第八章 第2节　两条直线的位置关系

第2节两条直线的位置关系[课程标准要求]1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.3.探索并掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离.夯实·必备知识知识梳理1.两条直线的位置关系A1B2-A2B1≠0-1A1A2+B1B2=0b1≠b2b1=b2释疑·(1)两条不重合直线平行的判定的一般结论是:l1∥l2⇔k1=k2或l1,l2斜率都不存在.(2)判定两条直线垂直的一般结论是:l1⊥l2⇔k1·k2=-1或一条直线的斜率不存在,同时另一条直线的斜率等于零.2.两条直线的交点坐标释疑·(1)l1与l2相交⇔方程组有唯一解,交点坐标就是方程组的解.(2)l1与l2平行⇔方程组无解.(3)l1与l2重合⇔方程组有无数个解.3.三种距离三种距离条件公式两点间的距离A(x1,y1),B(x2,y2)|AB|=点到直线的距离P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0(A2+B2≠0)的距离为dd=两条平行直线间的距离直线Ax+By+C1=0与直线Ax+By+C2=0(A2+B2≠0)间的距离为dd=释疑·(1)已知两点A(x1,y1),B(x2,y2),当x1=x2时,|AB|=|y1-y2|;当y1=y2时,|AB|=|x1-x2|.(2)点P(x0,y0)到直线x=a的距离是d=|x0-a|,点P(x0,y0)到直线y=b的距离是d=|y0-b|.重要结论1.直线系方程(1)与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程是Ax+By+m=0(m∈R且m≠C).(2)与直线Ax+By+C=0垂直的直线系方程是Bx-Ay+n=0(n∈R).(3)过直线l1:A1x+B1y+C1=0与l2:A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ∈R),但不包括l2.重要结论2.五种常用对称关系(1)点(x,y)关于坐标原点(0,0)的对称点为(-x,-y).(2)点(x,y)关于x轴的对称点为(x,-y),关于y轴的对称点为(-x,y).(3)点(x,y)关于直线y=x的对称点为(y,x),关于直线y=-x的对称点为(-y,-x).(4)点(x,y)关于直线x=a的对称点为(2a-x,y),关于直线y=b的对称点为(x,2b-y).(5)点(x,y)关于点(a,b)的对称点为(2a-x,2b-y).基础自测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).(1)若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合,则这两条直线平行.(

)(2)点P(x0,y0)到直线y=b(b≠0)的距离d=y0-b.(

)(3)直线外一点与直线上一点的距离的最小值是点到直线的距离.(

)(4)若两直线的方程组成的方程组有解,则两直线相交.(

)√×√×2.(人教A版选择性必修第一册P57例5改编)以A(5,-1),B(1,1),C(2,3)为顶点的三角形是(

)A.锐角三角形B.钝角三角形C.以A为直角顶点的直角三角形D.以B为直角顶点的直角三角形D3.(人教A版选择性必修第一册P57练习T2改编)若直线3x-2y-1=0与直线3x-ay+6=0平行,则a=(

)D【解析】

由题意得3×(-a)=3×(-2),则a=2,经检验两条直线不重合.故选D.4.(人教A版选择性必修第一册P77练习T3改编)已知点(a,2)(a>0)到直线l:x-y+3=0的距离为1,则a等于(

)C5.(人教A版选择性必修第一册P79习题2.3

T9改编)若三条直线y=2x,x+y=3,mx+2y+5=0相交于同一点,则m的值为

.

-9提升·关键能力两条直线的平行与垂直考点1角度1两条直线平行与垂直的判断及应用[例1](1)(2026·陕西咸阳模拟)已知直线l1:ax+3y-6=0,直线l2:2x+(a-1)y-4=0,则“l1∥l2”是“a=-2”的(

)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件C(2)(2026·北京东城模拟)已知直线l1:2x+3y+1=0,l2:ax+2y-2=0,若l1⊥l2,则实数a的值为(

)C【解析】

(2)因为l1⊥l2,所以2a+3×2=0,解得a=-3.故选C.解题策略·判断两直线位置关系的注意点(1)当含参数的直线方程为一般式时,若要表示出直线的斜率,不仅要考虑到斜率存在的一般情况,也要考虑到斜率不存在的特殊情况,同时还要注意x,y的系数不能同时为零这一隐含条件.(2)在判断两直线的平行、垂直时,可直接利用直线方程系数间的关系得出结论.[针对训练](多选)已知直线l1:ax+2y+3a=0和直线l2:3x+(a-1)y+7-a=0,则下列说法正确的是(

)A.当a=-2时,l1与l2重合B.直线l1过定点(-3,0),直线l2过定点(-1,1)C.当l1∥l2时,a=3ACD角度2由两直线位置关系求直线方程[例2](2026·江苏宿迁模拟)已知直线l过直线x-2y=0与直线x+y+3=0的交点,且与直线3x+y-1=0平行,则直线l的方程为(

)A.3x+y+7=0 B.3x+y-7=0C.3x+y+3=0 D.3x+y-3=0A【解析】

法一(直接法)因为直线3x+y-1=0的斜率为-3,且直线l与直线3x+y-1=0平行,所以直线l的斜率为-3,又直线x-2y=0与直线x+y+3=0的交点为(-2,-1),所以直线l的点斜式方程为y+1=-3(x+2),即3x+y+7=0.故选A.法二(待定系数之斜截式)因为直线3x+y-1=0的斜率为-3,直线l与直线3x+y-1=0平行,所以可设其方程为y=-3x+b,易知直线x-2y=0与直线x+y+3=0的交点为(-2,-1),所以-1=-3×(-2)+b,解得b=-7,所以直线l的方程为y=-3x-7,即3x+y+7=0.故选A.法三(待定系数之一般式)易知直线x-2y=0与直线x+y+3=0的交点为(-2,-1),又因为l与直线3x+y-1=0平行,所以设直线l的方程为3x+y+C=0,代入(-2,-1)得3×(-2)+(-1)+C=0,所以C=7,所以直线l的方程为3x+y+7=0.故选A.解题策略·(1)与已知直线平行或垂直的直线,其斜率与已知直线相等或互为负倒数,求出斜率后再结合其他条件写出方程,或者用待定系数法设出方程,再由已知条件求出参数.[针对训练](2026·广西桂林模拟)已知直线l的一个方向向量为a=(2,1),则过点A(1,-1)且与l垂直的直线方程为(

)A.x-2y-3=0 B.x-2y+1=0C.2x+y-3=0 D.2x+y-1=0D距离问题考点2B(2)已知四边形ABCD的顶点A,B,C,D的坐标分别为(1,-1),(3,1),(0,4),(-2,2),则四边形ABCD的面积为(

)C解题策略·两种距离的求解思路(1)点到直线的距离:可直接利用点到直线的距离公式求解,但要注意此时直线方程必须为一般式.(2)两平行直线间的距离:①利用“转化法”将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离;②直接利用两平行线间的距离公式(需先把两平行直线方程中x,y的系数化为相同的形式).[针对训练]1.(2026·云南玉溪模拟)已知直线l:Ax+By-2=0过点(1,1),则原点到直线l距离的最大值为(

)A2.(2026·安徽亳州模拟)若直线4x+3y-5=0与直线8x+6y+a=0(a<0)之间的距离为2,则实数a等于(

)B对称问题考点3角度1中心对称[例4]直线l1:2x-y+3=0关于点(1,2)对称的直线方程为

.

2x-y-3=0法二(平行线法)因为点(1,2)不在直线l1:2x-y+3=0上,所以直线l1:2x-y+3=0关于点(1,2)对称的直线必定与l1平行,设其方程为2x-y+D=0(D≠3),又直线l1上一点(0,3)关于点(1,2)的对称点为(2,1),代入2x-y+D=0得2×2-1+D=0,所以D=-3,所以所求直线方程为2x-y-3=0.中心对称问题的类型及解题策略解题策略·(2)直线关于点对称:①在已知直线上任取两点,利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的点的坐标,再用直线的两点式方程求解;②求出一个对称点,再利用两对称直线平行,用直线的点斜式方程求解.解题策略·[针对训练](2026·山东泰安模拟)已知直线l1:y=kx-2k+1与直线l2关于点(1,0)对称,则l2恒过的定点为(

)A.(2,1) B.(2,-1)C.(0,-1) D.(-1,-1)C角度2轴对称[例5](1)(2026·江苏苏州模拟)直线x-y-2=0关于直线l:3x-y+3=0对称的直线方程为(

)A.7x-y-22=0 B.7x+y+22=0C.6x-y+22=0 D.6x+y+22=0B(2)(2026·广东深圳模拟)已知直线l1:x-2y+1=0与直线l2:x-2y+2=0关于直线l:2x-4y+C=0对称,则C的值为(

)A.1