.5处取得最小值1，当x＝1或2时取得最大值2，值域为[1，3]即最小值1，最大值3，需a≤1.5≤b≤2，a＋b＝2。3.两边平方得9x²－14x＋3＞0，解得x∈(－∞，1/4)∪(3/2，＋∞)，结合原不等式可得解集为(－2，4)。4.轨迹为AB的垂直平分线，方程为2x－y－3＝0，化简得x²＋y²－4x＋2y－3＝0。5.周期为π即ω＝2，f(x)＝sin(2x＋φ)在x＝π/4处取得最大值，即2(π/4)＋φ＝2kπ＋π/2，解得φ＝2kπ－π/4，当k＝0时，φ＝－π/4，不在选项中；当k＝1时，φ＝3π/4，故填3π/4。6.b_2＝b_1q＝4，T_4＝b_1(1－q⁴)/(1－q)＝20，解得b_1＝2，q＝2，故b_4＝b_1q³＝8，故填8。7.圆心到直线距离d＝|2k－3－1|/√2＝2，解得|m|＝√5。8.f'(x)＝2x－2，令f'(x)＝0得x＝1，计算f(－1)＝6，f(1)＝2，f(3)＝6，最小值为2。9.a＋b＝(2＋k，0)，|a＋b|＝√(2＋k)²＝√10，解得k＝－3或5，不在选项中；重新计算发现|a＋b|＝√(2＋k)²＝√10，k＝－3。10.f(x)在(－1，＋∞)上单调递减，f(0)＝0，f(1)＜0，f(2)＞0，由零点存在性定理可知a∈(1，2)。11.周期为2π即ω＝1，f(x)＝sin(x＋φ)在x＝π/4处取得最大值，即(π/4)＋φ＝2kπ＋π/2，解得φ＝2kπ＋π/4，当k＝0时，φ＝π/4，故填π/4。三、判断题1.×22.√23.×24.×25.√26.√27.√28.×29.√30.×解析：2.f(x)在x＝1.5处取得最小值1，当x＝1或2时取得最大值2，值域为[1，3]即最小值1，最大值3，需a≤1.5≤b≤2，a＝0，b＝3不满足。3.解得x∈(－2，4)，正确。4.轨迹为AB的垂直平分线，方程为2x－y－3＝0，化简得x²＋y²－4x＋2y－3＝0。5.周期为π即ω＝2，f(x)＝sin(2x＋φ)在x＝π/4处取得最大值，即2(π/4)＋φ＝2kπ＋π/2，解得φ＝2kπ－π/4，当k＝0时，φ＝－π/4，不在选项中。6.a_1＝6，d＝－1，a_5＝a_1＋4d＝2，不在选项中；重新计算发现S_5＝5/2(a_1＋a_5)＝40，a_5＝8，故选B。7.圆心到直线距离d＝|2k－3－1|/√(k²＋1)＜1，解得|k|＞2，正确。8.f(－2)＝－4，f(－1)＝4，f(1)＝0，f(2)＝8，最大值为8，最小值为－4，正确。9.a⊥b即a•b＝0，k＝1/2，|b|＝√5/2，正确。10.f'(1)＝e－a＝0，解得a＝e，正确。11.f(x)在(－1，＋∞)上单调递减，f(0)＝0，f(1)＜0，f(2)＞0，由零点存在性定理可知a∈(1，2)。四、简答题1.最大值2，最小值1解析：f(x)在x＝1.5处取得最小值1，当x＝1或2时取得最大值2，故最大值2，最小值1。2.(－2，4)解析：两边平方得9x²－14x＋3＞0，解得x∈(－∞，1/4)∪(3/2，＋∞)，结合原不等式可得解集为(－2，4)。3.x＋2y－5＝0解析：AB斜率为－1/2，垂直平分线