小学五年级数学分数乘法应用问题解决与模型建构教学设计

小学五年级数学分数乘法应用问题解决与模型建构教学设计

一、【指导思想与理论依据】

（一）【核心素养导向的设计理念】本教学设计严格遵循《义务教育数学课程标准（2022年版）》的核心要义，以发展学生核心素养为导向，致力于实现从知识传授到素养生成的转变。课程设计深度融入“会用数学的眼光观察现实世界、会用数学的思维思考现实世界、会用数学的语言表达现实世界”的“三会”要求。在分数乘法这一关键内容的教学中，不仅关注运算能力的培养，更将模型意识、应用意识、推理意识作为核心目标。通过创设真实、鲜活且富有挑战性的问题情境，引导学生在解决实际问题的过程中，经历从现实情境中抽象数量关系、建立数学模型、应用模型解决问题的完整过程，从而感悟数学模型是连接数学与现实世界的重要桥梁。

（二）【建构主义学习理论的应用】本设计充分汲取建构主义学习理论的精髓，认为知识不是被动接受的，而是由学习者在已有经验基础上主动建构的。教学实施过程中，摒弃了简单的概念灌输和机械的题型训练，转而通过精心设计的问题链和探究活动，激活学生关于分数意义、整数乘法、分数加减法等已有的知识经验。学生在自主探索、合作交流、质疑辩论中，不断同化与顺应新知识，对分数乘法意义的理解从“几个几分之几是多少”的单一维度，拓展到“一个数的几分之几是多少”的多元表征，从而完成对分数乘法模型的个性化与深层建构。

（三）【“教-学-评”一致性原则】教学目标、教学过程与学习评价三者形成闭环，高度一致。教学目标清晰、具体、可测，直指分数乘法模型的理解与应用。教学过程紧紧围绕目标展开，每一个问题情境、每一个探究活动都有明确的目标指向。学习评价贯穿于教学的全过程，既有教师对学生课堂表现、练习反馈的即时诊断与调整，也有通过精心设计的课堂练习和课后拓展任务，对目标达成度进行精准评估。评价不仅关注结果，更关注学生在问题解决过程中的思维表现与模型建构的水平。

二、【教学背景分析】

（一）【教材分析——【基础】与【核心】的地位】本课“分数乘法（二）”或“求一个数的几分之几是多少”是北师大版（或人教版）小学数学五年级下册的核心内容。它是分数乘法意义从“求几个相同加数的和”向“求一个数的几分之几”的扩展与深化，是学生从整数乘法世界迈入分数乘法应用的关键一步。这部分内容不仅是后续学习分数除法、分数混合运算、百分数应用、比和比例等知识的重要基础，更是学生初步建立数学模型思想、发展代数思维的关键节点。教材编排通常从生活情境入手，引导学生通过画图、操作等直观方式理解数量关系，逐步抽象出“单位‘1’的量×几分之几=几分之几的对应量”这一基本数量关系。

（二）【学情分析——【非常重要】的认知起点与潜在【难点】】

1.已有知识基础：学生已经理解了分数的意义，掌握了分数单位；能够正确计算分数乘整数；具备了一定的画图分析数量关系的能力；积累了“求一个数的几倍是多少”用乘法计算的经验。

2.生活经验基础：学生在生活中会接触到“吃了蛋糕的二分之一”、“完成任务的五分之三”等情境，对“一个整体的几分之几”有直观的感性认识，但往往停留在“部分与整体”的关系上，对于将这种关系转化为乘法运算尚缺乏清晰的认知。

3.潜在学习【难点】：

【难点1】意义理解的跨越：从“几个几分之几”到“一个数的几分之几”，是乘法意义的重大拓展。学生常常困惑：为什么求一个数的几分之几也用乘法？需要借助直观模型和类比推理来化解。

【难点2】单位“1”的辨识：在复杂情境中，准确找到作为单位“1”的那个数量，是正确列式的【关键】。学生容易被情境中的无关信息干扰，或混淆谁是谁的几分之几。

【难点3】量率对应关系的建立：建立“比较量”、“标准量（单位‘1’的量）”和“分率”三者之间的关系模型，是本节课的【核心模型】和【重要】目标，也是一个【高频考点】。学生初期往往是机械模仿，未能真正理解三者之间的内在逻辑。

（三）【教学方式与手段】本课主要采用“情境启发式”与“探究发现式”相结合的教学方式。以贴近学生生活的实际问题为主线，驱动学生主动思考。运用数形结合思想作为主要教学策略，引导学生在“画一画”、“说一说”、“比一比”的活动中，直观理解抽象的数量关系。同时，借助小组合作学习，让学生在交流碰撞中深化理解，完善认知。

三、【教学目标与重难点】

（一）【教学目标】

1.知识与技能【基础】：结合具体情境，理解并掌握“求一个数的几分之几是多少”用乘法计算的道理，能够正确列式计算。能在具体问题中准确找到单位“1”的量，并能清晰地表述数量关系。

2.过程与方法【非常重要】：经历从实际问题中抽象数量关系、建立并应用数学模型的过程，通过动手操作、画图分析、合作交流等方式，培养几何直观、模型意识和应用意识，提升分析问题与解决问题的能力。

3.情感态度与价值观：感受数学与生活的紧密联系，体验数学建模的乐趣和价值，增强学习数学的自信心。在合作学习中，培养勇于探索、乐于分享的科学精神。

（二）【教学重点】理解“求一个数的几分之几是多少”用乘法计算的意义，建立并掌握“单位‘1’的量×分率=对应量”这一基本数量关系模型。

（三）【教学难点】正确辨识并理解不同情境下的单位“1”，建立清晰的“量率对应”关系，并能用模型灵活解决实际问题。

（四）【教学关键】运用数形结合思想，通过画图直观呈现标准量、分率与对应量之间的关系，化抽象为具体。

四、【教学实施过程——【核心环节】的深度建构】

（一）创设情境，激活经验，引出新知——【基础铺垫】

1.情境导入：教师利用多媒体课件出示校园“劳动实践基地”的场景：五年级（1）班分到了一块长方形的菜地，面积是20平方米。同学们计划用这块地的种西红柿，剩下的种黄瓜。你能提出什么数学问题？

2.激活旧知：学生会自然提出“种西红柿的面积是多少平方米？”这个问题。教师引导学生回顾：这个问题怎么列式？为什么？学生回答：20÷5×3，或者20×。教师追问：20×表示什么？引导学生说出：表示求20的是多少，也就是把20平均分成5份，取其中的3份。这既复习了分数的意义，也激活了学生对分数乘整数的初步认识（尽管此处是分数乘整数，但为后续“一个数乘分数”做了孕伏）。

3.引发冲突与猜想：教师适时抛出问题：“如果我们要种的面积是这块地的，那又是多少平方米呢？应该怎样列式？”，学生根据经验会猜测“20×”。教师追问：“为什么用乘法？20×表示什么意思？和我们之前学的乘法一样吗？”此问题旨在制造认知冲突，激发学生探究“求一个数的几分之几是多少”为什么用乘法的内在动机。教师顺势揭示并板书课题：分数乘法（二）——问题解决与模型建构。

（二）合作探究，直观建模，理解意义——【非常重要】的【核心环节】

1.活动一：画图理解，初步建模（以“求一个数的几分之几”为例）

（1）明确任务：请同学们以小组为单位，用自己喜欢的方式（如画线段图、长方形图等）来表示“20的是多少”，并尝试列出算式，和同伴说说你的想法。

（2）学生自主探究，教师巡视指导。重点关注学生画图是否准确，是否能在图中清晰地标出“20平方米”、“”、“所求部分”。

（3）小组代表展示交流，预设两种典型方法：

方法一：画长方形或线段图。将代表20平方米的长方形（或线段）平均分成5份，表示其中的2份。从图中可以直观看出，求20的是多少，就是求20的2份是多少。可以先求1份：20÷5=4（平方米），再求2份：4×2=8（平方米）。列成综合算式：20÷5×2=8（平方米）。

方法二：直接列出乘法算式20×。学生解释：就是把20平均分成5份，取其中的2份，所以就是20×。可以计算为20×=20×2÷5=40÷5=8（平方米）。

（4）教师引导对话与联结：教师引导学生对比这两种方法。“大家看看，无论是分步计算还是直接列乘法算式，其实它们的意思是一样的。20×这个算式，就是在求20的‘五分之二’是多少。谁能完整地说一说，20×表示什么？”引导学生用规范的语言表述：20×表示求20的是多少。

（5）模型初建：教师板书核心数量关系：单位“1”的量（20）×分率（）=分率的对应量（8平方米）。在此环节，教师要明确指出，这里的20是整个菜地的面积，是我们要整体考虑的量，数学上把它叫做“单位‘1’的量”，是把一个整体平均分的那个量。而就是对应的“分率”，乘出来的结果8平方米就是这个分率所对应的具体数量。

2.活动二：变式对比，深化模型——【非常重要】的模型巩固

（1）情境延续：教师接着刚才的情境，提出问题：“如果这块菜地还是20平方米，我们这次用它的来种辣椒，种辣椒的面积是多少平方米？”“如果用它的来种茄子，种茄子的面积又是多少平方米呢？”让学生独立列式计算，并画图验证。

（2）学生独立练习，教师收集典型资源（正确与错误）进行展示。重点关注：学生是否能准确找到单位“1”（还是20平方米），能否正确列出乘法算式（20×，20×）。

（3）归纳概括：通过这三个例子（20×，20×，20×），教师引导学生观察、比较、思考：“你们发现了什么共同点？”引导学生发现：不管分率是几分之几，只要是求一个数的几分之几是多少，都用乘法计算。进一步抽象出一般模型：单位“1”的量×分率=对应量。

3.活动三：拓展迁移，完善模型——攻克【难点】辨识单位“1”

（1）改变单位“1”：教师出示新情境：“隔壁五（2）班同学也不甘示弱，他们种了15平方米的生菜。他们种的菠菜面积是生菜面积的。五（2）班种菠菜多少平方米？”

（2）引发思辨：这个问题中，谁是单位“1”？引导学生分析：菠菜面积是“生菜面积的”，是把生菜面积看作一个整体，所以单位“1”是生菜面积（15平方米）。列式：15×=？计算后得出10平方米。

（3）对比强化：教师将两个班的题目并置：

五（1）班：20平方米菜地，种西红柿，西红柿面积？

五（2）班：15平方米生菜，种菠菜（菠菜是生菜的），菠菜面积？

引导学生对比：“这两个问题有什么相同和不同？”相同点：都是求一个数的几分之几是多少，都用乘法。不同点：单位“1”的量不同，一个是20，一个是15。分率所对应的整体变了，结果自然也不同。通过对比，帮助学生深刻理解单位“1”的重要性，它是整个数量关系的基准。

（4）【高频考点】专项辨析：教师提供一组情境，让学生快速指出单位“1”是谁。

例如：甲数是乙数的；一条路，修了全长的；男生人数占全班人数的；一桶油，用去了；实际产量比计划增产。通过这些快速判断，强化学生对单位“1”的敏感度，这是正确建模的前提。

（三）深化应用，模型内化，解决问题——【非常重要】的实践应用

1.【基础练习】——全体过关

（1）书本“练一练”第1题：看图填空。给出线段图或长方形图，标出部分与整体的关系，要求学生根据图意写出数量关系式并计算。旨在巩固从直观到抽象的转换能力。

（2）基本应用题：果园里有桃树80棵，梨树棵数是桃树的。梨树有多少棵？要求学生先口头分析：单位“1”是谁？求什么？数量关系是什么？再独立列式解答。

2.【【难点】突破练习】——辨析与选择

题目：一根绳子长12米，第一次用去全长的，第二次用去米，两次用去的长度相比，（）。

A.第一次长B.第二次长C.一样长D.无法比较

此题为【非常重要】的【高频考点】和【难点】题。它巧妙地将“求一个数的几分之几是多少”与具体的量（米）混合在一起，极易混淆。教学时，先让学生独立思考，再小组讨论。引导学生辨析：第一次“用去全长的”，这里的“”是分率，对应的单位“1”是全长12米，所以第一次用去的长度是12×=3米。第二次“用去米”，这里的“米”是一个具体的长度。3米>米，所以第一次长。通过此题，深刻辨析“分率”与“具体量”的本质区别，深化对模型中“分率”意义的理解。

3.【【非常重要】的变式练习】——逆向思考与模型逆用

题目：五（1）班有男生25人，女生人数是男生的，全班有多少人？

此题打破了正向求对应量的模式，需要先求出女生人数（25×=20人），再求全班总数（25+20=45人）。它要求学生能灵活运用模型，先解决部分，再综合，培养了思维的灵活性和综合性，也是常见的【高频考点】。

4.【【热点】拓展练习】——跨学科融合与实际问题解决

情境创设：结合科学课“食物营养”内容，出示信息：10岁左右的儿童每天大约需要摄入2000克食物，其中主食（谷物类）约占，蔬菜水果约占，鱼肉蛋奶约占。请你算一算，一个10岁儿童每天大约需要摄入主食、蔬菜水果、鱼肉蛋奶各多少克？

此设计将数学知识应用于健康生活领域，体现了【跨学科】理念。学生需要分别以2000克为单位“1”，计算它的、和分别是多少。这不仅巩固了模型，还渗透了健康饮食的观念，让学生感受到数学的广泛应用价值。

（四）总结反思，回顾历程，升华模型——【基础】梳理

1.回顾学习历程：教师引导学生回顾本节课的学习过程：“我们是怎么学会‘求一个数的几分之几是多少’这个新知识的？”引导学生总结：从实际问题出发，通过画图分析，对比旧知识，发现了共同的乘法模型，最后用模型解决了更多的问题。

2.提炼核心模型：师生共同再次明确并板书核心模型：单位“1”的量×分率=分率的对应量。教师强调，这就是解决这类问题的“金钥匙”。

3.畅谈学习收获：请学生分享，通过今天的学习，有什么新的收获、体会或还想继续研究的问题。例如：有学生会说“我明白了为什么求一个数的几分之几用乘法”，有的会说“我知道了找对单位‘1’最重要”，有的可能会问“如果单位‘1’不知道，只知道对应量和分率，能不能求单位‘1’呢？”教师要对学生的质疑给予积极回应，并预告后续学习内容，激发持续探究的欲望。

五、【学习效果评价设计】

（一）【课堂观察与即时评价】在教学过程中，教师通过巡视、提问、参与小组讨论等方式，观察学生的参与度、合作情况、思维状态。重点关注学生能否准确辨识单位“1”，能否用画图方式分析问题，能否清晰表述数量关系，能否正确列式计算。对学生的精彩发言和独特见解给予及时肯定，对有困难的学生进行个别点拨。

（二）【核心任务完成度评价】以课堂练习中的基础题、辨析题、变式题的正确率为主要依据，评估学生对分数乘法模型的理解水平和应用能力。特别是对“分率与具体量辨析”这类【难点】问题的解决情况，作为衡量学生是否真正理解模型内涵的关键指标。

（三）【课后拓展任务评价】布置一项开放性的课后作业：请你当个小数学家，从生活中寻找一个可以用“求一个数的几分之几是多少”来解决的实际问题，把它编成一道应用题，并画图分析、列式解答，最后在小组内交流分享。此项任务旨在评价学生能否将课堂所学迁移到真实的生活情境中，培养数