第六章 第5节　数列求和(二)

第5节数列求和(二)[课程标准要求]掌握错位相减法、裂项相消法两种常见的求和方法.夯实·必备知识知识梳理1.错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,那么这个数列的前n项和即可用此法来求,如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的.2.裂项相消法把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求得其和.基础自测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).√(2)数列{n·2n}可利用错位相减法求和.(

)√√DB4.数列{(n+3)·2n-1}的前20项和为

.

22×220-2提升·关键能力裂项相消法求和考点1角度1分式型[例1]

(2026·湖北黄冈模拟)已知数列{an}是等差数列,a2=4,a4=10.(1)求{an}的通项公式;【解】

(1)由a2=4,a4=10可得a4-a2=6,故公差d=3,所以an=a2+(n-2)d=4+3(n-2)=3n-2.解题策略·利用裂项相消法求和的注意事项(1)抵消后不一定只剩下第一项和最后一项,也有可能是前面剩两项,后面也剩两项,也有可能是间隔开的项剩下,一般来说是对称的.(2)将通项裂项后,一定要注意调整前面的系数,避免失误.解题策略·(3)常见的分式型裂项相消的公式.(1)求{an}的通项公式;(2)求数列{anan+1}的前n项和Sn.角度2无理型[例2]

(2026·山西阳泉模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn,点(n,Sn)(n∈N*)在函数y=2x2-x的图象上.(1)求数列{an}的通项公式;【解】

(1)因为点(n,Sn)(n∈N*)在二次函数y=2x2-x的图象上,可得Sn=2n2-n,当n=1时,a1=S1=1;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n2-n-[2(n-1)2-(n-1)]=4n-3;且a1=1也符合an=4n-3,所以an=4n-3.无理型常见的裂项技巧解题策略·[针对训练]

(2026·江西南昌模拟)已知等差数列{an}满足a1=2,且a1,a2,a4成等比数列.(1)求数列{an}的通项公式;【解】

(1)设等差数列{an}的公差为d,依题意,2,2+d,2+3d成等比数列,所以(2+d)2=2(2+3d),解得d=0或d=2.当d=0时,an=2;当d=2时,an=2+(n-1)×2=2n,所以数列{an}的通项公式为an=2或an=2n.角度3指数型[例3]

(2026·黑龙江哈尔滨模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn,且2Sn+3-3an=0,n∈N*.(1)求{an}的通项公式;【解】

(1)由2Sn+3-3an=0,可得当n=1时,2S1+3-3a1=0,解得a1=3,当n≥2时,2Sn-1+3-3an-1=0,则2Sn-2Sn-1=2an=3an-3-3an-1+3,即an=3an-1,数列{an}是首项为3,公比为3的等比数列,所以an=3n.指数型常见裂项技巧解题策略·[针对训练]

已知数列{an}满足a1=2,an+1=2an-1.(1)求{an}的通项公式;【解】

(1)由an+1=2an-1,变形可得an+1-1=2(an-1).因为a1-1=2-1=1,所以数列{an-1}是以1为首项,2为公比的等比数列,故an-1=1×2n-1=2n-1,即an=2n-1+1.错位相减法求和考点2[例4]

(2024·全国甲卷)记Sn为数列{an}的前n项和,且4Sn=3an+4.(1)求{an}的通项公式;(2)设bn=(-1)n-1nan,求数列{bn}的前n项和Tn.错位相减法求数列{an}的前n项和的注意事项(1)适用条件:若{an}是公差为d(d≠0)的等差数列,{bn}是公比为q(q≠1)的等比数列,求数列{an·bn}的前n项和Sn.(2)注意事项:①在写出Sn与qSn的表达式时,应特别注意将两式“错位对齐”,以便下一步准确写出Sn-qSn;②作差后,应注意减式中所剩各项的符号.解题策略·[针对训练]

(2026·广东惠州模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=n2(n∈N*),数列{bn}是公比为3的等比数列,且b1=a1.(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;【解】

(1)当n=1时,a1=S1=1,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=n2