第六章 线性空间与线性变换

第六章线性空间与线性变换

6.1基本概念基本定理：

6.1.7线性空间基本概念

1、线性空间的概念

设V是一非集合，F是一定数域，如果在V中定义了两种运算：

(1)加法，即对V中任意两个元素与，按某一法见，在V中都有惟一的元素Y与之对

应，称为和的和，记作二+;

(2)数乘，即对V中任意元素和F中任意数k,按某一法则，在V中有惟一的一个元

素3与之对应，称3为k与的积，记作6=&;并且这两种运算满足以下八条运算规则，那么

V就称为数域F上的一个线性空间。

其中八条运算规则是：

⑴a+p=p+a,

(2)(a+/)+y=a+(£+y)；

(3)在V中有--元素，记为0,对V中任一元素，都有+0=,称元素。为V的零元素:

(4)对V中每一个元素，都有V中的一个元素，使得+=0,称为的负元素，记作即

+(-)=0o

(5)1-

(6)k(/)=(k/)；

(7)[k+l)=k+l；

(8)k(+)=k+k.

其中，，是集合V中的任意元素，太/为F中的任意娄。

2、子空间

设V是一个线性空间，L是V的一个非空子集，如果L对于V中所定义的加法和数乘

运算也构成一个线性空间，就称L为V的子空间。

n元齐次线性方程组AX=0的解的全体是R11的一个子空间，称为AX=0的解空间。

定理1线性空间V的非空子集L构成子空间的充分必要条件是L对于V中的线性运

算封闭。

6.1.2基、维数与坐标

1、基与维数定义

在线性空间V中，如果存在n个元素1,2,…，n，且满足：

(1)1，2，…，n线性无关；

(2)V中的任一元素都可表示为2,…，n的线性组合，则称I，2,…，n

为线性空间V的一个基；n称为线性空间V的维数，并记为dimV=n.

线性空间中的任一元素都可表示为它的一个基的线性组合，且这种表示是惟一的。

2、坐标的定义

设I，2,…，n是n维线性空间V的一个基，对于一个元素aV,如果

a=再四+七。2+好3+…+为"〃,

则称有序数组知程…,。为a在基%%下的坐标,记为(和与，…，/)或

(司,巧，一・，工”)70

3、同构

在n维线性空间V中取定一个基后，V中的每一个元素与有序数组(为，巧，…，4)构成一

一对应关系。如此，就可将V中抽象的线性运算与数组向量的线性运算联系起来。

这个对应关系具有下列性质：

设ag(司,巧,…,天),66(力，乃，…，为),则

（1）。+尸一（玉,工2,…，X”）+（M，）'2一・，）'〃）

（2）kack@"2,…,xQ

即这个对应关系保持线性组合的对应，因此可以说n维线性空间V与Rn有相同的结构,

称V与R11同构。

一般地，设V与U是两个线性空间，如果在它们的元素之间有一一对应关系，且这个

对应关系保持线性组合的对应，就称线性空间V与U的同构。

R上的任何n维线性空间都与R"同构。

6.1.3基变换与坐标变换

设力,必，…，%与后乃，…，凡是线性空间V的两个基，且

P\二力臼+为由+…"。〃、

P2=b12al+h22a2+…22a

・・•・・・

(6.1)

则式（6.1）可表示为

（*夕2,…，凡）=（%.,♦••,a〃）P(6.2}

或者（4,42,…，4）'=叫四,。2,…a”），

(6.3)

其中

--

占A

2

4%

2

P=:.

bn2…b*.

式（6.1）或式（6.2）称为基变换公式，矩阵P称为由基%%…。〃到基外饵…"的过渡

矩阵，由于基口，42,…，凡是线性无关的，故过渡矩阵P可逆。

定理2设n维线性空间V中的元素，在基%，的，…，。〃下的坐标为（为，8,…，/）,在

基丹,小，…，凡下的坐标为（加%，…,%）。如果这两个基满足关系式（6.2）,则在这两个基下

的坐标满足关系式

或

称公式（6.4）或（6.5）为坐标变换公式。

6.1.4线嵯变换

1、映射定义

设U1,U2是两个非空集合，如果有一法则T,使5中每个元素都有U2中惟一确定的

一个元素与之对应，那么就称T是Ui到U2的一个映射或变换，记作T：Ui~U2,并称是在

T下的象，为在T下的一个原像（或源），记作T；a—〃或丁（。）二6

或Ta=/?。

注意的像是惟一的，但的原像不一定是惟一的。

如果T：ULUZ,任意生，%£/0工%,都有了（勾）工丁（。2）,就称T为单射；如果任

一BGU2,都有awj,使7（a）=£,就称T为满射；如果T既是单射，又是满射，就称

T为双射(或称一一对应)。U称为T的原像集，象的全体所构成的集合称为像集，记作T

(Ui),即

r(q)={6|7Xa)=Aa£UJ

显然丁⑼七力

2、线性变换定义

如果线性空间V、到线性空间V2的一个变换T满足下列条件：

(1)任意。，尸£匕，有73+#)=73)+7(#)；

(2)任意。€乙"R,有T(ka)=kT(a),

则称变换T为线性空间Vi到线性空间V2的一个线性变灰，如果V产V?=V,则称T为线性

空间V内的线性变换

3、线性变换的性质

设T是线性空间V、到线性空间V2的一个线性变换：则：

(1)T(0)=0

(2)任一〃6匕,7(-。)=-73)

(3)如果"，如…，口，£都是Vi中的元素,且〃=的+牲+…+3,伏2也，…，心为实

数)，则丁(6)=占丁回)+夕&)+…+(册)。

(4)如果可，七，…4,都是V1中的元素，且线性相关，则丁(q)，T32)，…，73〃；)也线性

相关。

(5)线性变换T的像集T(V.)是线性空间V2的子空间，称为线性变换T的像空间。

4、核定义

设7是〃维性空间V内的线性变换，则称使T(〃)=0的a的全体%={aIae匕7(a)=0}为

线性变换T的核，它也是V的子空间。

6.1.5线性变换的矩阵表帚

1、定义

设是门维性空间v的一个基，T是V内的线性变换，基元素的像可以被基

线性表示：

7(6)=囚问+。2将2+..•+%£-

T(e2]=ane}+a22e2+-­■+an2e„

T(e”)=+。2〃分+…+。,血(6.6)

记

…,〃)=(T(q),T(e2),…,r(e"))(6.7)

则式(6.6)可表示为矩阵形式：

7(5,右，一、综)=(6，乙)」一，6“)4

其中

61a\2…a\n

A=勺.27a2n

_an\an2…am_

称矩阵A是线性变换T在基外与，…，e〃下的矩阵。

定理3设在n维线性空间V中取定两个基：

4,乐…,4〃

如果T是V内的一个线性变换,由基(，。2,…,4到4，儿，…，尸〃的过渡矩阵为P,而T在这

两个基下的矩阵依次为A.B,则B=P」AP。

6.2典型例题选解

例1下列集合对指定运算不能构成实数域R上的线性空间的是（B）。

（A）全体n阶对称矩阵所成集合；运算：矩阵加法和矩阵数量乘法

（B）全体n阶可逆矩阵所成集合；运算：矩阵加法和矩阵数量乘法

（C）闭区间［a,b］上全体连续函数所成集合；运算：函数的加法和实数的乘法

（D）矩阵A的属于其特征值入。的全部特征向量的全体：运算向量加法和数乘向量

分析据线性空间的定义，一个集合连同其上定义的加法和数乘运算要构成一个线性空

间，必须满足：（I）对加法和数乘运算封闭；（2）必须满足定义所列8条性质。由分析知：A）,

（C）,（D）都满足这两条，它们都构成R上的线性空向。（B）中两个可逆矩阵的和可能不

是可逆矩阵，如A可逆，则（-A）也可逆，而A+（-A）=0,即所给集合对运算不封I?,所

以应选（B）。

例2记实数域R上的二阶方阵所构成的线性空间为R2X2,下列方阵组能构成为R2”

的一个基的是（D）.

10010000

，©2=，s=£4=

（D）01001001

分析要确定一组2阶矩阵是否构成它的一个基，就要判定：（I）它应当线性无关；（2）

00

中任一元素可被它线性表示，显然（A）中约,62©线性无关，但矩阵U°」不能由白,62段

\_

线性表不；（B）中G是零矩阵，故61,02,63,C4线性相关：（C）中,2,故0］,«2,。3,64线性

ab

Ct=C〃」均可由这组元素性表示:

相关，（D）中白⑼心,四线性无关，且R2X2中任意元素

ah

=ae+be+ce+(4-a)e

cdt、]4

故应选（D）

例3在4维右置空间中,求|谩€=（12-2,-1）健£|=（1』』」）,£2=—）,£3=（1-1,1-1）

下的坐标。

解设J=工向+X2£2+与邑+则得

A'l+x2+x3+x4=1

X]+x2-x3-x4=2

X[-42+必一x4=-2

X|-x2-x3+x4=-\

解此方程组，由

0000

3

11110100

11-1-112

A=

1-11-1-2\_

0010

1-1-11-12

00010

3131

项=。/2=于均=_/,*=0（叼，-/）

得所以在与，内，为%下的坐标为

例4设。，七，…,G为n维线性空间V的一个基，，，%，…%为V的n个元素，n阶矩

阵A可逆，且

证明囚。2,…也是V的一个基。

证设是V的任一元素，在基e»2,…g下的坐标为（自也，…A）则

a=kxe+k2c2H--Fkncn=

h

际内,…,％)§2

A_(6.9)

由题设有

(修,七，…,&〃)=(%，%，…，册)八一,

代入式(6.9)得

回

.L

a=(/,号2,…，〃〃)4？

扇

令

A-1k?=42

从而有

a=Alal+A2a2+…+

可见V中任一向量可由%%，…，。“线性表示,又由式（6.8）知%。2,…,即线性无关。所

以内,％，…，%是v的一个基。

例5设向量组：

一2.3-

=3A=4

B\=,43

(ID

（1）证明向量组（I）与向量组（II）都是3维向量空间一个基;

（2）求由基（1）到基（II）的过渡矩阵；

（3）求向量1=/+2片-32在基⑴下的坐标。

同=|。叵2。3|=10（^=_2Ho

解（1）I1T"，所以外线性无关。对于3维向量空

间的任一列向量，由于必，％，/，。线性相关（11+1个门维向量线性相关），故可由即%03惟

一线性表示。所以它们可以作为3维向量空间一个基。

类似可证得分，夕2,用也是3维向量空间的一个基。

（2）由过渡矩阵的定义，有

（后,色，）3）=（%,%，%）尸

所以过渡矩阵

尸=（%,。2,。3）7综42,63）=

L-1—Ir--1

111123

100234=

1-11143

0

10

1234

-

20-10

1-10-1

-

2

2.

（3）由（2）有

（环尸2，万3）=（即%。3）尸

所以

1

夕=4+2为-3自=（用，尸2次）2=

-3

3，。、,%）尸2=

-3

一234T1-

（%,5,4）0-102

'-I0-lJ|_-3

-4

（囚，©。3）-2=-4。］-2a1+2%

2

故在基因。2，%下的坐标（-4,-2,2）T。

注在n维向量中,从基因，%…，叫到翁尸2,…，乩的过渡矩阵

产=[/A，打，…，夕〃）

例6在3维向量空间中，求任一向量在基因=（121）02=（2,3,3）,4=（371）和基

2=（3,1,4）,尸2=（5,ZD,质=（1,L-6）下的坐标变换公式。

解设向量在两个基下的坐标分别为（由4口）和（）”2»3），从基因.，%到基加心血

的过渡矩阵为

-123『「351-27-71-41

P=237121—9209

131J|_41-64128

坐标变换公式为

L

24

-

・97109.yl

・

I428.y2

y3

J

例7设修，叼与；4，的，&；舟，自，乃是3维线性空间V的三个基，且

%=/+与[A=^i

"/}/^2=e\+e2

a3=<?!+2e2+2e3[/3=1+62+63

求由基冈。2，%到基四,£2,用的过渡矩阵和坐标变换公式。

解把题中所给囚，%，％及外生，片与。，七勺的关系式表示成

-i0I-

(四。2，。3)=(4,62,63)012=(q,^,^)4

(6.10)

(A夕20)=(4，。2，&)01=(6，02，«3)8

00

(6.11)

显然1+叫叫由(6.10)得

代入式(6.11)得

(。\，。2*。3、尸(。\、。2'。3)八'B

则过渡矩阵为

10221

P=A~'B=01231

10-1-10

设是V中任一元素，它在两个基下的坐标分别为(木用足)的“02龙)，则所求坐标

变换公式为

2>1

巧=尸为%

巧>'3

例8在口2乂2中，定义变换7(a)=Aa-M。€A2巴A是R2乂2中一个固定的二阶方阵。

证明T是R2X2内的一个线性变换。

证设。，夕£a2,4，4,则有

T(Aya-k-Zyp)=A(A1a+fl)-(2)<2+^p)A.=

XxAfy¥ZyAfi—2^c/A—ZyfiA=

4(Aa-a4)+22(4/-/J4)=

47(。)+47(尸)

故T是线性变换。

注线性变换就是保持线性组合的变换。

例9在K中，T表示将向量投影到w)y平面的线性变换:

T(xex+ye2+ze3)=xei+ye2

rr

其中勺=(1,0,0),e2=(0,1,O)。⑤=(0,0,l)

(I)求r在基6，内,63下的矩阵。

(2)取一个基。="尸=62，/=，+62+63,求7在基下的矩阵。

解(I)由于

T(el)=el

<T(e2)=e2

T(e3)=0

100

(T(eJT(e2),T(e3))=(6,G,G)01°

000

所以r在基6，与，03下的矩阵为

I0o-

010

000

(2)由于

T(a)=T(et)=et-a

T—=62=/

T(y)=T(el+e2+e3)=e]+e2+Q=a+fl

即

i()r

(Tg)、T(价,T(y))=(a、仇y)011

000

故7在基久氏/下的矩阵为

1O--

o1-

OOO

注此例说明，同一线性变换在不同基下的矩阵是不同的。

例10设R3内的线性变换T在基本单位坐标向量©12，63为基下的矩阵

-2-1-f

-12-1

-1-12

（1）求T在基河，外，网下的矩阵，其中

尸I=［；］，尸2=\，尸3=,

（2）设向量L3J,求丁（。）在基河，外，自下的坐标（必，乃，力）,及丁。）。

解⑴先求由基巧色，仁到基4，42，43的过渡矩阵尸。根据342，%）=（勺，62，。）〃得

i-i-i］1r।11-

P=110P-1=--I2-I

1013-1-12

由定理3知，「在基加，〃2,外下的矩阵为

B=p-TAP=

00

1112-I-11-1-1030

-12-I110003

3—1—12-1-121010

（2）先求79）在基SS,Q下的坐标,根据线性变换在向量空间中的表示有

2-1-11r-3

T(a)=Aa=-12-22=0

-1-1233

由根据定理2知

0

.Vi-3111-O30

,V202-133

乃33-1-12

在自，月2,夕3下,T9)为

-3

T(a)=3。、=0

一3

目测题

1、填空

(1)R22的维数dimR2<2=。

(2)R，中，向量0=023)在基冈=(UJ),%=(110。3=(10°)下的坐标为。

(3)已知四，％，%是线性空间中的元素，V中任一元素都能四，%，内线性表示，则

必须时就成为V的一个基。

(4)设R3中，-63为基本单位坐标向量,%=勺+S+e3为R3

的一个基，则由基白e/3到基％，%。3的过渡矩阵P=。

(5)设R3内的线性变换为T(x,y,z)=(x,0,0),其中(x,y,z)为R3中的任一向量,则T在基

61/2/3下的变换矩阵A=o

2、单项选择题

(1)齐次线性方程组

3,V1I2K2-5X3»4X4=0

«3X[-4X2+Ilx3-10x4=0

3%1+5X2->3占+1LV4=0

的解空间的维数为()

(A)I(B)2(C)3(D)4

(2)构成R3的子空间乙={8丁")|z=x+y，x，蚱R}的一个基的向量组是()o

(A)a\=(L。,。),%=(0,1,0),=(0,0,1)

(B)%=(-=(LL2)

(C)%=(1,。」),。2二(。』」)

(D)四=(10),%=(-220),%=(0,1,1)

3、下面给定R3中的一组向量囚，。2，。3和向量，证明%，%，%是R3的一个基，并求向

量在基冈。2，%下的坐标，

(1)%=(1,1,1),%=—%=(U)；a=(121),

(2)°\=(1,1,0),a2=(1,1,1),a3==(0,1,0)o

(3)°】=(1,3,5),%=(6,3,2),%=(3J,0);a=(3,7,1)

4、在R3中，取两个基：

四=(1,2,1),%=(2,3,3),%=(3,7,1).

■=(3,1,4),62=(521),尸3=(LLY)。

求坐标变换公式。

5、设四，%，%，%是R4的一个基，求由这个基到基阳，。3，。4,囚的过渡矩阵。

6、在R4中取两个基：

e,=(1,0,0,0)%=(2,11)

°2=(OJOO)%=((),3J,0)

4=(0,0,1,0)'ay=(5,3,2,1)

a=(6,6,1,3)

e4=(0,0,01)4

（1）求由基eigq值到基％的过渡矩阵；

（2）求向量（0,0,0,1）在后一个基下的坐标；

（3）求在两个基下相同坐标的向量。

7、判定下列