考研概率论习题

概率习题

例1设p(A)=0.4,p(A+B)=0.7,假设事件A,B互斥，那么p(B)=_____假设事件A,B独立，那么

P(B)=_____

例2设A,B是任意两个随机事件，那么P{(X+B)(A+8)(W+X)(4+X)}=

例3设A,B是任意两个概率不为0的不相容事件，那么以下结论中肯定正确的选项是()

(A)彳与与不相容(B),与耳相容

(B)(C)p(AB)=p(A)p(B)(D)p(A-B)=p(A)

例1设A.B为两个随机事件日ALA那么以下式子IF确的选项是()

(A)p(A+B)=p(A)(B)p(AB)=p(A)

(C)p(B\A)=p(B)(D)p(B-A)=p(B)-p(A)

例5

设随机事件A,B及其和事件4UB的概率分别为0.4,0.3和0.6若后表示8的对立事件。那么

积事件的概率Q(A8)=

例5p(A)=p(B)=p(C)=-,p(AB)=0,p(AC)=〃(8C)=’,那么事件A,B,C全不发生的概率为—

416

例7设两两相互独立的事件A,B,C满足条件ABC=①,p(A)=p(B]=p(C)<g,

o

且p(A+5+C)=—,求p(A)=?

16

例8设A,B是两个事件，且0<p(A)<l,p(B)>0,p(B|A)=p(B,),那么必有()

(A)p(A\B)=p(A\B)(B)p(A\B)^p(A\B)

(C)p(AB)=p(A)p(R)(D)

例9事件满足条件〃(A8)=p(不丹且p(A)=P,那么p(B)=

例10设事件A,B满足p(B\A)=1,那么()

(A)A是必然条件(B)p(B\A)=0

(C)A^B(D)

例11设0<P(A)(l,O〈p(B)<l,p(A忸)+p(,忸)=1,那么有()

(A)事件A与B互不相容(B)事件A与B相互对立

(C)事件A与B不独立(D)事件A与B相互独立

例12(Kp(B)G,且〃[(4+4同=〃(4间+式42间，那么以下结论成立的是

(A)ph+4)司=p(A同+p同月)

（B）B+A2B]-p（4B）+〃（&B）

⑹⑻+p（4忸）

（D）P（B）=P（A）P（MA）+P（A2）P（同A2）

例13设两个相互独立的事件A,B都不发生的概率为L,A发生B不发生的概率与B发生A不发生的

9

概率相等,那么p（A）=?

例14一批产品共有10个正品和2个次品，任意抽取两次，每次抽取一个，抽取后不再放回，那么第二

次抽取的是次品的概率P=?

例15袋中有50个乒乓球，其中20个黄球，30个白球，今有两个人依次随机的从袋中各取一球，取后

不放回，那么第二个人取得黄球的概率是？

例16设工厂A和工厂B的产品的次砧率分别是1%和2%，现在从由A和B的产品分别占60%和40%的

一批产品中随机抽取一件，发现是次品那么该次品属于A生产的概率是？

例17设三次独立试验中，事件A出现的概率相等，假设A至少出现一次的概率等于?，那么事件A

27

在一次试验中出现的概率为？

例18设一次试验中，事件A发生的概率为P,现进行n次独立试验，那么A至少发生一次的概率为

，而事件A至多发生一次的概率为.

例19随机事件A的概率p（A）=0.5.B的概率为p⑻=0.6,条件概率p（同A）=0.8,那么p（A+B）=

例20甲乙两人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6,0.5,现目标被击中，那么它是日

击中的概率是？

例21三个箱子，第一个箱子中有黑球4个，白球I个。第一个箱子中有黑球3个，白球3个。第三

个箱子中有黑球3个，白球5个。现随机地取一个箱子，再从这个箱子中取出一个球，这个球为

白球的概率为取出的球是白球，此球属于第二个箱子的概率为.

例22设2箱内装有同种零件，第一箱为50件，10件一等品，第二箱30件，18件一等品，先从2箱口

任挑一箱，再从此箱中前后不放回地任取2个零件，求：（1）先取出的零件是一等品的概率，（2）

在先取的是一等品条件下，后取的仍是一等品的条件概率q。

例23.设有来自三个地区的各10名，15名和25名考生的报名表，其中女生的报名表分别为3份，7份

和5份，随机地抽取一个地区的报名表，从中先抽2份。

求（1）先抽到的一份是女生表的概率p

（2）后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率q

例24.设将C,C,E,E,I,N,S等7个字母随意地排成一行，那么恰好排成英文单词SCIENCE的概率为?

例25从0,1,2,……..9,等十个数字中任意选出三个不同的数字，试求以下事件的概率：

4={三个数字中不含0和5},4={三个数字中不含。或5}。

例26随机地向半圆Ov），v，2姓一产（a为正整数）内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与区

域的面积成正比，那么原点和该点的连线与X轴的夹角小于乙的概率为多少？

4

例27实习生用同一台机器接连独立的制造了3个同种零件，第i个零件是不合格品的概而

Q=—!—（，=1,2,3）以X表示3个零件中合格品的个数，那么P{X=2}=?

O,x<-1

'随机变量X的分布函数：F(x)=p{XW那么X的分布律为

0.8,14x<3

l,x>3

例29随机变量X的概率密度函数'2'那么X的分布函数F(x)=?

(-8<A<+00)

例30设6。)与F2(X)分别为随机变量X,与X2的分布函数。设F(i)=aFSx)-bF2[x}是某一随机变

量的分布函数。在以下给定的各组数值中应取()

3,222

(A)a=­,b=—(B)a=-,b=-

5533

c1,3

(C)a=——=—(D)a=­、b=——

2222

例31设X和X2是任意两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度分别为工(x),/；(x),分布

函数分别为片(x)，K(x),那么()

(A)<(x)+力(x)必为某•随机变量的概率密度

(B)，(1)・力(1)必为某一随机变量的概率密度

(C)片(幻+"(编必为某一随机变量的分布函数

(D)GG).鸟(6必为某一随机变量的分布函数

2?

例32设随机变量X的概率密度为/*)=《§,xw[3,6],假设k使p{X2k}=j,那么k的取值范围

0,其它

是

例33随机变量X的密度函数为0(工)，且8(-%)=知工),尸(x)是X的分布函数。那么对于任意实数a,

有()

(A)F(-a)=\-^(p{x}dx(B)F(-^)=~_£(p[x)dx

(C)F(-a)=F(a)(D)F[-a)=2F[a}-\

/?{X=-1|=|,

例34假设随机变量X的绝对值不大于1,J在事件出现的条件下，X

〃{x=i}=!

4

在(T,1)内任一子区间取值的条件概率与该子区间长度成正比。

试求：(1)X的分布函数/(x)=〃{XWx}

(2)X取负值的概率p

例35假设随机变量J在(1,6)上服从均匀分布，那么方程/+欠+1=0有实根的概率为

例36.在区间(0,1)中随机地取两数，那么事件”两数之和小于与”的概率为______

2x,0<xvl1

例37设随机变量X的概率密度为廿…以Y表示X的三次重复观察中事件{X4—}H

0,其匕2

现的次数,那么P{Y=2}=

例38假设一厂家生产的每台仪器，以概率0.7可以直接出厂，以概率0.3须进一步调试。经调试后以

概率0.8可以出厂，以概率0.2定为不合格品不能出厂。现该厂新生产了〃(〃22)台仪器(假足

每台仪器的生产过程相互独立)。

求：(1)全部能出厂的概率a(2)其中恰好有2件不能出厂的概率/

(3)其中至少有2件不能出厂的概率。

例39设方程/+8[+。=0中B,C分别是连掷2次1枚骰子先后出现的点数。求此方程有实根的概

率和有重根的概率。

例40设随机变量X服从正态分布八,(〃,。2),(。>0)。且二次方程/+4y+X=0无实根的概率为:，

那么〃=—

41设随机变量X服从均值为10,均方差为0.02的正态分布。

IU2

①")=「-==du.(D(2.5)=0.9938。那么X落在区间(9.95,10.05)内的概率为—

UJ2乃

例42假设随机变量服从均值为2,方差为戊的正态分布，且〃{2<X<4}=0.3,

那么p{X<0}=_

例13某地抽样调查结果说明，考生的外语成绩(百分制)近似服从正态分布，平均成绩72分，96分

以上的占考生总数的2.3%.试求考生的外语成绩在60分到84分之间的概率.

附表

X

例11一汽车沿一街道行驶，需要通过三个均设有红、绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其它信

号灯为红或绿相互独立。且红绿两种信号显示的时间相等。以X表示该汽车苜次遇到红灯前已通过

的路口的个数。求X的概率分布。

例45设随机变量服从(0,2)上的均匀分布，那么随机变量y=X?在(0,4)内概率密度力,0)？

例46设随机变量x的概率密度为J0<0求y=/的概率密度人”)。

例47设随机变量X的概率密度函数为fx(x)=—二，求随机变量y=l-病的fY(y).

万(1+r)

34

设x和Y为两个随机变量。且P{x>o,y>o)=-,p(x>o}=P{y>o)=-，那么

77

P{max(X,Y)>0}=

例19设相互独立的两个随机变量X、Y,具有同一分布律，且X的分布律为：

X01

]_

P

22

那么Z=max{X,Y}的分布律为

例50设,〃相互独立且服从同一分布的两个随机变量，&的分布律为=/)=1,/=1,2,3,又设

3

X=max{,〃}；y=min{4，7},写出二维随机变量(X,Y)的分布律。

例51设两个随机变量X与Y相互独立且同分布尸{X=-1}=P{Y=—1}=；,

p{x=i}=p{y=i}=’.那么

(A)P{x=Y}=-(B)P{X=y}=l

(Op(x+r=o}=l⑼p{xy=i}=l

例52设随机变量x在区间(0,1)上服从均匀分布，在x=耳0<]<1诉j条件卜，随机变量

y在区间(o,x)上服从均匀分布，求

Q)x和K勺联合概率密度；

(n)y的概率密度；

(in)概率p{x+y>1}。

例53随机变量X和Y的联合概率密度为0(x,y)=4'一二二二求X和Y的联合分布

0其二

函数F(x,y)

例54设随机变量X与Y相互独立，下表列出了二维随机变量(X,Y)联合分布律，及关于X和Y的边

缘分布律的局部数值，试将其余的数值填入表中空白处

P{Xf}三月

>2

X\Y

(1)(2)

I

(3)

P[Y=yj)

=P)(4)

6_口

帝□的数为原题所给。

例55假设随机变量X「X2，X3，X4相互独立，且同分布。

xx

P{=0}=0.6,P(X,=1}=0.4,i=1,2,3,4o试求行列式X='J的概率分布

X3

2e~ix+2y)

例56设二维随机变量(X,Y)的概率密度为/(x,y)=〈'r>0v>0

0,其它

求随机变量Z=X+2Y的分布函数。

1,0<x<1

例57设随机变量X与Y相互独立，其概率密度函数分别为fx(x)=\甘^

0,其匕

€一'V>0

fY(y)=\求Z=2X+Y的概率密度函数。

[0,y<0

例58设两个相互独立的随机变量X和Y分别服从正态分布N(0,1)和N(1,1),那么()

(A)P{X+r<0}=-(B)P{X+Y<\}=-

22

(C)P{X-y<0)="(D)P{X-Y<\}=-

22

2)2)的随机变量。那么随机变量忻-司的数学

例59设，〃是两个相互独立且均服从正态分布N((),(

期望E后一司=?年一司=?

例60设两个相互独立的随机变量X和Y的方差分别为4和2,那么随机变量3X—2Y的方差为?

2k-2

例61X~4⑵即P{X=E=T—,后=0],2…那么Z=3X—2的数学期望EZ=_

kl

例62连续型随机变量X的概率密度函数为/")=那么X的数学期望为:X的方差

耳

为

例63设二维随机变量(X,Y)在区域D：O<x<l，M<x内服从均匀分布。求关于X的边缘概率密度函数

及随机变量Z=2X+1的方差。

例64设随机变量X服从参数为X的指数分布，则P{X>辰\=

，某流水生产线上每个产品不合格的概率为〃各产砧合格与否相互独立。当出现一人

不合格品时，即停机检修。设开机后第一次停机时已生产了的产品个数为X。求X的数学期望EX

和方差DXo

例66X~N(l,32)y~N((),42)pxy=--,Z=—+-

232

(1)求EZ,DZ：(2)pxz-(3)X与Y是否独立？为什么？

例67将一枚硬币重复掷n次，以X和Y分别表示正面朝上和反面朝上的次数。那么X和Y的相关系数

等于()

(A)-1(B)0(C)-(D)1

2

例68设随机变量X与Y独立，且X服从均值为1,标准差(均方差)为&的正态分布，而Y服从标推

正态分布。试求随机变量Z=2X-Y+3的概率密度函数。

例69对任意两个随机变量X和Y,假设E(X,Y)=EXEY,那么()

(/\)D(XY)=DXDY(B)D(X+Y)=DX+DY

(C)X和Y独立(D)X和Y不独立

例7。设二维随机变量(X,Y)服从二维正态分布。那么随机变量g=x+y与〃=x-y不相关的充分

必要条件是()

(A)EX=EY(B)EX2-(EX)2=EY2-(EY)2

(C)EX2=EY2(D)EX2+(EX)2=EY2+(EY)2

例71设随机变量X的概率分布密度函数为f(x)=g/N,-8<x<+oo

(1)求X的数学期望EX和方差DX

(2)求X与因的协方差，并问X与国是否不相关？

(3)问X与|X|是否相互独立？为什么？

例72设随机变量X的概率密度为/(幻二<—2COS’-2'0<X<7T，对X独立地重复观察4次，用Y表示观

0,其它

察值大于三的次数.求产的数学期望.

3

例73设随机变量X方差为2,那么根据切比雪夫不等式有估计P｛|X-EX122H

例74随机变量X服从参数为1的指数分布,那么E(X+"2X)=_

例75随机变量X和Y在圆域/+丁</上服从联合均匀分布。(1)求x和Y的相关系数p(2)问X

和Y是否独立

例76设X表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次击中目标的概率为0.4,那么X?的数学期里

EX2=

例77随机变量X~N(-3』),y~N(2,l),且X与Y相互独立。Z=>-2Y+7,那么Z服从何种分布。

例78一台设备由三局部构成，在设备运转中各部件需要调整的概率相应为0.10,0.20和0.30。假设

每台部件的状态是相互独立的。以X表示同时需要调整的部件数。试求X的数学期望和方差。

3，

例79设随机变量X和Y同分布，X的概率密度为/")=•?

0,其它

(1)事件八=毒力｝和8=｛丫为｝独立，且P(AJ5)=3,求a

4

(2)求‘数学期望

X2

例80游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光，电梯于整点的第5,25,和55min从底层起行。假设一游

客在早8点的第X分钟到达底层候梯处，且X在［0,60］上正从均匀分布。求该游客等候时间

的数学期望。

l,X>0

例81设随机变量X在区间［-1,2］上服从均勺分布，随机变量y=O,X=O,那么方差DY-

-l,X<0

例82设随机变量X1j,/=I2…，同独立同分布，EXjj=2

x“12•••X\n

V

那么行列式y=X、八22…的数学期望EY

・・・......•..•.・....

X川X“2…

例83设随机变量X1,X2，X3相互独立，其中毛在［0,6］服从均匀分布，X?服从正态分布N(0,22),

X,服从参数为;1=3的泊松分布。记Y=X1-2X2+3X30那么DY=

1+x-l<x<()

例84X的概率密度为/(x)=l-x,O<x<1求DK=

0,其它

例85设随机变量X服从参数为2泊松分布，且£[(X-1)(X-2)]=1,那么4=

例86设X是一随机变量，EX=〃,OX=b2,那么对任意常数C必有()

(A)E(X-C)2=EX2-C2(B)E(X-C)2=E(X-JU)2

(C)旦X-C)2V£(X-〃)2(DJE[X-C)2>E{X-

例87设随机变量X与Y独立，X服从N(〃,b，，Y服从[-区划上的均匀分布。试求Z=X+Y的概姿

产

密度(计算结果用标准正态分布函数①表示，其中①。)=」=「力)

\J2JTJf

设随机变量X和Y相互独立，且都服从正态分布N(0,32),而%，乂2，…,X9和匕为，…，匕分别

VV_1_IV

来自总体X和Y的简单随机柠本。那么统计量：U=J…"服从；参数为

田+4+...+必

2

89设X„X2,X3,X4是来自正态分布^(0,2)的简单随机样本。

22

X=«(X1-2X2)+/X3X3-4X4)O当a=?,b=?时，统计量X服从/分布，其自由度为—

例90设X"Xz….，Xg是来自正态总体的简单随机样本，

匕=-(X,+X2+...+X6),Y2=-(X7+X8+X9),

S2=Z(Xf2,z=&«一切证明统计量Z服从自由度为2的t分布。

S

设总体X服从正态分布N(〃,b2),(b>0)。从该总体中抽取简单随机样不

X,,X2,...,X2n(7/>2)o其样本平均值为5二1-gx,,求统计量

y=£(X,+X.L2X)2的数学期望EY

例92设X1,X2,…,X”是来自正态总体N(〃Q2)的简单随机样本。又是样本平均值。记:

s：=」-j■力(X,-X)

1n2

9

1n/

〃/-I

那么服从自由度为n-l的t分布的随机变量是：()

(A)1=(B)t=X-J

SJy/n-iSJy/n-l

©t=_一£(D)t=又?

S3MS4/4n

—(^-x),0<x<6>x/2,…,X”是取自总体X的简单随机样

例。3设总体X的概率密度为/(x)=<

0,其它

本。⑴求6的矩估计量2(2)求3的方差D(1)

例94设总体X的概率密度为/")二卜“］丫，0<"<、其中。>_［为未知参数，(X-X2,…,X.)

0,其匕

为一个样本。分别用矩估计和极大似然估计法求。的估计量。

aAx

设总体X的样本密度为Aax~''e~°'r>0，其中几>0是未知参数，a>0是常数.

0,x<0

试根据来自总体X的简单随机样本X1,X2,…,X”，求4的极大似然估计量。

例96设总体X的概率分布为

X0123

P0~20(1-〃)0~1-2/9

其中。是未知参数。利用总体如下的样本值3,1,3,0,3,1,2,3求6的矩估计值

2

和最大似然估计值。

=

例97某种元件使用寿命x的概率密度f^\Qx<3其中e〉o为未知参数。又设

王,与，当，…，X”是X的一组样本观测值，求。的最大似然估iI值。

例98

例99设n个随机变量Xi，%，…，X”独立同分布，DX,=<7

x=-y,s2=—y（%.-%）2那么：（）

（A）S是。的无偏估计量（B）S是。的最大似然估计量

（0S是。的相合（一致）沽计量（D）S与又相互独立

例100设X1,X?，…,X”是来自正态总体N（〃,cr2）的简单随机样本。其中参数〃和b?未知。记

天=,£X,.,。2='（XL天）2。那么假设“。：〃=0的t检验使用的统计量t=?

〃<=i1=1

概率例题答案

例6.-例7.-例8.(C)例9.1-p例10.(D)例11.

84

21231

例12.(B)例13.-例14.-例15.-例16.-例17.-

36573

例18.1-(1一〃)〃；(1-p)n+np(\-p)"'

53.20

例21.

例22.设8,=”挑出是第i箱”，/=1,2

A.="取出的第i个零件为一等晶,/=1,2

/、2

/1]与；p=P(A)=y

=,4A2=+AAzJ；q=690

Q

1421

例23.设4=”抽到的报名表是第区考生的=1,2,3

力,=”第7次抽到的报名表是男领”J=1,2

P值4)=£2(8,)'4名,

.・"(4)嘿尸(*)]得

714

例24.例25.—例26.—F—

126015152冗

例27.设4=”第i个零件是合格品V=1,2,3

{X=2}=4出4+4凡&+.&4且三个事件互斥

P

.,{X=2)1=2123.14+213,14.2+213.M4=H24

例28.x-113

P

-e\x<0

例29."(x)=2例30.(A)

x>0

2

例31.(D)例32.[1,3]例33.(B)

例34"{-1<%<1}=|而出3幺<%<[}=号

二.P{-1<X<x}=P{-1<X<x-1<X<1}

=p{-i<x<i}.p^i<x<^1<x<1}

5x+15.r+5

=8~=16

0,x<-1;

5x+7..7

〃（x）=<-----,-1<x<1;p=—

1616

1,x>1.

179

例35.0.8例36.—例37.—

2564

例38.设4="仪器需要调试‘B="仪器能出厂’

则8=X+A8P（8）=MM+P（A）P（%）=0.94

a=0.94"，p=C；（0.94）i.（006y.g=]_〃（0.94广.0.06-（0.94）"

例44.

123

111

---

488

y<

例

例A

46.y->

例

例

例5o3

•

1

1-o

9

21

-o

9

221

3---

999

例51♦

一

・,

0<r<1

例52.A(A)=

其它

4办£0<y<x

u，其它

当0<y<x<l时，

MM二fC)•〃%q

-Iny,0<y<1

0,其它

产{x+y>1}="/(x,y)dxdy=J；6可：L仅=1-In2.

x+y>12VX

0,当/<0或)，<0;

”，当04x41,04y<l;

例53.”(4)，)=•当04E,y>1;

》，当”1,0“41;

i,当"I,y>1.

⑵,⑶,331

例54.(1)—(4)-(5)-(6)-

2442843

⑺-(8)—

412

「-101

例55.

,0.13440.73120.1344

例56.P{Z<z}=P{X+2y<z}=jjf(x,y)dxdy

x+2v4z

当z«(M,〃{Z4z}=0

zr

当z>(耐，P{z<z}=^2e-(x+2y]dy=\-e-z-ze

0,z<0;

F(x,y)=-

1—C'—7£~',Z>0.

例57.Fz(z)=\\f(X,yylxdy

2x+yS:

当04zv2时，户/(z)=£"'e~ydy=-^(z+e~:-1)

e：1

当2<z时，尸z(z)='e'力=1+g一—e

2

0,zW0;

gQ-f0<z<2;

••fz(z)=「z(z)=，

*一11二，2<z.

「2

例58.(B)例59.例60.(D)例61.4例62.1；-

712

2x,0<x<1;9

例63.fx（X）=，DZ=-

0,其它.9

1

例64.例65.(C)

EZ=LDZ=E3x一

例66.>=3

3(323>

cov(X,Z)=—cov(X,X)+—cov(X,y)=0

32

vZ~,31,且与X能构成二维正态分祖故X与Z独立.

NR13)

例67.(A)

1-(2-5『

例68.Z-/V(5,9)Jz(z)=-?^—

。2乃-3

例69.(B)

例70.(B)

例71.EX=