2026年考研数学二线性代数重点习题

2026年考研数学二线性代数重点习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。下列每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。请将所选项前的字母填在题后的括号内。）1.设A为n阶矩阵，且存在正整数k，使得A^k=0矩阵，则下列命题中正确的是（）A.A一定可逆B.A一定不可逆C.A的特征值均为0D.A的伴随矩阵A为0矩阵解析：根据矩阵幂零性的定义，若存在正整数k使得A^k=0矩阵，则称A为幂零矩阵。幂零矩阵的特征值必为0，因为若λ是A的特征值，则存在非零向量x使得Ax=λx，对任意正整数m，有A^mx=λ^mx，当m=k时，A^kx=0，即λ^kx=0，由于x非零，必有λ^k=0，从而λ=0。因此选项C正确。选项A错误，因为幂零矩阵不可逆；选项B正确但不是最佳答案；选项D错误，因为A为幂零矩阵时，A不一定为0矩阵。2.已知向量组α1=(1,0,1)^T，α2=(0,1,1)^T，α3=(1,1,α)^T线性无关，则实数α的取值范围是（）A.α≠1B.α≠2C.α≠1且α≠2D.α>0解析：向量组线性无关的充要条件是其行列式不为0。构造矩阵A=(α1,α2,α3)=((1,0,1),(0,1,1),(1,1,α))，计算其行列式：|A|=|(1,0,1),(0,1,1),(1,1,α)|=1×(1×α-1×1)-0×(0×α-1×1)+1×(0×1-1×1)=α-1当α≠1时，|A|≠0，向量组线性无关。因此选项A正确。选项B、C、D均不正确。3.设A为n阶实对称矩阵，且A^2-A=2E，则A的特征值可能是（）A.-2B.0C.2D.4解析：设λ是A的特征值，则存在非零向量x使得Ax=λx，代入方程A^2-A=2E得：A^2x-Ax=2Exλ^2x-λx=2x(λ^2-λ-2)x=0由于x非零，必有λ^2-λ-2=0，解得λ=2或λ=-1。因此选项C正确。选项A、B、D均不正确。4.已知矩阵A=(a_{ij})为三阶矩阵，且|A|=2，若将A的第一行乘以2后加到第二行得到矩阵B，则|B|等于（）A.4B.2C.-2D.8解析：根据行列式的性质，将矩阵的一行乘以常数加到另一行，行列式值不变。因此|B|=|A|=2。选项B正确。其他选项错误。5.设A为n阶可逆矩阵，B为n阶矩阵，且满足AB=BA，则下列等式成立的是（）A.A^(-1)B=B^(-1)AB.A^TB=BA^TC.A^(-1)B^(-1)=B^(-1)A^(-1)D.(AB)^T=B^TA^T解析：由于AB=BA，矩阵A和B可交换。选项A错误，因为A^(-1)B=B^(-1)A不成立。选项B错误，因为A^TB=BA^T不成立。选项C错误，因为A^(-1)B^(-1)=B^(-1)A^(-1)不成立。选项D正确，因为(AB)^T=B^TA^T成立。因此选项D正确。6.设V为n维向量空间，W为V的子空间，维数分别为n和k，则下列命题中正确的是（）A.W的任何基都可扩展为V的基B.V的任何基都可收缩为W的基C.W的维数必小于等于V的维数D.V的维数必大于等于W的维数解析：根据子空间的定义，任何子空间的维数都小于等于原空间的维数。因此选项C正确。选项A错误，因为W的基可能无法扩展为V的基。选项B错误，因为V的基不能收缩为W的基。选项D错误，因为V的维数不一定大于等于W的维数。7.已知矩阵A=(a_{ij})为四阶矩阵，且|A|=3，若将A的第2列乘以2后加到第4列得到矩阵B，则|B|等于（）A.3B.6C.9D.12解析：根据行列式的性质，将矩阵的一列乘以常数加到另一列，行列式值不变。因此|B|=|A|=3。选项A正确。其他选项错误。8.设A为n阶矩阵，且A^T=A，则下列命题中正确的是（）A.A的特征值均为实数B.A的特征值均为正数C.A的特征值均为负数D.A的特征值均为0解析：根据实对称矩阵的性质，实对称矩阵的特征值均为实数。因此选项A正确。选项B、C、D均不正确。9.已知向量组α1=(1,1,1)^T，α2=(1,2,3)^T，α3=(1,3,λ)^T线性相关，则实数λ的取值范围是（）A.λ=2B.λ=3C.λ=5D.λ=6解析：向量组线性相关的充要条件是其行列式为0。构造矩阵A=(α1,α2,α3)=((1,1,1),(1,2,3),(1,3,λ))，计算其行列式：|A|=|(1,1,1),(1,2,3),(1,3,λ)|=1×(2×λ-3×3)-1×(1×λ-3×1)+1×(1×3-2×1)=λ-6当λ=6时，|A|=0，向量组线性相关。因此选项D正确。其他选项错误。10.设A为n阶正定矩阵，B为n阶可逆矩阵，则下列矩阵中正定的是（）A.ABB.B^TABC.A^(-1)D.BA^TB^(-1)解析：正定矩阵的合同矩阵仍为正定矩阵。B^TAB是A的合同矩阵，因此B^TAB正定。选项B正确。其他选项错误。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。请将答案填在题中横线上。）1.设A为三阶矩阵，且|A|=2，若A的伴随矩阵A=(|A|A^(-1))，则|A|等于________。参考答案：8解析：根据伴随矩阵的性质，|A|=|A|^(n-1)，其中n为矩阵阶数。当n=3时，|A|=|A|^2=2^2=4。又因为A=(|A|A^(-1))，所以|A|=|A|^3=2^3=8。2.已知向量组α1=(1,0,1)^T，α2=(0,1,1)^T，α3=(1,1,2)^T线性无关，则向量(1,1,1)^T可以由α1，α2，α3线性表出的表示式为________。参考答案：α1+α2-α3解析：设(1,1,1)^T=x1α1+x2α2+x3α3，即(1,1,1)^T=x1(1,0,1)^T+x2(0,1,1)^T+x3(1,1,2)^T=(x1+x3,x2+x3,x1+x3+2x3)，解得x1=1，x2=1，x3=-1，因此(1,1,1)^T=α1+α2-α3。3.设A为三阶矩阵，且A的每行元素之和均为3，则矩阵3E-A的特征值是________。参考答案：0，0，3解析：由于A的每行元素之和均为3，所以3E-A的每行元素之和均为0，即3E-A的秩小于3，因此3E-A不可逆，其特征值必为0。又因为3E-A的迹为9-3=6，而特征值之和为6，因此特征值为0，0，6。4.已知矩阵A=(a_{ij})为三阶矩阵，且|A|=2，若将A的第一行乘以2后加到第二行得到矩阵B，则|B|等于________。参考答案：2解析：根据行列式的性质，将矩阵的一行乘以常数加到另一行，行列式值不变。因此|B|=|A|=2。5.设A为n阶矩阵，且A^T=A，则A的特征值可能是________。参考答案：任意实数解析：实对称矩阵的特征值均为实数，但实数集合包含任意实数，因此A的特征值可能是任意实数。6.已知向量组α1=(1,1,1)^T，α2=(1,2,3)^T，α3=(1,3,λ)^T线性相关，则实数λ的取值范围是________。参考答案：λ=6解析：向量组线性相关的充要条件是其行列式为0。构造矩阵A=(α1,α2,α3)=((1,1,1),(1,2,3),(1,3,λ))，计算其行列式：|A|=|(1,1,1),(1,2,3),(1,3,λ)|=1×(2×λ-3×3)-1×(1×λ-3×1)+1×(1×3-2×1)=λ-6当λ=6时，|A|=0，向量组线性相关。7.设V为n维向量空间，W为V的子空间，维数分别为n和k，则W的维数必________V的维数。参考答案：小于等于解析：根据子空间的定义，任何子空间的维数都小于等于原空间的维数。8.已知矩阵A=(a_{ij})为四阶矩阵，且|A|=3，若将A的第2列乘以2后加到第4列得到矩阵B，则|B|等于________。参考答案：3解析：根据行列式的性质，将矩阵的一列乘以常数加到另一列，行列式值不变。因此|B|=|A|=3。9.设A为n阶正定矩阵，B为n阶可逆矩阵，则矩阵B^TAB的特征值________。参考答案：均为正数解析：正定矩阵的合同矩阵仍为正定矩阵。B^TAB是A的合同矩阵，因此B^TAB正定，其特征值均为正数。10.设A为三阶矩阵，且A的伴随矩阵A=(|A|A^(-1))，则|A|等于________。参考答案：|A|^5解析：根据伴随矩阵的性质，|A|=|A|^(n-1)，其中n为矩阵阶数。当n=3时，|A|=|A|^2=|A|^5。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。请将"正确"或"错误"填在题后的括号内。）1.若向量组α1，α2，α3线性无关，则向量组α1+α2，α2+α3，α3+α1线性无关。（）参考答案：正确解析：设k1(α1+α2)+k2(α2+α3)+k3(α3+α1)=0，整理得(k1+k3)α1+(k1+k2)α2+(k2+k3)α3=0，由于α1，α2，α3线性无关，必有k1+k3=0，k1+k2=0，k2+k3=0，解得k1=k2=k3=0，因此α1+α2，α2+α3，α3+α1线性无关。2.若矩阵A可逆，则A的特征值必不为0。（）参考答案：正确解析：若λ是A的特征值，则存在非零向量x使得Ax=λx，若λ=0，则Ax=0，由于A可逆，必有x=0，与x非零矛盾，因此A的特征值必不为0。3.若向量组α1，α2，α3线性相关，则向量组α1，α2，α3中任意两个向量线性相关。（）参考答案：错误解析：向量组线性相关，只要求存在不全为0的系数使得线性组合为0，不一定要求任意两个向量线性相关。例如α1=(1,0,0)^T，α2=(0,1,0)^T，α3=(1,1,0)^T线性相关，但α1，α2线性无关。4.若矩阵A和矩阵B相似，则A和B的特征值相同。（）参考答案：正确解析：矩阵相似意味着存在可逆矩阵P使得A=PBP^(-1)，则det(A-λE)=det(PBP^(-1)-λE)=det(P(B-λE)P^(-1))=det(B-λE)，因此A和B的特征值相同。5.若矩阵A正定，则A的伴随矩阵A也正定。（）参考答案：错误解析：正定矩阵的伴随矩阵不是正定矩阵。例如A=(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)正定，但A=(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)也是正定，但一般情况不成立。6.若向量组α1，α2，α3线性无关，则向量组α1，α2，α3的秩为3。（）参考答案：正确解析：向量组线性无关的充要条件是其秩等于向量个数，因此α1，α2，α3的秩为3。7.若矩阵A的秩为n-1，则A的特征值中必有n-1个为0。（）参考答案：错误解析：矩阵A的秩为n-1，则A的特征值中必有1个为0，但不一定有n-1个为0。例如A=(1,0,0),(0,1,0),(0,0,0)的秩为2，特征值为1，1，0。8.若矩阵A可逆，则A的转置矩阵A^T也可逆。（）参考答案：正确解析：矩阵可逆的充要条件是其行列式不为0，而det(A^T)=det(A)，因此A^T也可逆。9.若向量组α1，α2，α3线性相关，则向量组α1，α2，α3的秩小于3。（）参考答案：正确解析：向量组线性相关，说明存在不全为0的系数使得线性组合为0，因此向量组中存在线性相关的子集，其秩小于向量个数，因此秩小于3。10.若矩阵A正定，则A的行列式必为正数。（）参考答案：正确解析：正定矩阵的行列式必为正数。这是因为正定矩阵的特征值均为正数，而行列式等于特征值的乘积。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分。请将答案写在答题卡上相应的位置。）1.设A为n阶矩阵，且A^2=A，证明A的特征值必为0或1。证明：设λ是A的特征值，则存在非零向量x使得Ax=λx，代入方程A^2=A得：A^2x=Axλ^2x=λx(λ^2-λ)x=0由于x非零，必有λ^2-λ=0，解得λ=0或λ=1，因此A的特征值必为0或1。2.已知向量组α1=(1,0,1)^T，α2=(0,1,1)^T，α3=(1,1,λ)^T线性无关，求λ的取值范围。解：向量组线性无关的充要条件是其行列式不为0。构造矩阵A=(α1,α2,α3)=((1,0,1),(0,1,1),(1,1,λ))，计算其行列式：|A|=|(1,0,1),(0,1,1),(1,1,λ)|=1×(1×λ-1×1)-0×(0×λ-1×1)+1×(0×1-1×1)=λ-1当λ≠1时，|A|≠0，向量组线性无关。因此λ的取值范围是λ≠1。3.设A为n阶矩阵，且A^T=A，证明A的特征值均为实数。证明：设λ是A的特征值，则存在非零向量x使得Ax=λx，两边转置得x^TA^T=(λx)^T，即x^TA=λx^T，由于A^T=A，有x^TA=λx^T，即(λI-x^TA)x^T=0，由于x非零，必有λI-x^TA=0，即x^TA=λI，两边乘以x得x^TAx=λx^Tx，即x^T(Ax)=λ||x||^2，由于Ax=λx，有x^T(λx)=λ||x||^2，即λ||x||^2=λ||x||^2，因此λ为实数，因此A的特征值均为实数。4.已知矩阵A=(a_{ij})为三阶矩阵，且|A|=2，若将A的第一行乘以2后加到第二行得到矩阵B，求|B|。解：根据行列式的性质，将矩阵的一行乘以常数加到另一行，行列式值不变。因此|B|=|A|=2。5.设A为n阶正定矩阵，证明A的行列式必为正数。证明：正定矩阵的特征值均为正数，而行列式等于特征值的乘积，因此行列式必为正数。6.已知向量组α1=(1,1,1)^T，α2=(1,2,3)^T，α3=(1,3,λ)^T线性相关，求λ的取值。解：向量组线性相关的充要条件是其行列式为0。构造矩阵A=(α1,α2,α3)=((1,1,1),(1,2,3),(1,3,λ))，计算其行列式：|A|=|(1,1,1),(1,2,3),(1,3,λ)|=1×(2×λ-3×3)-1×(1×λ-3×1)+1×(1×3-2×1)=λ-6当λ=6时，|A|=0，向量组线性相关。7.设V为n维向量空间，W为V的子空间，维数分别为n和k，证明W的维数必小于等于V的维数。证明：根据子空间的定义，任何子空间的维数都小于等于原空间的维数。因此W的维数必小于等于V的维数。8.设A为n阶矩阵，且A^T=A，证明A的特征值必为实数。证明：设λ是A的特征值，则存在非零向量x使得Ax=λx，两边转置得x^TA^T=(λx)^T，即x^TA=λx^T，由于A^T=A，有x^TA=λx^T，即(λI-x^TA)x^T=0，由于x非零，必有λI-x^TA=0，即x^TA=λI，两边乘以x得x^T(Ax)=λx^Tx，即x^T(λx)=λ||x||^2，由于Ax=λx，有x^T(λx)=λ||x||^2，即λ||x||^2=λ||x||^2，因此λ为实数，因此A的特征值均为实数。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分。请将答案写在答题卡上相应的位置。）1.已知向量组α1=(1,0,1)^T，α2=(0,1,1)^T，α3=(1,1,λ)^T线性无关，求λ的取值范围，并求向量(1,1,1)^T在α1，α2，α3下的坐标。解：向量组线性无关的充要条件是其行列式不为0。构造矩阵A=(α1,α2,α3)=((1,0,1),(0,1,1),(1,1,λ))，计算其行列式：|A|=|(1,0,1),(0,1,1),(1,1,λ)|=1×(1×λ-1×1)-0×(0×λ-1×1)+1×(0×1-1×1)=λ-1当λ≠1时，|A|≠0，向量组线性无关。因此λ的取值范围是λ≠1。设(1,1,1)^T=x1α1+x2α2+x3α3，即(1,1,1)^T=x1(1,0,1)^T+x2(0,1,1)^T+x3(1,1,λ)^T=(x1+x3,x2+x3,x1+x3+2x3)，解得x1=1，x2=1，x3=-1，因此(1,1,1)^T=α1+α2-α3。2.已知矩阵A=(a_{ij})为三阶矩阵，且|A|=2，若将A的第一行乘以2后加到第二行得到矩阵B，求|B|。解：根据行列式的性质，将矩阵的一行乘以常数加到另一行，行列式值不变。因此|B|=|A|=2。3.设A为n阶正定矩阵，证明A的行列式必为正数。证明：正定矩阵的特征值均为正数，而行列式等于特征值的乘积，因此行列式必为正数。4.已知向量组α1=(1,1,1)^T，α2=(1,2,3)^T，α3=(1,3,λ)^T线性相关，求λ的取值。解：向量组线性相关的充要条件是其行列式为0。构造矩阵A=(α1,α2,α3)=((1,1,1),(1,2,3),(1,3,λ))，计算其行列式：|A|=|(1,1,1),(1,2,3),(1,3,λ)|=1×(2×λ-3×3)-1×(1×λ-3×1)+1×(1×3-2×1)=λ-6当λ=6时，|A|=0，向量组线性相关。5.设V为n维向量空间，W为V的子空间，维数分别为n和k，证明W的维数必小于等于V的维数。证明：根据子空间的定义，任何子空间的维数都小于等于原空间的维数。因此W的维数必小于等于V的维数。6.设A为n阶矩阵，且A^T=A，证明A的特征值必为实数。证明：设λ是A的特征值，则存在非零向量x使得Ax=λx，两边转置得x^TA^T=(λx)^T，即x^TA=λx^T，由于A^T=A，有x^TA=λx^T，即(λI-x^TA)x^T=0，由于x非零，必有λI-x^TA=0，即x^TA=λI，两边乘以x得x^T(Ax)=λx^Tx，即x^T(λx)=λ||x||^2，由于Ax=λx，有x^T(λx)=λ||x||^2，即λ||x||^2=λ||x||^2，因此λ为实数，因此A的特征值均为实数。7.已知矩阵A=(a_{ij})为三阶矩阵，且|A|=2，若将A的第一行乘以2后加到第二行得到矩阵B，求|B|。解：根据行列式的性质，将矩阵的一行乘以常数加到另一行，行列式值不变。因此|B|=|A|=2。8.设A为n阶正定矩阵，证明A的行列式必为正数。证明：正定矩阵的特征值均为正数，而行列式等于特征值的乘积，因此行列式必为正数。【标准答案及解析】一、单项选择题1.C2.A3.C4.B5.D6.C7.A8.A9.D10.B解析：11.幂零矩阵的特征值必为0，因此选项C正确。12.向量组线性无关的充要条件是其行列式不为0，计算行列式得λ=1，因此选项A正确。13.实对称矩阵的特征值均为实数，因此选项A正确。14.行列式性质：将矩阵的一行乘以常数加到另一行，行列式值不变，因此|B|=|A|=2。15.正定矩阵的合同矩阵仍为正定矩阵，因此选项D正确。16.子空间的维数小于等于原空间的维数，因此选项C正确。17.行列式性质：将矩阵的一行乘以常数加到另一行，行列式值不变，因此|B|=|A|=3。18.实对称矩阵的特征值均为实数，因此选项A正确。19.向量组线性相关的充要条件是其行列式为0，计算行列式得λ=6，因此选项D正确。20.正定矩阵的合同矩阵仍为正定矩阵，因此选项B正确。二、填空题1.82.α1+α2-α33.0，0，34.25.任意实数6.λ=67.小于等于8.39.均为正数10.|A|^5解析：11.伴随矩阵的性质：|A|=|A|^(n-1)，当n=3时，|A|=|A|^2=2^2=4，又因为A=(|A|A^(-1))，所以|A|=|A|^3=2^3=8。12.设(1,1,1)^T=x1α1+x2α2+x3α3，即(1,1,1)^T=x1(1,0,1)^T+x2(0,1,1)^T+x3(1,1,λ)^T=(x1+x3,x2+x3,x1+x3+2x3)，解得x1=1，x2=1，x3=-1，因此(1,1,1)^T=α1+α2-α3。13.A的每行元素之和均为3，相当于矩阵A乘以向量(1,1,1)^T等于3(1,1,1)^T，即Ax=3x，因此3是A的特征值，由于A为三阶矩阵，其特征值之和为3，因此其他两个特征值为0。14.行列式性质：将矩阵的一行乘以常数加到另一行，行列式值不变，因此|B|=|A|=2。15.实对称矩阵的特征值均为实数，因此A的特征值可能是任意实数。16.向量组线性相关的充要条件是其行列式为0。构造矩阵A=(α1,α2,α3)=((1,1,1),(1,2,3),(1,3,λ))，计算其行列式：|A|=|(1,1,1),(1,2,3),(1,3,λ)|=1×(2×λ-3×3)-1×(1×λ-3×1)+1×(1×3-2×1)=λ-6当λ=6时，|A|=0，向量组线性相关。17.根据子空间的定义，任何子空间的维数都小于等于原空间的维数。18.行列式性质：将矩阵的一行乘以常数加到另一行，行列式值不变，因此|B|=|A|=3。19.正定矩阵的合同矩阵仍为正定矩阵，因此B^TAB的特征值均为正数。20.伴随矩阵的性质：|A|=|A|^(n-1)，当n=3时，|A|=|A|^2=|A|^5。三、判断题1.正确2.正确3.错误4.正确5.错误6.正确7.错误8.正确9.正确10.正确解析：11.设k1(α1+α2)+k2(α2+α3)+k3(α3+α1)=0，整理得(k1+k3)α1+(k1+k2)α2+(k2+k3)α3=0，由于α1，α2，α3线性无关，必有k1+k3=0，k1+k2=0，k2+k3=0，解得k1=k2=k3=0，因此α1+α2，α2+α3，α3+α1线性无关。12.若λ是A的特征值，则存在非零向量x使得Ax=λx，若λ=0，则Ax=0，由于A可逆，必有x=0，与x非零矛盾，因此A的特征值必不为0。13.向量组线性相关，只要求存在不全为0的系数使得线性组合为0，不一定要求任意两个向量线性相关。例如α1=(1,0,0)^T，α2=(0,1,0)^T，α3=(1,1,0)^T线性相关，但α1，α2线性无关。14.矩阵相似意味着存在可逆矩阵P使得A=PBP^(-1)，则det(A-λE)=det(PBP^(-1)-λE)=det(P(B-λE)P^(-1))=det(B-λE)，因此A和B的特征值相同。15.正定矩阵的伴随矩阵不是正定矩阵。例如A=(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)正定，但A=(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)也是正定，但一般情况不成立。16.向量组线性无关的充要条件是其秩等于向量个数，因此α1，α2，α3的秩为3。17.矩阵A的秩为n-1，则A的特征值中必有1个为0，但不一定有n-1个为0。例如A=(1,0,0),(0,1,0),(0,0,0)的秩为2，特征值为1，1，0。18.矩阵可逆的充要条件是其行列式不为0，而det(A^T)=det(A)，因此A^T也可逆。19.向量组线性相关，说明存在不全为0的系数使得线性组合为0，因此向量组中存在线性相关的子集，其秩小于向量个数，因此秩小于3。20.正定矩阵的特征值均为正数，而行列式等于特征值的乘积，因此行列式必为正数。四、简答题1.证明：设λ是A的特征值，则存在非零向量x使得Ax=λx，代入方程A^2=A得：A^2x=Axλ^2x=λx(λ^2-λ)x=0由于x非零，必有λ^2-λ=0，解得λ=0或λ=1，因此A的特征值必为0或1。2.解：向量组线性无关的充要条件是其行列式不为0。构造矩阵A=(α1,α2,α3)=((1,0,1),(0,1,1),(1,1,λ))，计算其行列式：|A|=|(1,0,1),(0,1,1),(1,1,λ)|=1×(1×λ-1×1)-0×(0×λ-1×1)+1×(0×1-1×1)=λ-1当λ≠1时，|A|≠0，向量组线性无关。因此λ的取值范围是λ≠1。3.证明：设λ是A的特征值，则存在非零向量x使得Ax=λx，两边转置得x^TA^T=(λx)^T，即x^TA=λx^T，由于A^T=A，有x^TA=λx^T，即(λI-x^TA)x^T=0，由于x非零，必有λI-x^TA=0，即x^TA=λI，两边乘以x得x^T(Ax)=λx^Tx，即x^T(λx)=λ||x||^2，由于Ax=λx，有x^T(λx)=λ||x||^2，即λ||x||^2=λ||x||^2，因此λ为实数，因此A的特征值均为实数。4.解：根据行列式的性质，将矩阵的一行乘以常数加到另一行，行列式值不变。因此|B|=|A|=2。5.证明：正定矩阵的特征值均为正数，而行列式等于特征值的乘积，因此行列式必为正数。6.解：向量组线性相关的充要条件是其行列式为0。构造矩阵A=(α1,α2,α3)=((1,1,1),(1,2,3),(1,3,λ))，计算其行列式：|A|=|(1,1,1),(1,2,3),(1,3,λ)|=1×(2×λ-3×3)-1×(1×λ-3×1)+1×(1×3-2×1)=λ-6当λ=6时，|A|=0，向量组线性相关。7.证明：根据子空间的定义，任何子空间的维数都小于等于原空间的维数。因此W的维数必小于等于V