考研数学（数学二）模拟试卷467

考研数学(数学二)模拟试卷467

一、选择题(本题共8题，每题7.0分，共8分。)

〃、尸ln(1+sin2/),.、

1、设小)=Jo一；―-出，g⑺=Jo一%则当一。时f(x)是g(x)

的

A、高阶无穷小

B、低阶无穷小

C、同阶而非等价无穷小

D、等价无穷小

标准答案：B

0

知识点解析：这是考察如下的小型极限，由洛必达法则与等价无穷小因子替换得

其中用了下面的等价无穷小因子

2

替换：X—>0H'Jln(l+sin2x2)~sin2x2~x4,tan(1—cosx)?〜(1—cosx)：〜(2

x2)2.故应选B.

2、设f(x)是(y,+8)上的连续奇函数，且满足|f(x)|WM,其中常数M>0,则函数

F(x)=Hte—t2f⑴出是(―oo,+8)上的

A、有界奇函数

B、有界偶函数

C、无界偶函数

D、无界奇函数

标准答案：A

知识点解析：首先，由于被积函数te—t2f⑴是(一8,y)上的偶函数，故F(x)是(一

8,+8)上的奇函数.其次，对任何xK),有

IF(x)IW।/(OIdt这Mte-rdr

Jo

1T2M

--0'、夏利用F（x）的对称性，当x<0时上

面的不等式也成立.从而,函数F（x）还是（一oo,+oo）上的有界函数.故应选A.

.2+G4+1,4W0,

3、设f(x)=L+碗小,彳>0,在x=0处二阶导数存在，则常数a,b分别是

A、a=l,b=l

B、a=l,b=2

C^a=l,b=2

D、a=2,b=l

标准答案：B

2

,z、fx+ax+1,x0

f(x)=\

知识点解析：显然有f(x)=+儿in#"NO即f(x)在x=0处连续，先求

2f,x2,x2

出fJ(0)=(x+ax+1)|x=o=a>f+(0)=(e4-bsinx)|x=o=(e+2bxcosx)|x=o=1•要求?⑼

(⑴=[2-1,X<0

3=£+<0尸£，(0)即a=l.此时le*+26xcosx2,4N0.n

,,,Hx2fx222

f.(O)=(2x+l)|x=o=2,f+(0)=(e+2bxcosx)|x=o=(e+2bcosx—4bxsinx)lx=o

=l+2b.要求？(0户uf."(0尸f+〃(0)即2=l+2b,b=5.因此选B.分析2：我们

d\("),x<&

考虑分段函数f(X)=m与其中f[(x)和f2(x)均在X=xo邻域k阶可导，则

f(x)在分界点x=xo有k阶导数的充要条件是fi(x)和f2(x)在x=xo处有相同的k阶泰

勒公式：fi(x)=f2(x)=ao+ai(x-xo)+ai(x—xo)2+...+ak(x-xo)k+o((x-xo)k)(x->xo)把

2

这一结论用于本题：取xo=O.f|(x)=l+ax+x2f2(x)=ex+bsinx2=l+x+-

2

x2+o(x2)+b(x2+o(x2))=1+x+(b+-)x2+o(x2).因此f(x)在x=0处二阶可导=a=l,b+

22

2=1,即a=l,b=2.故应选B.

4、设f（xo）=O,fz（xo）<O,则必定存在一个正数6,使得

A、曲线y=f（x）在（x（）—8,x（）+6）上是凹的

B、曲线y=f（x）在（xo—5,xo+3上是凸的

C^曲线y=f（x）在（xo—Cxo］上单调减少，而在［xo，xo+3）上单调增加

D、曲线y=f（x）在（xo—3，x（）］上单调增加，而在［x（）,x（）+3）上单调减少

标准答案：D

/­'■)..广⑴〈0

rhm----------------------=Inn----------<U

知识点解析：尸(X())=i。攵7。…°\-与.由极限的不等式性质

­、，位<。=、，

58>0,当xW(xo—3,xo+3)且xrx()时，戈一力当xW(xo―8,xo)时，f(x)

>0；当x€(xo，xo+6)时，f(x)<0.又f(x)在x=xo处连续=f(x)在(xo—3,xo］上单

调增加，在［xo，xo+6)上单调减少.故应选D.

5、微分方程y〃一4y-2cos22x的特解可设为

A、Ax+B।cos4x+B2sin4x

A+Bicos4x+B2sin4x

C>B।cos22x+B2sin22x

D、Bjcos4x+B2Sin4x

标准答案：A

知识点解析：方程右端的非齐次项f(x)=2cos22x=l+cos4x,相应齐次方程的特征方

程是4入=0.特征根猫=0,利用解的叠加原理：相应于非齐次项

fi(x)=l,有形式为yj(x尸Ax(Q=0为单特征根)的特解，A为待定常数：相应于非

齐次项f2(x)=cos4x,有形式为y2*(x)=Bicos4x+B2sin4x的特解，B|,B2为待定常

数.因此，原方程的特解可设为Ax+B］cos4x+B2sin4x.故应选A.

6、设f(x),g(x)均有二阶连续导数且满足f(0)>0,f(0)=0,g(0)=0,则函数U(K,

y)=f(x)Jiyg(t)dt在点(0,0)处取极小值的一个充分条件是

A、r(0)>0,gXx)<0(0<x<l)

B、r(o)<o,gXx)>o(o<x<i)

c、r(o)>o,gr(x)>o(o<x<i)

D、r(0)<0,g,(x)<O(O<x<D

标准答案：B

知识点解析：利用极值点的充分判别法.由u=f(x)JP'g⑴dt得

g=尸(切)⑴市，g=/(K)g⑺.

半=1(0)广g(e)力=0.半=/(0)g(0)=0,

dx(O.O)JI力<0.0>

号=/"(#)「g(，)市，券=/，(x)g(y),空=/(x)g7y).

dx2J1dxdyd/若g'(x)>

O(OWxgl)=g(x)在［0,1］上/ng(x)>g(0)=0(0<xq)nJi°g⑴出VO,又当r(0)<0

3

4

-*=/*(0)[g(c)dt>0,B==/'(O)g(O)=o

(0,0)Jiaxay(O.O)

C也

-"=/(0)g*(0)>0

(0.0)

AC—B2>0.因此(0,0)是U(x,y)的极小值点.故选B.

,2aT

a2I

7、设A=L111要使得A正定，a成该满足的条件是

A、a>2

B、a>2

C、0<a<2

D、a<0

标准答案：C

知识点解析：用顺序主子式.A的3个顺序主子式为2,4—a2,2a-a2,它们都大

于。的条件是0VaV2.

8、n维向量组(I)：ai，a2，…，asW(n)：仇，电，…，氏等价的充分必要条件

是

A、r(I)=r(II),并且s=t

B、r(I)=r(n)=n

C.r(I)=r(n),并且(I)可以用(n)线性表示

D、(I)和(n)都线性无关,并且s=t

标准答案：c

知识点解析：(I)与(n)等价的充分必要条件是r(I)=r(n)=r(I,口).(A)缺少条

件r(I,n)=r(I).(B)是(I)与(II)等价的一个充分条件，但是等价并不要求句量

组的秩达到维数.(D)(1)和(II)都无关不能得到它们互相可以线性表示，例如

(I)：ai=(l,0,0,0),a2=(0,1,0,0),(II)：pi=(0,0,1,0),p2=(0,0,

0,1).(I)和(口)都无关，并且s=t=2,但是(I)和(D)不等价.(C)(1)可以用(II)

线性表示，则r(U)=r(I,D).

二、填空题(本题共6题，每题分，共6分。)

lim1

9、数列极限I="•-n-[arctan(n+l)—arctann]=

标准答案：1

0

知识点解析:属8.o型的数列极限，转化为加型的函数极限后再用洛必达法则，即

arctan(x41)-arctanz

1

1

1+(x+1+x

—2

x3

3

(2K+l)x

，1、21八八(分子、分母同除?)

2[1+(X4-1)2](1♦，)

2+二

X2+0

lim-

…2值”…2[0+(，+0)2](0+l)

有故原数列

极限的值为1.

10、设尸f(x)在(1,1)邻域有连续二阶导数，曲线尸f(x)在点P(l,1)处的曲率圆方

程为x?+y2=2,则r(l)=.

标准答案：一2

知识点解析：曲率圆x2+/=2在(1,1)邻域确定y=丫(x)(y(l)=l),y=f(x)与y=y(x)在

x=l有相同的一阶与二阶导数.现由x2+y2=22x+2yy,=0,即x+yy』0令x=l,

y=l->y,(l)=—1,又l+/+yy"=0令x=l,y=l,y，=—1->令y〃(l尸一2.因此

『(i)=y"(D=—2.

11设有摆线x=(p(t尸t—sint,y=\|/(t)=l―cost(0W627t)的第一拱L,则L绕x轴旋转

一周所得旋转面的面积S=.

642

标准答案：3

知识点解析：由旋转面面积公式得

S=2TT[放+山"(<)市

Jo

r21T/-------------------5-----------

=2IT(1-cost)v(1-cost)~+sinFdt

3

sindf

02

=16TTfsin3ld/=32irfsin3rd/=32仃•?-”宣

JoJo3-13

,/hnz-m)

12、已知当x>0与孙।x)y+x\nx,则函数f(x,y)在点(x,

y)=(1»1)处的全微分=

标准答案：f^+1(2-e)dy

+Inx

知识点解析：由于,令u=lnx,i)=

u

Z,则/(“,”)=-+Inv

：从而当x>0,y>0时代x,y)=

(T+1叮)•下求手|

、+)•(M)

先碎V

方法.

(I.Day(i.i)

1

/(xJ)

x+1'

n=l7TTc，-7777^cll...=4

dx

/(hr)------(e+Iny),

r+1

^I(M)ii,iii

-------7-------©z+Iny)x=­r-Tc=T(2

■y(y+1)JIyui2

+|dy=-^-edx+2-e)dy

因此“《2

13、设D是以点A(l,1),B(—1,1),C(—1,—1)为顶点的三角形区域，则

/二/：1+2x2+3y2sin(xy)♦4]d*d>

D=.

标准答案：8

y

B

°2

0x

知识点解析:D如图所示，连OB将D分成D=DIUD2,

+2/+3：sin(#y)对x,y均为奇函数_>

Di，D2分别关于x,y轴对称，

J/l+2x2+3/sin(xy)da

D

=°+242+3,2sin(xy)d<r+J+2x2+3yisin(xy)da

6A

=0+0=0

。的面积=y-2.2=2.

因此jj4dcr»4-2=8.

n

TTT

14、已知仁二(1,2,—l),a2=(l，—3,2),a3=(4,11,—6).矩阵A满足

TTT

Aai=(0,2),Aa2=(5,2),Aa3=(—3,7),则A=.

2-10

标准答案:135

知识点解析：用条件可建立一个关于A的矩阵方程:

5

A2-3113

2;1-

--12-6-

用初等变换法解此矩阵方程:

■12-102'12-102'

1-32520-5350

-411-6-37--03-2-3-1-

2-I02■0021-

0-1-1-20103

-0005-00105-

三、解答题（本题共15题，每题1.0分，共15分。）

15、(1)设收)，g(x)在点x=xo处可导且f(xo)=g(xo)=O,P(xo)g'(xo)VO,求证:

Jd,

x=xo是f(x)g(x)的极大值点.(II)求函数F(x户'<1+5广)Jl+d(x€(_oo,+oo))的

值域区间

标准答案：(I)由于“⑴"")'=f(xo)g(xo)+f(xo)g，(xo)=o,因此x=xo是

f(x)g(x)的驻点，进一步证明是它的极大值点.由条件r(xo)g<xo)<0=F(xo)<0,

g，(xo)>O(或f(xo)>O,g'(xo)VO),由

广(4。)=1加七二&1加回<。(>。)，

xx

«-«0-o一*。X-x0g'(xo)=

hni-------------------=hm-------->0(<0)

…。*7。，i及极限的保号性质=a>0,当

ZH〈o(>o),他*>o(<0)

XG(XQ-8,xo+3,xWxo时x~xox-xo=xW(xo，xo+8)

时f(x)V0(>0),g(x)>0(<0);xG(xo—8,xo)时f(x)>O(VO),g(x)<0(>0)

xG(xo—3,xo+3),x,xo时f(x)g(x)VO=f(xo)g(x())x=xo是f(x)g(x)的极大值点.(II)

由题设知F(x)是(一8,+8)上连续的偶函数，且由

>0,x>0

{=0.x=0

<0,X<O.F(x)在(一8,0］上在［0,+00)上

/.由于F(0)=0.又

1

.»W-C1U

limF(x)=f----------包____「co*

一“几(I4-5r)/TTFJ。(I+5=2")./］7a。

cos”(如_r7d$in〃

=—arctan(2siiiM)=—orctan2,

2o2因此,

函数F(x)的值域区间是［0,2arctan⑵.

知识点解析：暂无解析

16、(I)求积分f(t)Jo“,―oo<t<+oo).(11)求/1+©03

标准答案：(I)

1f'./2分部积分1-22xI,»f,X-2Z,

f(t)=kIn(公+，z)dN==k*ln(*+f)i--~z----rdx

2Jo2I15o2Jox-FI

1,.2\f1x2分解I,,,2、r1X2+r2-?,

=T,n(z,+<)5加"-)Jd”

...wc、[k"I+r2)-I+Zarctan—(t#0)

因此/(O={2t

l-l(t=0)

(H)

其中C是一个任意常数.

知识点解析：暂无解析

设f(x)=f-|Xt3|t|dt.

17、求函数f(x)的单调性区间与正、负值区间.

<0(t<0)

(J/3t|dz)=x3\x\.=0(x=0)

标准答案：f(x)=।°(%>0)f(x)在(―oo,0]上、，在

[0,+8)上/.为求f(x)的正负值区间，先求出使f(x)=O的x值.易知f(—1)=J_「

竹t|dt=O,f(l)=J_Jt3|t|dt=0.再由f(x)的单调性知，f(x)>f(—l)=0(x<—1),f(x)

>f(l)=O(x>l),f(x)<f(—1)=0(—l<x<0),f(x)<Rl)(O<x<l).因此f(x)>

0(xE(—o,—1)或x£(l,+oo)),f(x)<O(xG(—1,1)).

知识点解析：暂无解析

18、求曲线y二f(x)与x轴所围成的封闭图形的面积.

f(x)在(一1,1)上恒负值)二-I—f1'xf(x)dx|=2fo，x.x3|x|dx=2fo，x5dx=3

知识点解析：暂无解析

19、计算二重积分I="kin(x—y)|dxdy,其中D：0<x<2n,x<y<2n.

标准答案：对被积函数先不去掉绝对值符号，直接在区域D(0SXW2TI,xgyW2兀)上化

为累次积分I=J(产dxk27tlsin(x—y)|dy对内层积分作变量替换t=x—y,(y为积分变

量，x为常量)1=—h兀(芹一2兀|smt|dt)dx

分部枳分/I"，，,\*，2官产j.,-、I,

=====(-xjIsin/ItitJ°+Jx\»m(x-2*K)|dx

nJt^'xkinxIdxuJo'xsinxdx—J兀^“xsinxdx=兀+3兀=4兀.

知识点解析：暂无解析

20、设u=f(2x+3y,z),其中f具有二阶连续偏导数，而z=z(x,y)是由方程z+lnz—

r*“

'=1确定并满足“0,0)=1的函数，求或打<0-0).结果用以0,1),

fij”(O,I)表示(i,j=l,2).

标准答案：u与x,y的变量依赖关系如图，其中z与x,y的函数关系由以下方程

曲_/J2+•虫

确定：z+lnz—fyXe-I2dt=l.由u=f(2x+3y,Z),有12以将z+lnx—

:

(I.［包+e-»-A即亘--2‘

J/eT2出=1两边分别对x,y求偏导数有I：hy-'"办-1+z

力：-.5:,

一=--e1-=2/।-♦-------e/c?

将抵I一代入(*)式可得而1+2.该式再对y求偏导数并将

dz

区的表达式代入有

(ixdy

=6八+含二力「［2/2卷-九

x=0,y=0时有z(0,0)=1,代入即得

a2”=”1(0.1)+；/：2(0・1)・力；2(0・1)-占式0.1)□

dxdy(0.0)248—

知识点解析：暂无解析

设xOy平面第一象限中有曲线「：y=y(x),过点A(0,々一1),y<x)>0.又

M(x,y)为「上任意一点，满足：弧段俞的长度与点M处「的切线在x轴上的截

距之差为&—1.

21、导出y=y(x)满足的积分、微分方程.

标准答案：先求出「在点M(x,y)处的切线方程Y—y(x)=y〈x)(X—x),其中(X,

y(x)

Y)是切线上点的空标.在切线方程中令Y=0,得x轴上的截距X=x—兀1.又弧

段的长度为,按题意得

］：/FT7r67出-1_匀=4_1.①

卷是y(x)满足的积分、扁方程.

知识点解析：暂无解析

22、导出y(x)满足的微分方程和初始条件.

标准答案：①式两边对x求导，就可转化为二阶微分方程：

/T7V7=%,即r,271+y,2=yyH_广

y又由条件及在①式中令x=0得y(0)二唐一

1，y，(0)=l.因此得y(x)满足的二阶微分方程的初值问题

,2/1+7=犷,②

1(0);1,"0)=1.

问题①与②是等价的.

知识点解析：暂无解析

23、求曲线「的表达式.

标准答案：下面求解②.这是不显含X的二阶方程，作变换P=y，，并以Y为自变

="耨因为徐普上制

dy两边积分了

分离变量得当_

p/1+p2y

由y(O)=K—

将上面两式相减

业_J_=—IJ__\I1

==Iny2

d77T(7再积分得x=5-^-4-+c,③其中c=

］(戊'-1)2-亏In(G-l),则③就是所求曲线「的表达式.

知识点解析：暂无解析

24、设f(x)在［0,2］卜连续.在(0,2)内具有二阶导数,日f(0)=f(2)=0.f(l)=2.求

证：至少存在一点年(0,2)使得『化)-4.

标准答案：转化为证明某函数的二阶导数在(0,2声零点.设g〃(x)=—4.令

F(x)=f(x)—g(x)则2),使F(J)=—4=F〃(&)=0.注意g(x)=—2X?+CIX+C2，

于是F(O)=f(O)—g(0)=-C2，F(l)=f(l)—g(l)=4—ci—c2，F(2)=f(2)—g(2)=8—2ci

2

—C2.为使F(0)=F(l)=F(2),取ci=4,c2=0,F(x)=f(x)—g(x)=f(x)—(—2x+4x)j^

足F(0)=F(l)=F(2)=0.由于函数F(x)在［0,2］上连续，在(0,2)内二阶可导,因而可

在区间［0,1］与口,2］上分别对函数F(x)应用罗尔定理，从而知分别存在中£(0,1)

与①日1,2)使得F5I)=F(TV)=0,由题设知F(x)在区间［中，中］上也满足罗尔定理

的条件，再在区间［(，上对导函数P(X)应用罗尔定理，又知存在年(中，单)^

(0,2)使得F〃《)=r《)-g"(O=0,即F《尸g"(9=—4成立.

知识点解析：暂无解析

TTT

设四二(1,3,5,—1),012=(2,7,a,4),a3=(5?17,—1,7).

25、若ai，(12，a3线性相关，求a.

a3)<3.(ai，a2,aa)=

5-

2

-2a—6

。-得a=—3.

知识点解析：暂无解析

26当a=3时，求与eq,a2，013都正交的非零向量04.

标准答案：与山，a2,a3都正交的非零向量即为齐次方程组的非零解,

r勺♦3X2+5X3-x4=0

2.t1+7X2+3x,+4X4=0

5盯♦I7,t2-。+7.t4=0解此方程组：

I35-1-135-r-135-1-■100-19-

2734一・01-76—>01-76―►0106

-517-17--02-2612-00-120--0010-

解得(M=c(19,一6,O,