考研数学二模拟392

考研数学二模拟392

一、选择题

每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.

1.设g(x)可微，f(x)=ln2(l+g(x))+21n(l+g(x)),f(1)=1,62

则g(D=

A.1.

B.0.

C.2.

1

D.F

正确答案：B

[解析]按题设

io

f9=21n(l+g(z))—j-『y7-

1+g{x)14十gO)

=^r^-rg，(x)Eln(l+g(x))+1]

令n=1=>

/⑴=匚3帮'⑴[ln(l+g(D)+l]

1十g(l)

B|J

91

1=1+g⑴.29

g(l)=ln(l+g(D)=>g(l)=o选民

方程x=ln(l+x)有唯一解x=0.

2.设［0,4］区间上y=f(x)的导函数的图形如图，则f(x)

A.在(0,2)单调上升且为凸的，在(2,4)单调下降且为凹的.

B.在(0,1),(3,4)单调下降，在(1,3)单调上升，在(0,2)是凹的,在(2,4)

是凸的.

C.在(0,1),(3,4)单调下降，在(1,3)单调上升，在(0,2)是凸的，在(2,4)

是凹的.

D.在(0,2)单调上升且是凹的，在(2,4)单调下降且是凸的.

正确答案：B

/Cr)<0=>/(z)在(0,1),(3,4)单

［解析］当x£(0,1)或x£(3,4)时,

/包)>°=/(.在(1,3)单调上升

(0,2)单调上升“八"在(0,2)是凹的;f'(x)在(2,4)单调下降〉八］)在

(2,4)是凸的.因此，应选B.

31L7i-^

A.n.

n

B.?

7t

c.亍

7V

D.T-

正确答案：B

［解析一］令

tJ1-产1+―14

2，dx/1|2\2山二

■r(1+r)2

,十89/2r+<».i

(11内&=一4(=］

0\1It)Jo\，Z

+8

=arctanzTT

1+〃00l+do2'

=0+1.2arcsin2^=f

［解析三］令工=sin"=>

7£_n

岸焉2simcos也=2sin2rd/=2•—=

JoII-7,

4.下列命题中正确的是

A.设(Xo,f(Xo))是y=f(x)的拐点，则x=Xo不是f(x)的极值点.

，z

B.设X=Xo是f(x)的极小值点,f(x)在X=Xo二阶可导,则f'(Xo)=0,f(x0)>0.

C.f(x)在(a,b)只有一个驻点Xo,且X。是f(x)的极小值点,则f(xo)是f(x)在

(a,b)的最小值.

D.若f'(b)V0,则f(b)不是f(x)在［a,b］的最大值.

正确答案：D

［解析一］由举例易知A、B、C不正确.

如图1所示，(xo,f(X。))是y=f(x)的拐点且x=x()是f(x)的极小值点.A

是错的.

4

极小值点X。处口」以有r(Xo)=0.如f(x)=(x-x0),x=x。是f(x)的极小值

点，f〃(x°)=O.B是错误的.

若f(x)不连续，命题C不正确，如图2.

f(x)在(a,b)有唯一驻点x。，是f(x)的极小值点，但f(x。)不是f(x)在

(a,b)的最小值.因此,选D.

正确答案：A

［解析］因为改变有限个点的函数值，则不改变函数的可积性与积分值，所以

)⑴*=1(/+淤)山

e，x2是偶函数且处处连续，由变限积分函数的性质知J。是

奇函数且处处可导.

因此选A.

(J/(Z)dz)z=(2”+*)dz)，=e，+合，

2=1f/(O),1/Q)d£

=(eJ+〃)

1=00不是

f(x)在含x=0区间上的原函数.事实上，x=0是f(x)的第一类间断点(可去间断

点)，它在含x=0的区间上不存在原函数.

6.设常数0<a<l,区域D由x轴，y轴，直线x+y=a以及x+y=l围成.

I=sin2(x4-y)da^Jln3(jc+j/)dcT,K=(«z+y)d。,

、一IJdvv

记DDD

则I,J,K的大小关系是

A.J<K<I.

B.J<1<K.

C.I<J<K.

D.I<K<J.

止确答案：B

［解析］在食域D上有OVx+yWl,于是

In3(x+y)^0<sin2(x+y)<(x+y)2^(x+y),且它们互不恒等，连续，因

此，它们在D上的积分值满足

(z+jOdo<JJsin2(z+y)da<+y)da

DDD

应选B.

7.已知A是3阶矩阵且.=一

A.16.

B.-16.

C.256.

D.-256.

正确答案：D

(M)"1=

［解析］由(kA)"二k"*知(2A)*=22A*=4A*,又k

有3)'以及A*=|A|AT得

+(2»=|5A'1+4A，|=|5AT-A.1I

=14A7|=43|人一||=一256.

8.已知。=(L-3,2)T,3=(0,1,-1)T,矩阵A=2Ba1+7E,则矩阵A的最

小特征值的特征向量是

A.a.

B.B.

C.a+B.

D.a-P.

正确答案：B

［解析］B=3aT,则秩r(B)=L

由=-5,知矩阵B的特征值是-5,0,0.

那么矩阵A=2B+7E的特征值是-3,7,7.

矩阵B关于入二-5的特征向量就是矩阵A关于人=-3的特征向量.

而BB二(BaT)p=0(aT6)-5P,

所以应选B.

二、填空题

lim「与=A>0,

1.设既>0(n=l,2,3,…)且L8J%”则

liman=.

n—8

正确答案：

1

［解析］记

■+8

dz1+<»]

y=—=——

nan"n%皿*

1

w：=~^an

yn赤河

lima”1

n-*oo

limy/n=1,lim=limy，=A°=1.

其中

/(x)=limM(e"十以红>0),

2.已知-8n则f(x)的连续性区间是

正确答案：

(0,+8)

［解析］当0<xWe口寸

1回1+(三])

/(x)=lim--------------------=lim"+(9)3

Ft—8n

n

当x>e时

1,(0<x<e)

f(1)=

Inx,(x>e)

显然，XG(0,+8),x中e时f(x)连续，又f(x)在x=e左连续且右连续,

f(x)也在X二e连续.

因此f(x)的连续区间是(0,+8).

3.已知f(x)(xe［0,+8))为非负连续函数，且满足

/(x)f(x—z)dz=x3,

J0则f(x)=.

正确答案：

\/2x

［解析］注意

/(x)/(x-z)dz=/(x)/(x-t)dtf(x)/(s)ds

oJoJo

f(工)f(s)ds=x3

于是原方程改写成J。

6(%)=/(5)d5,我("■(")=13,4d02(%)=X3dx

先求J。由dz2

及①(0)=0,

02(X)=yX4,0(X)=-pT2(0(X)>0,X>0)

积分得&

最后得小)=&(G=任.

筝=yuCx.y)+1,”

4.设u=u(x,y)满足且u(0,y)=y~+l,则u(x,

y)=.

正确答案：

--(y2+1+—)

yy

［解析］将y看作常量，这是以x为自变量,函数u二u(x,y)的一阶线性微分方

伴=白(%，?)).

程\Hidx/

改写成

普—yu(x,y)=1

dx

两边乘e』'得

卫y”)=e-

dx

对X积分得

e^u=--e^y+C(y)

y

由“(0,))=y+1=>

y+i=」+c(”,c(»)=y+i+J_

yy

因此

u=—5+()2+1+9)e。

5.设小(z)有连续导数，l-y6,(z)WO,z=z(x,y)由方程x=x+y6(z)确定,

则dz=.

正确答案：

A=也+“⑴”

y(p(z)

［解析一］将方程z=x+y巾(z)两边求全微分0

dz=dx+d(y<t>(z))

dz=dx+<i>(z)dy+y6'(z)dz

也=dx+.(/)d.

移项并解出1—冲(z).

dz旨卫

［解析二］先求出

方程两边分别对X求偏导数并注意X,y为自变量，z=z(x,y),于是由复

合函数求导法得

窘=1+娟(幻/

解出

dz=］

3x1-*'(N)，

同理，方程两边对V求偏导数得

3z3z

狼=(p{z}+肉'(z)方

dzW(N)

dy1-y(p(z)1

因此

dz=*di+空4=竽土唠半

oxdy1-y(p(z)

6.已知A是3阶非零矩阵，且矩阵A中各行元素之和均为0,又知AB=0,其

-1o—r

-101

中B二L10-1」，则齐次方程组Ax=0的通解是_____.

正确答案：

TT

k^l,1,l)+k2(l,-1,1),knk2为任意常数

［解析］矩阵A各行元素之和均为0,即

故(1,L1),是齐次方程组Ax=0的一个解.

-1-

A—1=0

由ABO,知L1」,故(1,-1,1厂也是Ax=0的一个解.

从而Ax=0至少有2个线性无关的解，即n-r(A)22,亦即r(A)Wl,又因

A是非零矩阵，又有r(A)21.

故必有r(A"l,那么齐次方程组Ax=0的基础解系由n-r(A)=2个线性无关

TT

的解向量构成，所以其通解为：kt(l,1,l)+k2(l,-1,1),k”k?为任意常

数.

三、解答题

15〜23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

1.已知曲线在直角坐标系中的参数方程给出：

x=tint9y=皆(2>1)

(I)证明x=tint(t@［1,+8))存在连续的反函数t=t(x)(x《［0,+8))

且该参数方程确定连续函数尸y(x),xe［0,+8)；

(H)求y(x)的单调性区间，极值点，凹凸性区间及拐点.

正确答案：

InZ

y=­

［证明］先证x=tlnt单调，必存在反函数，于是t确定y=y(x),再用参

dy,(J?y,

数求导法求出di'd/'然后求出单调性区间，极值点，凹凸性区间及拐点.

(i)因为£=(zlnf)'=Inz+1>0(E>l)=>x=HnZ在口，+

8)单调上升，值域是［0,+8)=>x=tlntm反函数,记为t=t(x),它在［0,+8)

连续，t(x)21(单调连续函数的反函数连续).再由连续函数的复合函数的连续

lnz(x)记z、

性寅外在［0,+8)上连续.

(H)现知y(x)在［0,+8)连续，再由参数式求导法有

>0(l</<e)>0(0<x<e)

步尹宁/。+丽晶=。Q=e)=0(J=e)

l<0Q〉e)<0(x>e)

因此y(x)的单调增区间为x£［0,e］,单调减区间为［e,+8),x二e为极

大值点

d2y_dT1-ln£-I_/1—ln£包

d?=£12(l+lnC」=G2(l+lnO/，石

一｝产(1+In力一(1一Inz)(2z(l+Inz)+力1

>(l+lnt)2I+ku

<0(1<Z<e")[<0(0<％V盘/')

2(ln2/-2)

<=0(t=e77)<=0(x=TFe")

£3(l+ln/)3

>0(£>e")>0(工>a群)

因此［0,2e"］为："x)的凸区间，［J2e”‘+8)为凹区间，拐点的横坐

标是z=成6万.

［解析］x=zln£"f+—►+8，于是J巴丁lim—=0,

(-*4*00t

因此y=y(x)有渐近线y=0.

抛物线yr?上任意点(a,a2)(a>0)处引切线L,在另一点处引一切线L2,L?与

L垂直.

2.求Li与1.2的交点横坐标XI；

正确答案：

［解］抛物线yf2在点(社，1)处的切线方程为

Li：y=a2+2a(x-a)即y=2ax-a2.

另一点(b,b9处的切线方程为

22

L2：y=b+2b(x-b)即y=2bx-b.

=26，b=~

由L与L2垂直2。即4a

Li与L2的交点(X"力)满足

2oxi-a2=2&r]-b2°」

乙

b=—4

代入4a得

4=[«一新・

S(a)=+7-);

3.证明：L”L?与抛物线尸x2所围图形的面积12\4"

正确答案：

[解]L,Lz与尸X?所围图形的面积

S(a)=1[_x2一(2bx—6,)]ckr+[①？一(2or—a2)Jdjr

JbJX|

=f1(j7-b)2dx+f(x—a)2dx

JbJJr1

=-5-(x1-b)3-—a)3

0o

=[(©-6)3+4(。一11尸

oJ

由小的表达式112,知©一°=Q_Z|=>

SQ)=乳一勺尸=如一#一珂=却

4.问a>0取何值时S(a)取最小值.

正确答案：

［解］求导解最值问题

22

S\a)=l(a+±)(l-^)=l(a+±)

1

<0,0<a<y,

乙

V=0,a==>a=■时S(a)取最小值.

>O,a>y.

乙

设函数y二y(x)在(-8,+8)有二阶导数，且y'WO,x=x(y)是y=y(x)的反函

数.

普+(票T)停『=0

5.试将x=x(y)满足的微分方程d?'d*J\ay/变换为y=y(x)

满足的微分方程；

正确答案：

［解］这实质上是求反函数x=x(y)的一、二阶导数问题，由反函数求导公式知，

dz_1

dyd)

dx

再由复合函数求导法知，

也=&(也)=曲

dy?dy\dy/dyNdzJ/dj?\\dx/)dy

=_/dy\2也也一也住,

\dx/dx2dydx2Id，

代入原方程得

-会(新+(*T(初=。

即

数=(如惟⑴

6.求满足y(0)=0,y'(0)=1的产y(x).

正确答案：

［解］求y刊(x)就是求解满足初始条件y(0)=0,y'(0)=1的可降阶微分方程

力=3，

(1).看作不显含因变量y的类型，令d«z'得

事ax=P(p—1)

这是可分离变量的方程，分离变量解得

p=1(p=0不合题意)

或

(土一")切="(2)

@=1

由p=l得d",再由初值得y=x.

由⑵式积分得

出|宁卜“+。一宁=3

即

［=1-Cex

由初值得C=o,仍然只求得y=x.

因此求得y(x)=x.

［解析］①这也是不显含x的一类可降阶的二阶微分方程

会Y嘘)⑶

P=g,

令d%'并以y为自变量，由

d2^_dP_dP.dy_pdP

dx2dxdydxdy

方程⑶化为一阶微分方程

P患=/（"）•

对于原方程（1）,我们得

尸詈=P（尸一1）

（P=o不合题意），于是分离变量得

上二dy

P-1）

积分得

ln|P-l|=y+Ci,P-l=Cey

半=P=1,

由y=0时，，P=1得C=0,因此"再由y（0）=1得yX.

②这也是伯努利方程（大纲中不要求，若熟悉），P=0不合题意，PWO时改

写成

1।1_!

P2dz十P

4G）一/=——对专是一阶线性的）

两边乘屋得

积分并注意到P（0）二1得

=e-xP=1

孚=1

由di及y（0）=0得

y二x.

1

J=

7.求不定积分

正确答案：

［解］方法一

sinx1

J=—dtanT=’an"tanjr----r-dx

JcosxCOSJCcosx

r、2

tan%1-COSX2—J+dx

COSJCcos'#cosxJCOST

一71tanzdx

+y

百，Jcosz

而

dsini+r^-

dsinz

2

JCOSJ：•1-sinx=s(目sinjr1-s\nx

1i1+sin]।》

=TlnF^+c

因此

J=—四+Jln；+sR+c,C为V常数.

J2cosx41-sinx

方法二

dsinx1112

+；-.dsinz

J=.(1-sin2z)24J\1+sinz1-s\nx

=j/dsinzdsinz1+I-

_了..(1+sinx)J(1-sinx)2.4+siaz1-sinx

1「11lljHin£l

+n+C

4Ll-sinx1+sinz1-sini

；包竽+4足卢&+C,C为V常数.

Lcosx41-sinz

r1=-°--------y）的皿

8.求极坐标系中曲线1+cos。

正确答案：

［解］先求

sinG

r(0)=

(1+cos。)2

J五工Tosjy+

，产(J)+厂”(J)

3

(1+cos。)」(l+cosG”

按弧长计算公式得

22

VrCd)+r(0)d0=21——息~~rd6

J。(l+cosd*

=2<__^的=2/心力

Jo2^30JoCOSZ

2o2cos—

乙

=2「上组+工由上上包区］广

"

L2cosx41-sirrr」Io

=V2+ln(H-V2).

蒙+翳1,

9.设f(u,v)有二阶连续偏导数，且满足又

g(z,y)=f(◎，•1•(12—y2)),求骁十#•

正确答案：

［解］由复合函数求导法得

半=yfx+/2亭=x/1-yff2

笑=凸3)+申九)+/

%dXdX

=y(yf〃ii+J12)+]("1】+"'22)+/1

2f

=yf\\+2xyf\2+12f22+/2①

箓=忖3一谓g-八

=x(xfn-yf\z)-yGf\-yfi2)-/z

zf

=-2xyfzl+yf22-f2②

现将①，②式相加得

2

碧+衿=(三+J)(几+f22)=/+y

oxuy

其中由条件知—=1.

J=(x+y)cLrdy,

10.求二重积分D其中口由直线x=a,x=0,y=a,尸-

a及曲线x?+y2=ax,(a>0)所围成.

正确答案：

［解法一］将D看成正方形区域与半圆形区域的差集，在半圆形区域上用极坐标

变换.于是

"acoS

2

xdxdydy-dOrcosGd厂

Jo.o

0

3、aco“？Q"三

4

(Y)dd=与一azcos9d0

=A\o/nZOJ0

a3a33Q1naa3

———•—•—•—=———7r

23422216

J=2zd/dy+0=Q-------n.

JJo

于是Dl

如果积分区域关于X轴(或y轴)对称，考察被积函数关于y(或X)的奇偶

性，往往会简化计算.

Jxclzdy：

［解法二］在直角坐标系下计算％

ara

xdxdy=xdxdy=z（a-一72）dr

23Jo.Jo

D!

X

0

令N----=-ysinr/»-£

2a.a

2sm七cost•葛costdz

J-2乙

17ta3

=0+

他r*7=i6x,

而zw=f

或

a2

xJax—x2dj：T——di

o2

=白屋（利用了奇函数的积分性质与定积分的几何意义）.

10

U"d@=苧一卷，;=a3_a：

因此马于是8

［解法三］被积函数X对x是奇函数，但积分区域D1关于y轴不对称，但

aa

JC=—U=X----,12=v,

关于2对称.作平移变换:2）则Di变为

DZ|:―y<«<会J传）一必4七&a

关于V轴对称，于是

J=2ffFu+dudv=0+a

机LN」机

=a•D\的面积=Q1=a，一

［解析］J的积分区域如图阴影部分，设立为由圻a,x=0,y=a,

y=’一—日所围.

由于D关于x轴对称，故

jjzdrdy=2

DD1

11.设P(x)=x4ax2+bx+c,a,b,c,为常数，方程P(x)=O有三个相异实根

.”“(力山VO,令F(z)=「PQ)ck,

Xi,x2,x3,且X|Vx2VX3，又，求

证；

(1)尸6)在(-8,X3)恰有两个零点；

(n)F(x)在&3,+8)恰有一个零点.

正确答案：

［证明］对V常数a,b,C均有

limP(x)=limx31+—H—F+3=i0°.

Xf±8J*f±8_JCJCJC

进一步按题设应有

P(x)<O(x<xJ,P(x)>O(xE(xi,x2))

P(x)VO(x£(X2,x;.)),P(x)>0(x>x3)

P(x)在(-8,+8)连续.

时

=>F(«r)在(_8,xj无零点.F(X1)=O.

当x《(x”xj时P(Z)>ome(©，⑥］时

rx

F(z)=P（£）dE>0

在（x“xj无零点.

因F（x）在［X2,xj连续，又

F(X2)>O,F(X3)=F(z)ckV0=>3^6(g,%3),F(f)=。，

即

F(x)在(X2,xj有零点.又因

(x)=P(x)<O(xe(x2,x3))

=>F(