第三章试题概率论与数理统计

第三章历年考题

-、单项选择题（本大题共10小题，每

小题2分，共20分）

在每小题列出的四个备选项中只有一

个是符合题目要求的，请将其代码填

写在题后的括号内。错选、多选或未

选均无分。

1.设二维随机变量（X，丫）的分布律

00.10.30.2

10.20.10.1

则P{X+Y=0}=

0

AO2BO3

C.0.5D.0.7

答案：c

2.设二维随机变量(X,Y)的概率密度

f(x,y),

其他,

为

则常数c=(

1

1

A.4B.2

C.2nA

答案：A

3.设二维随机变量(X,Y)的分布律

为

01

00.10.2

10.30.4

设

pj=P{X=i,Y=j}i,j=0,1，则下列各式

中错误的是（）

••

A.poo<poiB.pio<pii

C.poovpiiD.pio<poi

答案：D

4.设二维随机变量(X,Y)的分布

律为

c,2

01

00.10.20

10.30.10.1

20.100.1

则P{X=Y}=()

A.0.3B.0.5

C.0.7D,0.8

答案：A

5.设随机变量(X,Y)的联合概率密

Aexe2y,x0,y0；

度为f(x,y)二0,其它.

则A=()

1

A.2B,1c.2D.2

答案：D

6.设二维随机变量（X、丫）的联合分布

5

____Q_______则P{XY=O}=

11（）

o46

34"1

为（）

7.已知X,Y的联合概率分布如题

6表所示

-10

A.+

001/65/12

1/31/1200

11/300

题6表

F(x,y)为其联合分布函

1

数，则F(0,3)=()

A.0B.2

1

C.iD.4

答案：D

8.设二维随机变量(X,Y)的联合概率

密度为

f(x,y尸

e(xy)X0,y0

其它

0

则P(X>Y)=()

A-B.2

C.tD.；

答案：B

9.设随机变量X与丫独立同分布，它

们取-1,1两个值的概率分别为

13

4,4，则PXY1

()

A±B.;

16

3

C.4D.

答案：D

10.设三维随机变量(x,Y)的分布函数为

F(x,y),则F(x,)

()

A.0B.FX(X)

C.FY(y)

答案：B

11•设二维随机变量(X,Y)的联合分布函

数为F(x,y).其联合概率分布为

()

Y012

X

-10,1

000.30

20.100.2

则F(o,1)=

A.0.2B.0.6

C.0.7DO8

答案：B

12.设二维随机变量(X,Y)的联合

概率密度为

k(xy),0x2,0y1;

[x,y)o,其它.

则k=()

±1

A.4B.3

12

C.2D.3

答案：B

13.设二维随机变量（X,Y）的分

1A

A.5B.10

1

c.2

答案：C

14•设一维随机变量（X，丫）的概

率密度为

4xy,0x1,0y1;

f(x,y)

o,其他，

则当Oy1时，（X，Y）关于Y

的边缘概率密度为fY（V）=

()

A.2xB.2x

C.2yD.2y

答案：D

15.设随机变量X,丫相互独立，其

联合分布为

12

X3

T111

1百18

2a

则有()

1221

A.9'9B.O2*5*9

1221

C.33D.53

答案：B

[1—

691833

P{X2,Y1}P{X2}P{Y1}

11、1

(}-

QQQ

因为

15.­设二维随机变量（X，丫）的联合概

率密度为

2eixO,y0,

f(x,y)

0,其它;则

P{X<Y}

()

解方程组即得

A•4B.寸

c.

答案：B

15..设二维随机变量（X,Y）的联合概

率密度为

e（xy）x0,y0

f（x,y尸0其它

则P（X〉Y二（）

答案：B二、填空题（本大题共15小题，

每空2分，共30分）

请在每小题的空格中填上正确

答案。错填、不填均无分。

16•设（X,Y）~N（0,0;1,1;0）,

则（X,Y）关于X的边缘概率密度

fx（X）二.

答案：

17.设二维随机变量（X,丫）的概率密

度为

axy,0x1,0y1

fx,y

0,其他，ra

吊数a二

答案：4

18.设二维随机向量（X,Y）的联

合分布列为

-101

-10.20.10

000.20.2

10.10.20

贝UP{X+Y=O}=.

答案：0.3

19.设二维随机变量（X,丫）的概率

密度为

1,0x1,0y1;

f（x,y）=0,其他，

1

贝yP{X<2）=.

答案:1/2

20.设二维随机变量（X,Y）的概

率密度为

(x,y)0,其他，

则当y>0时，(X,丫)关于丫的

边缘概率密度fY(y)

■

答案：3

21.设(X，Y)的分布律为

则

答案：1/10

22.设X~N(-1,4),Y~N(1,9)且

X与丫相互独立，则

X+丫〜°

答案:N(0,13)

23.设二维随机变量(X,丫)概率密度

为f(x,y)

3(x

y),0x2,0y1;

0,其它。贝U

fx(X)

11

x,0x2,

答案:36

n甘e八

24,设随机变量X和Y相互独立,它们

X-101Y-1o

1351，3

PP—贝厂

2191244

PXY1

答案节M6

的分布律分别为

25.设随机变量(X，丫)的联合分布

如题16表，贝Ua

答案：2/9

12

11

69

2a

2

题16表

26.设随机变量(X,Y)的概率密度为

f(x,y尸

xy0x1,0y2

0其他，则X

的边缘概率密度fx(X)=

2x0x1,

答案：°其他

27.已知当。x1,0y1时，二维

随机变量(X,Y)的分布函数

F(x,y)22

密度xy，记(X,Y)的概率

"44)

答案：4

28.设二维随机变量(X,Y)的概率密度

为

1,°x1,°y1,

f(x,y)。，其他，

贝(JPX2,

答案：4

Y05

X

11

46

113答案：4

3430.设

29.设二维随机变量(X,Y)的分布律为

(X.Y)的概率密度为exy,x0,y率

f(x,y)=0,其它.

贝M的边

P{X

缘概率密度为fx(X)二

ex0.

答案：0其他

28.设X与丫为相互独立的随机变量，其

中X在（0,1）上服从均匀分布，丫在

（0，2）上服从均匀分布，则（X，丫）的

概率密度f（x,y）=。

-0x1,0y2

答案：0其他

31•设二维随机变量（X,Y）的概

率密度为

1x1,1v1;

f(x,y)4

。，其他，

P{OX1,0丫1}=

1

答案：4

32.设二维随机变量（X,Y）的分布律

为

111

1684

211

1284

则P{Y=2}=___________

1

答案：4

33.设随机变量X〜B(2,p),丫〜B(3,

5

p），若P{X〉1=9，贝VP{Y〉1=

19

答案：27

34.设随机变量（X,丫）的分布函数为

F（x,y）

（1e°5x）（ie°5y）,x0,y00其它

，贝UX的边缘分布函数Fx（x）二

1e05xx0,

答案；。其他

35.设二维随机变量（X，Y）的联合密度为:

A(xy)0x2,0y1f(x,y)=0其它,

则A二

答案：3

36.设随机变量X〜U(0,5),且丫=2X,

则当0<y<10时，丫的概率密度fY(y)=.

—Oy10,

—10

答案：。其他

37.设相互独立的随机变量X,丫均服从参

数为1的指数分布，则当

x>0,y>0时，(X,丫)的概率密度

f(x,y)=________

答案：exy

38.设二维随机变量(X,丫)的概率密

10x1,0y1,

度f(x,y)=0,其他，贝U

P{X+YW1}=

1

答案：2

39.设二维随机变量(X,Y)的概率密度

axy,0x1,0y1,

为f(x,y)=0,其他，贝V

吊数a=

答案：4

40.设二维随机变量(X,丫)的概率密

1221-(Xy)

e2

度f(x,y)=2n，则

(X,Y)关于X的边缘概率密度

fx(X)=.

1_L/

答案：J2e2

40..有十张卡片，其中六张上标有数字3,其余

四张上标有数字7,某人从中随机一次取两

张，设X表示抽取的两张卡片上的数字之和，

丫表示两个数字差的绝对值，贝V(X，

丫)的联合分布律为

14

610

01/302/15

408/150

40..设随机变量X,丫都服从标准正态分布，

且X、丫相互独立，贝fJX,

丫的联合概率密度f(x,y)=

22

xy

答案：2i2e

40..设随机变量(X，丫)的联合概

率密度为

2e2,x0,0y1,

f(x,y)=o,其它；

贝U(X,丫)关于丫的边缘密度

fY(y)=.

1,oy1,

答案：o,其它；

40..设二维随机变量（X,丫）的分

布律为

123

.117

684

111

21284

贝UP{|X-Y|=1}=

11答案：

24

三、计算题（本大题共2小题，每小

题8分，共16分）

41.设随机变量X与丫相互独立，且

X，丫的分布律分别为

X。1Y1，

P13p23

1■55

44

试求：（1）二维随机变量（X,Y）的

分布律；（2）随机变量Z=XY的分布律。

解

X"-12

0

±2±3

4545

1

3233

4545

即

112

0

13

1020

1

39

1020

(2)

(X,Y)(0.1)(0.2)(1,1)

XY0012

P

1339

10201020

ZXY012

139

P

41020

42.设二维随机变量（X,丫）的分布

律为

试问：X与丫是否相互独立？为什

么？

为

o,y0;

其他.

(1)分别求(X,丫)关于X丫的和

边缘概率密度；

(2)问：*与丫是否相互独立，什为

么？2

解：

fx(x)f(x,y)dy

exydy,x0

0,其他

0,其他

由对称性得

e丫，y0

fY(y)0,其他

2)

f(x,y)fx(x)fY(y)

2)

X与丫相互独立

44.设二维随机变量(X,Y)只能取下列数

组中的值：

1

(0,0)，(-1,1)，(-1,3)，

(2,

0)，

1

且取这些值的概率依次为6，

1_L卫—

3，12，12.

(1)写出(X，Y)的分布律；

(2)分别求(X，Y)关于X，Y的

边缘分布律・

解:

-102

001/65/12

1/31/1200

11/300

X-102

P5/121/65/12

Y01/31

P7/121/121/3

四、综合题（本大题共2小题，每小题12

分，共24分）

45.设二维随机向量（X,丫）的联

合分布列为

10.10.20.1

2a0.10.2

试求：(1)a的值；(2)(X,Y)

分别关于X和丫的边缘分布列；

(3)X与丫是否独立？为什么？

(4)X+Y的分布列.

解(1)a=1・(0.1+0.2+0.1+0.1+0.2)=0.3

(2)

X012

p0.40.30.3

Y12

P0.40.6

3)p{X0,Y1}0.1

p{X0}p{Y1}0.40.4

0.16

P{X0,Y1}

p{X0}p{Y1}

因此，x与丫不独立.

(4)

(X，Y)(0,1)(0.2)(1«1)(1,2)(2,1)(2,2)

X+Y122334

P0.10.30.20.1