人教版九年级数学上册《第二十五章一元二次方程》单元测试卷（带答案解析）

第第页答案第=page11页，共=sectionpages22页人教版九年级数学上册《第二十五章一元二次方程》单元测试卷（带答案解析）基础巩固1．一元二次方程的二次项系数和一次项系数分别是（

）．A．， B．， C．-2， D．2，02．一元二次方程配方后可变形为（

）A． B． C． D．3．若，是一元二次方程的两个根，则的值为（

）．A． B． C． D．4．已知三角形两边长分别为6和8，第三边长是方程的解，则这个三角形的周长是（

）A． B． C． D．5．一元二次方程根的情况为（

）．A．没有实数根 B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根 D．只有一个实数根6．已知，是方程的两个根，则的值为（

）A．1 B．2 C．3 D．47．如图，为落实劳动教育，学校计划用总长为米的篱笆，在两面足够长的垂直围墙的墙角处，围出一块平方米的矩形劳动实践园地．若设矩形的一边长为米，则列出的方程式（

）A． B． C． D．8．在我国南宋数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载着这样一个问题：直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问阔长各几步？也就是说，一块长方形田地的面积为平方步，长和宽共步，问：这块长方形田地的长宽各多少步？针对这类问题，杨辉提供了巧妙的几何解法，如图：用四个完全相同的面积为平方步的矩形拼成一个大正方形，若设矩形田地的宽为，则可列方程为（

）A． B．C． D．9．若是关于x的一元二次方程的一个根，则的值是________．10．已知，是关于x的方程的两个根，满足，则m的值是________．11．年月重庆西洽会展销售某智能设备万台，经过大力宣传，该设备月份的销售量达到万台，设两个月该智能设备销量的月平均增长率为，根据题意，可列方程为________．12．已知二次方程的两根一个大于1，一个小于1，则实数m的取值范围为________．13．已知一元二次方程（）的两根分别为、，则一元二次方程（）的两根分别为________．14．对于非零的两个实数、b，规定．若，则的值为____________．15．如图，一块长、宽的矩形地块，规划了两横两纵等宽的石板小径（阴影部分），其余为草坪，石板小径的总面积占矩形地块面积的，则石板小径的宽度为______．16．已知关于的一元二次方程的两根为，定义该方程两根的关联值．（）若，则关联值为______．（）已知关于的方程（为整数，），若该方程关联值满足．则符合条件的整数的和为______．17．解方程(1)；（配方法）(2)；（公式法）18．已知关于的一元二次方程．(1)求证：无论取何值，方程总有实数根；(2)若方程的一个实数根是，求另一个实数根和的值．19．如图，在中，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．若P，Q两点同时出发，当点Q运动到点C时，P，Q两点同时停止运动．求：(1)几秒后，的面积等于？(2)的面积能否等于？说明理由．20．某学校八年级开展社会实践活动，如表是“遇数临风”小组的记录表，请根据相关信息解决表中的两个问题．学校社会实践记录表团队名称遇数临风活动时间2026.4.26班级人员802王嘉、马俊、张宁地点城南蔬菜超市实践内容调查青菜行情，帮超市解决销售问题的同时为顾客谋实惠．调研信息青菜的进价为2元/千克．青菜售价为2.5元/千克时，每天可销售125千克．每千克每涨价0.1元，每天少销售5千克．解决问题(1)某天超市正好销售105千克的青菜，则青菜的售价为多少元/千克？(2)若超市想一天销售青菜获利100元，则青菜的售价为多少元/千克？拔高训练21．我们规定：对于任意实数，b，c，有▲，其中等式右边按照乘法和加法进行运算，如▲．(1)若▲，求的值；(2)若关于的方程▲有两个不相等的实数根，求的取值范围．22．阅读材料并解答相关问题．材料1：规定：如果实数a，b,c满足，那么称一元二次方程为“和差”二次方程．材料2：韦达定理：若一元二次方程的两根分别为，则(1)【概念辨析】问题1：下列方程是“和差”二次方程的有__________（填写序号）①；②；③；④．(2)【特例感知】①问题2：分别求出“问题1”中所有“和差”二次方程的根．②问题3：若“和差”二次方程的一个根5，求这个方程的另一个根．(3)【结论归纳】问题4：设m，n是“和差”二次方程的两个根，请写出你发现的关于两根m，n的结论，并说明理由．23．综合与实践：探索果园土地规划和销售利润问题素材1：某农户承包了一块长方形果园，如图是果园的平面图，其中米，米，准备在果园的四周铺设道路，上下两条横向道路（沿方向）的宽度都为米，左右两条纵向道路（沿方向）的宽度都为米，道路围合的中间矩形区域为种植园区（如图中阴影区域）．出于货车通行等因素的考虑，道路宽度不超过14米，且不小于7米．素材2：该农户在种植园区种植草莓，市场调研信息：草莓培育一年可产果，若每平方米草莓的月销售利润为100元，每月可销售出5000平方米种植面积对应的草莓产量（即月销售覆盖5000平方米的种植面积）．受天气原因，农户决定降价促销，若每平方米的草莓月利润每下调1元，每月可多销售125平方米种植面积对应的草莓产量，果园每月的承包费为20000元．问题解决问题1（1）种植园区的长为______米，宽为_______米；（用含的代数式表示）问题2（2）若种植园区的面积为44800平方米，道路设置的宽度是否符合要求？请说明理由．问题3（3）若农户预期一个月的总利润为552000元，为让客户得到实惠，每平方米草莓的月利润应该下调多少元？（总利润=销售利润-承包费）24．定义：我们把关于x的一元二次方程与称为一对“友好方程”．如的“友好方程”是．(1)写出一元二次方程的“友好方程”______．(2)已知一元二次方程的两根为，它的“友好方程”的两根为、______．根据以上结论，猜想的两根与其“友好方程”的两根之间存在的一种特殊关系为________；并证明你的猜想．(3)已知关于x的方程的两根，请结合（2）中的结论，求出关于x的方程的两根．参考答案与解析题号12345678答案CBBAADAA1．C【分析】先将给定一元二次方程整理为一般形式，其中为二次项系数，为一次项系数，再对应找出系数即可得到答案．【详解】原方程为将方程移项整理为一般形式得或整理后可得，二次项系数和一次项系数为或．2．B【详解】解：．3．B【分析】先根据根与系数的关系求出两根之和与两根之积，再对所求代数式通分变形代入计算即可求解．【详解】∵，是一元二次方程的两个根∴由根与系数的关系可得：∴．4．A【分析】先解一元二次方程得到第三边的可能值，结合三角形三边关系排除不符合的边长，再计算周长得到结果．【详解】解：解方程因式分解得解得∵三角形边长为正数∴舍去负根，得第三边长为∵，符合三角形三边关系∴三角形周长为．5．A【分析】运用一元二次方程根的判别式判断根的情况即可求解．【详解】解：∵，则∴∴该一元二次方程没有实数根．6．D【分析】利用一元二次方程根的定义对所求代数式降次，结合根与系数的关系代入求值．【详解】解：∵，是方程的两个根∴∵同理可得∴．7．A【详解】解：设矩形的一边长为米，则另一边长为米根据题意得．8．A【分析】设矩形田地的宽为x，表示出长为和小正方形的边长为，根据小正方形面积的两种求法可列方程．【详解】解：设矩形田地的宽为x，则长为，小正方形的边长为根据小正方形面积的两种求法可列方程为．9．【分析】利用方程的根满足原方程，将已知根代入方程得到与的关系式，再整理后代入所求代数式计算即可．【详解】解：将代入得整理得等式两边同除以得移项得变形得因此．10．【分析】将给定等式展开后代入计算得到的值，再验证方程存在两个实根，即可得到最终结果．【详解】解：∵，是方程的两个根∴由一元二次方程根与系数的关系得∵∴∴将，代入上式得解得此时方程的判别式，满足方程有两个根的条件因此的值为．11．【分析】根据增长率问题列出一元二次方程即可．【详解】由题意可得12．【分析】由二次方程和根的判别式解不等式组得出实数m的取值范围．【详解】解：是二次方程，解得．二次方程有两根．即．或．解，得．解，得且，不合题意舍去．实数m的取值范围为．13．/【分析】利用换元思路，将所求方程整理为与原方程形式相同的一元二次方程，根据原方程的根得到对应关系式，即可求解．【详解】解：将所求方程移项变形得∵一元二次方程的两根分别为，1∴可得或解得∴一元二次方程的两根分别为．14．或【分析】根据新定义运算得到关于的分式方程，去分母转化为一元二次方程求解，检验后得到的值，进行解答，即可．【详解】解：由题意得方程两边同乘最简公分母，得：整理得：因式分解得：解得经检验，当和时，且，均为原方程的解．15．【分析】将中间的石板小径（阴影部分）平移到长方形的边上，由题意得到空白部分的总面积占矩形地块面积的，设石板小径（阴影部分）的宽度为，列一元二次方程求解即可．【详解】解：将中间的石板小径（阴影部分）平移到长方形的边上，如图所示：石板小径的总面积占矩形地块面积的空白部分的总面积占矩形地块面积的设石板小径（阴影部分）的宽度为，则则解得或（，舍去）石板小径的宽度为．16．【分析】（）利用根和系数的关系得，再代入计算即可求解；（）利用根和系数的关系得，即得，进而可得，得到取，再相加即可求解．【详解】解：（）由一元二次方程根和系数的关系得∴故答案为：；（）由一元二次方程根和系数的关系得∴∴解得为整数，且取∴符合条件的整数的和为故答案为：．17．(1)(2)【分析】（1）把方程化为：，可得，再进一步解方程即可；（2）先求解，再利用公式法解方程即可．【详解】（1）解：移项得：配方得：，即开方得：∴；（2）解：，即∴∴∴即．18．(1)证明：在一元二次方程中∵无论取何值，即，∴无论取何值，方程总有实数根；(2)的值为，方程的另一个实数根为．【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式证明即可；（2）将代入求出的值，再利用因式分解法解方程即可．【详解】（1）略（2）解：∵方程的一个实数根是∴解得：∴一元二次方程∴解得：∴方程的另一个实数根为．19．(1)当出发1秒后，的面积等于；(2)解：不能理由：假设经过t秒后，的面积等于，即∴整理得：由于则方程没有实数根∴的面积不能等于．【分析】（1）设出发t秒时，则，根据，解方程即可求解；（2）令，根据三角形的面积公式列出方程，再根据得出方程没有实数根，从而得出的面积不能等于．【详解】（1）解：设出发秒时，则．∴即解得：或（不符合题意，舍去）∴当出发1秒后，的面积等于；（2）略20．(1)青菜的售价为元/千克(2)青菜的售价为元/千克或元/千克【分析】（1）设售价为元/千克，根据销售量的变化关系列一元一次方程，即可求解；（2）根据“总利润每千克利润销售量”列一元二次方程，即可求解．【详解】（1）解：设青菜的售价为元/千克由题意得解得．答：某天超市正好销售105千克的青菜，则青菜的售价为2.9元/千克．（2）解：设青菜的售价为元/千克由题意得解得．答：若超市想一天销售青菜获利100元，则青菜的售价为3元/千克或4元/千克．21．(1)或(2)且【分析】本题考查了新定义，解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，理解新定义的含义是解题的关键．（1）根据新定义，将方程左边写成，然后解一元二次方程；（2）根据新定义，将方程化成一元二次方程的一般形式，利用一元二次方程根的判别式列不等式解题即可．【详解】（1）由题可知：解得：或；（2）由题意得，▲∴∵关于的方程▲有两个不相等的实数根∴且解得且．22．(1)②③(2)①方程②的根为

；方程③的根为；②(3)或理由：是“和差”二次方程的两个根又或或．【分析】本题考查了一元二次方程的新定义，一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，理解“和差”二次方程的定义是解此题的关键．（1）根据“和差”的二次方程的定义判断即可；（2）①利用公式法和因式分解法求解即可；②设方程的另一根是，利用韦达定理求解即可；（3）根据韦达定理以及“和差”的二次方程的定义列式计算即可求解．【详解】（1）解：①中，不是“和差”的二次方程；②中，是“和差”的二次方程；③中，是“和差”的二次方程；④中，不是“和差”的二次方程；故答案为：②③；（2）解：①解方程；解方程；②设方程的另一根是由韦达定理可得．即解得：；（3）略23．（1）（2）符合要求，理由如下整理得，解得∵道路宽度不超过14米，且不小于7米∴，即道路设置的宽度符合要求；（3）每平方米草莓的月利润应该下调48元【分析】本题主要考查一元二次方程的运用，理解数量关系正确列式是关键．（1）根据图示，结合题意列式即可；（2）根据面积的计算，结合（1）列式求解即可；（3）设每平方米草莓的月利润应该下调元，根据数量关系列式求解即可．【详解】解：（1）根据图示，种植园区的长米，宽为米；（2）略（3）设每平方米草莓的月利润应该下调元∴整理得解得∵让客户得到实惠∴每平方米草莓的月利润应该下调48元．24．(1)(2)(3)两根分别为和【分析】（1）根据“友好方程”的定义，直接写出式子即可；（2）①根据（1）得出的“友好方程”，解出两根即可；②分析刚才得出的原方程和“友好方程”的两根，猜想关系，利用韦达定理证明猜想：设原方程两根为，