第9届全国大学生数学竞赛(非数学)决赛试卷答案

第九届全国大学生数学竞赛决赛试题参考答案及评分标准

(非数学类，2018年3月)

一、填空题(满分30分，每小题6分):

(anx-sm.v1

(1)极限噫而!…

(2)设一平面过原点和点(6,-3,2),且与平面4工-y+2z=8垂直，则此平面方

程为2v+2V-3z=().

(3)设函数/(工,)，)具有一阶连续偏导数，满足y)=+x(l+y)eYdy,

如(0,0)=0,贝I」/(x,y)=xve'.

(4)满足包9:〃⑺+「〃⑺出及〃(0)=I的可微函数"⑺二也二5.

小J。一3T一

(5)设a,b,c,d是互不相同的正实数，x,)\z,w是实数，满足4=bed,b'=eda,

-x111

1-y11

r=dab,dw=abc,则行列式।।=0

11-z1

111-h

二、(本题满分11分)设函数/5)在区间(0,1)内连续，且存在两两互异的

点X］,孙孙&e(o,i),使得

/区)-1(&)V/⑺-fg邛,

Xi-X1X3-

证明：对任意*£(a。)，存在互异的点心血£。1)，使得.=

【证】不妨设《<工2，“3<冗，考虑辅助函数

顼二/(。一)巧./)-八(1-)<.5).....4分

则尸⑺在闭区间［0,1］上连续，且尸(0)=a<4<6=尸(1).根据连续函数介值定理，

存在［0£(0,1),使得“仇)二儿..............3分

令内=（1-4）腐+tfyXy,%=（1-％氏+仙4，则七，用£（0,1），毛<见，且

Z=w=/M)..............4分

三、（本题满分n分）设函数八“）在区间［o,i］上连续且Jjaxkro,证明:

在区间［o,i］上存在三个不同的点；，‘I，使得

肃”）心—d/+X-,)arctan%

T\「：/Wdr+./r2)arctan”2

(1-'□

[1+上；九

【证】令如）二"3：工13'则/（0）=0.F（l）=1且函数/（"）在闭

771J⑺出

区间［o,l］上可导.根据介值定理，存在点（0,1），使尸（"J=;.

.............5分

再分别在区间［o,"J与1］上利用拉格朗口中值定理，存在E（0,”3），

使得尸(“3)-H0)=尸(：X”3-0)，即

■■

「"二「7r)d"+；Oarctan：7.....3分

XJ,TI十JT,Jo

且存在“2£（"3』），使尸⑴一网）二〃，?）。-、），即

:J}“）d“二［七""〃+-）arctan、（1一%）.

.............3分

四、（本题满分12分）求极限：

【解】注意到底如钊-而中缪_学,而........3分

2

电1+1)!(皿v痴^?+)1)丁^_=(-0(〃+1尸T士宫士

利用等价无穷小替换e-1~Mx-0),得

五、(本题满分12分)设尸«,修,…，4)「6R",定义"㈤二知*,

，■•一

〃22.

(1)证明：对任一非零xwR”,H(x)>0；

(2)求〃(x)满足条件七二1的最小值.

【证】(1)二次型“㈤二次吊-£3%的矩阵为

・I皿

因为4实对称，其任意出阶顺序主子式A,>0,所以A正定，故结论成立.

3分

(2)对A作分块如下A二伶其中。二(0,…，0,-=)］匕R-,取可逆矩

,则二ao

阵P二M।p[p.如O,，其中

0I/Il-a'4；],a1。q

3

3分

记r=P(小/)T,其中再二(孙在…，x".|)T£R”T,因为

H(X)=/At=(E，l)pT(pT)-('j}|pT

Pj")；|=44+a,

T

且凡一正定，所以〃(x)=乂4“_吊+a>a,当工=P(.r0J)=P(O,1)T时，H(x)=a.

因此，〃(x)满足条件=1的最小值为a.....3分

六、(本题满分12分)设函数/(x,y)在区域O={(x,y)p+/<"}上具有一

2

阶连续偏导数，且满足f^y)\w=a,

中a>0.证明：/(x,y)dxdy<、77々'.

【解】在格林公式

jP(x，M+Q(x,y)dy=4M

中，依次取P二才8)，)，。=0和取尸=0,Q=?(x,y),分别可得

Jb(x,y)dxdy=-,球(尤y)dx-Jjy^didv,

nc/>为

y)ctvdy=j.xf(x,y)dy-jjx

DD

两式相加，得

jjfUyXLvdy=夕-辿+xdy-j/x^-+y*))|岬=A+4

4分

24

对A再次利用格林公式，得(=三4-)也+,vdy=«jjclvcy=77a,2分

CD

时4的被枳函数利用柯西不等式，得

®导，沪”小必力副僚a

4

2

<—J|Jx1+ydxdy=-na4，4分

QD

因此，有

4

<rra4+-m/=-rrd.2分

D

ln.1

七、(本题满分12分)设0<4<1,〃=1,2….，且lim4二0(有限或+8).

L8Inn

(1)证明：当q〉1时级数£q收敛，当夕<1时级数£4发散;

(2)讨论夕二1时级数士凡的收敛性并阐述理由.

nl

证：⑴若g>1,则3/?eR,s.t.q>〃>1.根据极跟性质，Z\s.t.

In1

V〃>N,有——>p,即《<,而〃>i时SI收敛，所以E4”收敛.

Innnr