第六章 第6节　数列中的综合问题

第6节数列中的综合问题[课程标准要求]1.了解数列是一种特殊函数,能在具体的问题情境中,发现数列的等差、等比关系,并解决相应的问题.2.掌握数列与函数、不等式相结合的综合问题求解方法,提升逻辑推理的核心素养.提升·关键能力等差、等比数列的综合问题考点1[例1]

(2026·河北邯郸模拟)已知{an}是等差数列,{bn}是等比数列,且a1=1,a2=b1,2a5=b3+2,a4=b2.(1)求{an},{bn}的通项公式;解题策略·等差、等比数列综合问题的解题策略(1)确定解题顺序:求和需要先求出通项公式,求通项公式需要先求出首项和公差(公比).(2)注意解题细节:在数列的通项公式问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示.[针对训练]

(2026·重庆沙坪坝模拟)设{an}是等差数列,前n项和为Sn,{bn}是各项均为正的等比数列,其前n项和为Tn.已知b1=1,b2=b3-2,b4=a3+a5,b5=a4+2a6.(1)求an和Tn;(2)若Sn+2Tn=2an+4bn,求正整数n的值.数列与不等式的综合问题考点2角度1放缩问题[例2]

(2026·浙江杭州模拟)设公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn,等比数列{bn}的前n项和为Tn,若a2是a1与a4的等比中项,a6=12,a1b1=a2b2=1.

(1)求an,Sn与Tn.放缩法的解题策略以及注意事项(1)对于“和式”数列不等式,若能够直接求和,则考虑先求和再放缩;若不能求和,则可考虑先放缩后求和.放缩的最主要目的是通过放缩,把原数列变为可求和的数列.(2)明确放缩的方向:若要证明小于某值,则放大;若要证明大于某值,则缩小.(3)放缩的项数:不一定对所有项进行放缩,可从第一项开始,或从第二项、第三项等开始.解题策略·[针对训练]

(2026·四川成都模拟)已知递增数列{an}和{bn}分别为等差数列和等比数列,且a1=3b1,a4=2b2,a7=b3,a1+b2=6.(1)求数列{an}和{bn}的通项公式.角度2恒(能)成立问题[例3]

(2026·陕西安康模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a6=11,S10=100,{bn}是等比数列,且b3=a5,b4=a14.(1)求{an},{bn}的通项公式;数列是特殊的函数,有关数列不等式的恒(能)成立问题,须注意数列中自变量的取值范围不是连续的实数,而是正整数集.解题策略·[针对训练]

(2026·江苏南京模拟)已知数列{an}的前n项和Sn满足2Sn+an=3.(1)求{an}的通项公式;数列中的子数列问题考点3[例4]

(2026·湖北武汉模拟)已知等差数列{an}中,a2=8,前10项和S10=185.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若从数列{an}中依次取出第2,4,8,…,2n,…项,按原来的顺序排列成一个新的数列{bn},若cn=(an-2)bn,求数列{cn}的前n项和Tn.(1)子数列是数列中的一种常见题型.将原数列问题转化为子数列问题,一般适用于某个数列由几个有规律的数列组合而成,如数列含奇数项与偶数项问题、数列的公共项问题、数列的增减项问题等;具体求解时,要搞清楚子数列的项在原数列中的位置,以及在子数列中的位置,即项不变化,项数变化.(2)两个等差数列的公共项是等差数列,且公差是两个等差数列公差的最小公倍数,两个等比数列的公共项是等比数列,公比是两个等比数列公比的最小公倍数.解题策略·(3)对于数列的中间插项或减项构成新数列问题,我们要把握两点:先判断数列之间共插入(减少)了多少项(运用等差、等比求和或者项数公式去看),再根据题目给出的条件确定它包含了哪些项.解题策略·[针对训练]

(2026·安徽芜湖模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=2,an+1=Sn+2(n∈N*).(1)求数列{an}的通项公式;【解】

(1)由an+1=Sn+2(n∈N*),得an=Sn-1+2(n≥2),则an+1-an=an(n≥2),即an+1=2an(n≥2),又a2=S1+2=a1+2=4,满足an+1=2an,所以an+1=2an(n∈N*),所以{an}是首项为2,公比为2的等比数列,故an=2n.(2)保持{an}的各项顺序不变,在ak和ak+1之间插入k个1,使它们与数列{an}的项组成一个新的数列{bn},记{bn}的前n项和为Tn,求T55.教考衔接13角谷猜想[教材母题]

[人教A版选择性必修第二册P56复习参考题4T10]任取一个正整数,若是奇数,就将该数乘3再加上1;若是偶数,就将该数除以2.反复进行上述两种运算,经过有限次步骤后,必进入循环圈1→4→2→1.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”(又称“角谷猜想”等).如取正整数m=6,根据上述运算法则得出6→3→10→5→16→8→4→2→1,共需经过8个步骤变成1(简称为8步“雹程”).现给出冰雹猜想的递推关系如下:(1)当m=17时,试确定使得an=1需要多少步雹程;【解】

(1)当m=17时,根据上述运算法则得出:17→52→26→13→40→20→10→5→16→8→4→2→1,故当m=17时,使得an=1需要12步雹程.(2)若a8=1,求m所有可能的取值集合M.【解】

(2)若a8=1,根据上述运算法则进行逆推,a7=2,a6=4,a5=8或a5=1;若a5=8,则a4=16,a3=32或a3=5;当a3=32时,a2=64,a1=128或a1=21;当a3=5时,a2=10,a1=20或a1=3;若a5=1,则a4=2,a3=4,a2=8或a2=1;当a2=8时,a1=16;当a2=1时,a1=2,故m所有可能的取值集合M={2,3,16,20,21,128}.[名师解读]1.角谷猜想:该猜想由数学家角谷静夫发现,又称为“3n+1猜想”.取一个数字:如n=11,根据上述公式,得出

11→34→17→52→26→13→40→20→10→5→16→8→4→2→1.(步骤中最大的数是52,共有14个步骤)若a6=1,求:(1)m,a2025,S2025的值;【解】

(1)因为a6=1,所以a1=32,a2=16,a3=8,a4=4,a5=2,a6=1或a1=5,a2=16,a3=8,a4=4,a5=2,a6=1或a1=4,a2=2,a3=1,a4=4,a5=2,a6=1,即m=32或5或4.因为a6=1,所以从a4=4开始,周期为3,又(2

025-3)÷3=674,所以a2025=1.当a1=32时,S2025=32+16+8+(4+2+1)×674=4

774;当a1=5时,S2025=5+16+8+(4+2+1