考研数学三（线性代数）模拟试卷141

考研数学三(线性代数)模拟试卷141

一、选择题(本题共3题，每题7.0分，共3分。)

1、设A、B均为n阶非零矩阵，且AB=O,则A与B的秩()

A、必有一个为零

B、均小于n

C、一个小于n,一个等于n

D、均等于n

标准答案：B

知识点解析：因A#0,BWO,故r(A巨1,r(B)>l.又AB=O.r(A)Vn,否则

r(A)=n,则A可逆，WA-|AB=O,即B=O,这与BRO矛盾，故必有r(A)Vn,同

理有r(B)Vn,故只有B正确.

2、设有向量组四=(1,1,2,4),a2=(0,3,1,2),〃=(3,0,7,14),

04=(1,—2,2,0),a5=(2,—1,5,10).则该向量组的极大无关组是()

A、aj,a2>013

B、aj,a2，CM

C、eq,。2，«5

D、ai，a2，cu，ct5

标准答案：B

3、设ai=(ai，a2，@3)丁，a2=(bi,ba，bs)T,(13=(5,C2，C3)T.则3条平面直线

aix+biy+ci=O,a2x+b2y+c2=0,a3x+b3y+C3=O(其中&/+也2彳0,i=l,2,3)交于一点

的充分必要条件是()

A、ai，a2，a3线性相关

B、ai，。2，线性无关

C、秩r(ai，a2,ct3)=秩r(ai，a2)

D、a],。2,a3线性相关，而ai，a2线性无关

标准答案：D

知识点解析：题设3条直线交于一点Q联立线性方程组xai+ya2+a3=O有唯一解

(x,y)L由该非齐次线性方程组有唯一解Q(ai，a2)=r(ai，a?,—a3)=2oa],s线

性无关，而a】，a2,。3线性相关，即知D正确.注意C中的条件只保证了方程组

有解，但不能保证解是唯一的，故C不对.

二、填空题(本题共5题，每题分，共5分。)

ab0•••00

0ab•••00

00a•••00

D.=■•*•*

.••.■•■•■

000•••ah

4、b00•••0a

标准答案：aq(一1严]+战

知识点解析：暂无解析

42—21

4t3

5、设A=h-1",B为3阶非零矩阵，且AB=O,则1=.

标准答案：-3.

知识点解析：在条件下必有|A|=0(否则|A快0,则A可逆，用A」左乘AB=O两

端，得B=O,这与BRO矛盾)，=t=—3.

,已知矩阵A相似于B,则秩(A—2E)与秩(A—E)之和等于

标准答案：4.

知识点解析：由条件知存在可逆矩阵P,使P-】AP=B,=>P,(A-2E)P=P-IAP-

2E=B-2E,即A—2E与B—2E相似，故有r(A—2E)=r(B—2E)

-201'-101-

r0—10=000-1

.I0-2.同理得r(A—E)=r(B—E)-10-1」故r(A—

2E)+r(A-E)=3+l=4.

T

7、若向量组ai=(l,1,尔\a2=(i,x,1),ot3=(Z,1,1)T线性相关，则

X=.

标准答案：1或一2.

知识点解析：由行列式|cqa2a3l=一(九一1)2(九+2)=0,=>X=1或入=-2.

8、设入Q为n阶实对称矩阵A的两个不同特征值，xi为对应于入1的一个单位

特征向量，则矩阵B=A—QxixJ有两个特征值为.

标准答案：0,入2.

知识点解析：Bxi=Axi—Xixi(xiTxi)=X]Xi—Xixi=0=0xi,设x2是A属于入2的特征

向量，则BX2=AX2-X|X|(X]TX2)=AX2_X|X|0=AX2=^2X2»故B有特征值。和入2.

三、解答题(本题共19题，每题1.0分，共19分。)

1703

3159

D-

0975

9、设行列式】0959已知1703,3159,975,10959都能被13整除，不

计算行列式D,试证明D能被13整除.

标准答案：将D的第1列的1000倍、第2列的100倍、第3列的10倍都加到第4

列，则所得行列式第4列每个元素都有公因子13.

知识点解析：暂无解析

10、设矩阵A、B满足关系式AB=A+2B,其中A二求B.

-5-2-21

4—3-2|

标准答案：B=(A-2E)-1A-223J

知识点解析：暂无解析

设n阶方阵A、B满足A+B=AB.

11、证明：A—E为可逆矩阵；

标准答案：由AB—B—A=O,=>(A-E)B-(A-E)=E,=>(A-E)(B-E)=E,即知A

一E可逆；

知识点解析：暂无解析

1-30-

210

[002_1时，求A.

1y0

二11o

3

标准答案：A=E+(B+E)~,°0[(或A=B(B—E)「)

18、设矩阵A、B的行数都是m,证明：矩阵方程庆乂=8有解的充分必要条件是

r(A)=r(AB).

标准答案：设B、X按列分块分别为B=[bib2…bp].X=[xix2...xp],则AX=B.o

[AxiAx2...Axp]=[bib2...bp]«Axj=bj(j=l,2,p),故AX=B仃解a

Axj=bj(j=l,2,…，p)有解，故由非齐次线性方程组Axj=bj有解的充要条件可知，

AX=B有解0r(A)=r(Albj)(j=l,2,p)«r(A)=r[Abib2...bp]=r[A:B].

知识点解析：暂无解析

19、设山，az，…，ak(kVn)是R"中k个线性无关的列向量.证明：存在n阶满

秩方阵P使得P以ai，(X2，…，ak为其前k列.

标准答案：取齐次线性方程组的基础解系言，…，4—k，则可证明

ai,…,ak,&，…，&n-k线性无关:设Qai+…秋kak+m&l+…+Nn-k4n-k=0，两

端左乘(九1四+…+九kak)「，并利用四%=06=1,…，k；j=l,…，n—k),得

(Xiai+...+Xkak)T(Xiai+...+Xkak)=0,即II入]囚+…入kakII=0,=入]ai+…+入kak=0，而

ai，...»ak线性无关,=>X1=..=Xk=0,..+|Jn-k^n-k=0,又。1，…，3-k线

性无关，*m=...=gn-k=0,于是证得ai,…，(Xk，旨，…，&n-k线性无关，令矩阵

P=[ai…稣。…匕n-k]，则P为满秩方阵，且以ai，…，ak为其前k列.

知识点解析：暂无解析

「】-1irV2

24-22

设矩阵A=1-3-3J与矩阵B」/相似.

20、求a,b的值；

标准答案：A的特征值为2,2,b,由2+2+b=l+4+a,2x2xb=|A|=6(a-1),=>

a=5,b=6；

知识点解析：暂无解析

21、求一个可逆矩阵P,使P,AP=B.

■111-

P=-10—2

标准答案：Lo13.

知识点解析：暂无解析

•32-2-1

-k-1k

22、设A=142-』，问当k为何值时，存在可逆矩阵P,使得PrAP为对角

矩阵?并求出P和相应的对角矩阵.

标准答案：由仇E-A|

A-3-22'A-1-22IA-1-22

=kA+1-60A4-1—k=0A4-1—h

2

-4-2A4-3.A-1-21+3」0oA+I=(x+l)(x-l)-

0,得A的全部特征值为大产九2=-1,入3=1.故A可对角化oA的属于2重特征值

入1=入2=一1的线性无关特征向量有2个Q方程组(一E-A)X=0的基础解系含2人向

一4-22'

=rk0T

量03-r(-E-A)=2Qr(-E-A)L-4-22-=0.当k=0时，可求出A的对

应于特征值一1,一1;1的线性无关特征向量分别可取为四二(-1,2,0)T,

Til]r-1-

P=200,P--1

(X2=(l,0,2)T；013=(1,0,1)T,故得L021JL1.

知识点解析：暂无解析

p22-010

232,P=I01

23、设矩阵A=L23.

001.B=P-'A>,求B+2E的特征值和特征向

量，其中A*为A的伴随矩阵,E为3阶单位矩阵.

r9oo-

7-4

标准答案：B+2ELT-25」的特征值为入尸兀2=9,九3=3.对应于特征值9的

T

全部特征向量为k|(一1,1，0)+k2(-2,0,1严；对应于特征值3的全部特征向量

为k3(0,1,1)T.

知识点解析：暂无解析

24、求一个正交变换，叱二次型f(xi，X2，X3)=XI2-4X22+4X32—4xIX2+4xIX3—8x2x3

成标准形.

4/3V21/3>'

1/V21/35/2-2/3yi

标准答案:1/72-1/3V22/3.yj-化f成f=9ys2.

知识点解析：暂无解析

25、设Q、储分别为n阶实对称矩阵的最小、最大特征值，X1，Xn分别为对应于

n

箱、储的特征向量，记f(X)=XTAX/X'X,XGR,X翔证明：ki<f(X)<Xn,

maxf(X)=Xn=f(Xn)，minf(X)=X]=f(Xi).

标准答案：存在正交变疾X=PY(P为正交矩阵，Y=(yi，y2…，y")，使得xTAX

2T

士二々幻y『+…+猫yn24n(y/+…