第六章 第4节　数列求和(一)

第4节数列求和(一)[课程标准要求]1.熟练掌握等差数列、等比数列的前n项和公式.2.掌握分组求和、倒序相加法求和、并项求和几种常见的求和方法.夯实·必备知识知识梳理1.公式法求和直接利用等差、等比数列的前n项和公式求和.2.分组求和若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成,则求和时可用分组求和法,适当拆分,分为几个等差或等比或可求和的数列后,先分别求和,然后再合并.3.倒序相加法求和如果一个数列{an}中,与首末两端等“距离”的两项和相等,那么求这个数列的前n项和可用倒序相加法求解,即等差数列求和公式推导过程的推广.4.并项求和在一个数列的前n项和中,可两两结合求解,则称之为并项求和.基础自测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).√√√C3.(2026·广西南宁模拟)已知一个有限项的等差数列{an},前4项的和是40,后4项的和是80,所有项的和是210,则此数列的项数为(

)A.12

B.14

C.16

D.18B4.(人教A版选择性必修第二册P51练习T1改编)若数列{an}的通项公式为an=(-1)n(2n-1),则该数列的前100项和为

.

100【解析】

S100=(-1+3)+(-5+7)+…+(-197+199)=2×50=100.提升·关键能力分组求和考点1[例1]

(2026·河南郑州模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a3+a7=6,S12=45.(1)求数列{an}的通项公式;解题策略·分组求和常见题型(1)若数列{cn}的通项公式为cn=an±bn,且{an},{bn}为等差或等比数列,可采用分组求和法求数列{cn}的前n项和.(1)求数列{an}的通项公式.(2)设bn=an+1,求数列{bn}的前n项和Sn.并项求和考点2[例2]

(2026·山东日照模拟)记首项为1的数列{an}的前n项和为Sn,且2Sn=(n+1)an.(1)求数列{an}的通项公式;并项求和的常见类型(1)数列{an}的通项公式为an=(-1)nf(n),求数列{an}的前n项和.(2)数列{an}是周期数列或ak+ak+1(k∈N*)为定值,求数列{an}的前n项和.解题策略·[针对训练]

设数列{an}的首项a1=1,an+1=3·2n-an.(1)证明:数列{an-2n}是等比数列.(1)【证明】

对任意的n∈N*,an+1=-an+3·2n,则an+1-2n+1=-(an-2n),且a1-2=-1,故数列{an-2n}为等比数列,且该数列的首项为-1,公比也为-1,故an-2n=(-1)n.(2)设bn=(an-2n)(3n-4),且{bn}的前n项和为Tn,求T2n.(2)【解】

bn=(an-2n)(3n-4)=(-1)n(3n-4),所以b2n-1+b2n=-[3(2n-1)-4]+(3×2n-4)=3(n∈N*),因此T2n=(b1+b2)+(b3+b4)+…+(b2n-1+b2n)=3n.倒序相加法求和考点3(1)求数列{an}的通项公式;(2)求g(x)+g(1-x)的值;解题策略·倒序相加法求数列和的技巧倒序相加法是一种有效的求解等差数列或具有某种对称性的数列求和的方法.它的基本原理是将数列正着写和反着写的两个序列相加,从而得到一些易于计算的项,进而求得原数列的和.以下是使用倒序相加法求解数列和的一些技巧:(1)写出数列的正向表达式:设数列的前n项和Sn=a1+a2+…+an.解题策略·(2)写出数列的倒向表达式:将数列的前n项和反向写出,即Sn=an+an-1+…+a2+a1.(3)将正向和倒向的数列相加