考研数学（数学一）模拟试卷379

考研数学(数学一)模拟试卷379

一、选择题(本题共8题，每题7.0分，共8分。)

|(J^—f)sin/d/

/Cr)=-、yf才#o,

1、设0*/=0，x8，若f(x)在x=0处可导且导数不为零，则

k为().

A、3

B、4

C、5

D、6

标准答案：C

知识点解析：

j1|sin/d/-JZsin/d/

2x\sin/d/....

i<JQ___1*_2__|，__4/___

*+w—，变I+i)a-】…一，咚a+i)a―I”一因为f(x)在

x=0处可导,所以k-2=3,即k=5,选(C).

丁=/7

2、曲线./-1的渐近线条数为().

A、3

B、2

C、1

D、0

标准答案：A

知识点解析:

limy=8.所以曲线y=e+匚耳无水平渐近线；

因为limy=:x..所以40为曲线y=/士。的铅直渐近线•乂因为】imv=8,所以，=】为

7/一1I

曲线y=/*」耳的铅更渐近线；

X-I

r

因为lim上=lime：".十'=1,lim(v—x)=lim(c»'，「—J)=2,所以曲线的斜渐近

线为y—i+2•故曲线63条渐近线•选(A).

3、设y=y(x)为微分方程2xydx+(x2—l)dy=O满足初始条件y(O)=l的解,则

为()•

A、一ln3

B、ln3

--1-In3

C、w

-yIn3

D、

标准答案：D

吟=延=2i,

知识点解析：令P(x,y)=2xy,Q(x,y)=x?—1,因为"打‘所以

2xydx+(x2—l)dy=O为全微分方程.由2xydx+(x?—l)dy=O,得2xydx+x%y—

dy=O,整理得d(x?y—yi=O,通解为x?y—y=C.由初始条件y(O)=l得C=-1,从

---一：；f>(z)d,r=--yin-r1一"|jn3,

而特解为y(x)=l—,，于是2”+1”2应选D

Jim/(：：”T=4,

4、设f(x,y)在(0,0)处连续，且二：：°,”一1,则().

A、f(x,y)在(0,0)处不可偏导

B、f(x,y)在(0,0)处可偏导但不可微

C、fx'(O,O)=fyXO,0)=4且f(x,y)在(0,0)处可微分

D、fx'(O,O)=fyXO,0)=0且f(x,y)在(0,0)处可微分

标准答案：D

四=4…

知识点解析：由二；°'一।得f(0,0)=1,因为e''—l~x?+y2,所以

lim/3*力哂=4,从而4也用二4°.°)-4+。.

…其中a为当(x,y)—>(0,0)

时的无穷小，于是△kf(x,y)-f(0,0)=0xx+0xy+"(U+y),故f(x,y)在(0,0)

处可微，且fx'(0,0)=fy>(0,0)=0,选D

5、设A为三阶矩阵，其特征值为无=Q=1，入3=2,其对应的线性无关的特征向量

为ai，9,a3,令P=(ai—a2，2a1+(x2，4a3),则P-

]

AP=().

000H00120-100

(A)030(B)010(C)-110(D)010

004002004002

A、

B、

C、

D、

标准答案:B

知识点解析：因为山，我2为11=入2=1对应的线性无关的特征向量，所以。1一(12,

2ai+oi2仍为X1=12=1对应的线性无关的特征向量，乂4(X3显然是入3=2对应的线性

100

010

无关的特征向量，故P/AP二°021应选B

6、设a,0为四维非零的正交向量，且A=a|f,则A的线性无关的特征向量个数

为()•

1个

A.2个

BS

U个

3

A

4个

标准答案：C

知识点解析：令AX=AX,则A2X=/X,因为Q,。正交，所以0rB邛T(尸0,

A2=apT.apT=O,于是好X=0,故乂3=M=0，因为a,。为非零向量，所以A

为非零矩阵，故r(A)Nl；又r(A)=r(a0T)0r(a)=l,所以r(A)=l.因为4一r(OE—

A)=4—r(A)=3,所以A的线性无关的特征向量是3个，选(C).

7、设随机变量X的分右函数为F(x)=0.2Fi(x)+0.8Fi(2x),其中F](y)是服从参数

为1的指数分布的随机变量的分布函数，则D(X)为().

A、0.36

B、0.44

C、0.64

D、1

标准答案：B

Je*.x>0.

知识点解析：设X|〜E(l),其密度函数为f](x)J其分布函数为

l-e【，x>0,

<

Fi(x)=°-/4°，.且E(Xi)=D(X)=l,则E(XI2)=D(X])+[E(X])『=2.由

E(x)=f.oo+ccxf(x)dx=一0.2foo+acxf|(x)dx+l.8yxfi(2x)dx=0.2E(XI)+0.4f.

oo+cc2xfi(2x)d(2x)=0.2E(Xi)+0.4E(X|)=0.6,E(X2)=U+oox2f(x)dx=0.2f.

oo，x2fj(x)dx+l.6f-oo+c°x2fi(2x)dx=0.2E(XI2)+0.2f.

on+QO(2x)2fi(2x)(i(2x)=0.2E(Xr)+0.2E(XI2)=0.8,得D(X)=E(X2)一

[E(X)]2=0.8—0.36=0.44,选B

8、学生考试成绩服从正态分布NQi,32)，任取36个学生的成绩，平均成绩为

60,则p的置信度为0.95的置信区间为

().

60一春.耶(36),60+枭E(36))(B)(60-fo.0“(35),60+N*35))

(C)(60—^-2O.O2-,,60+g-)(D)(60-yzo.05.60+yzo.os)

A、

B、

C、

D、

标准答案：C

知识点解析：

取UL〜N(0.1).

J

6-

/X-pt“

由—20.025<-J--之，g，=0.95得幺的置信度为0.95的置信区间为

~2

60->60+-1t0.o2s>选(C).

二、填空题(本题共5题，每题L0分，共5分。)

..X-JT

1-.r+ln.r

9、

标准答案：2

知识点解析:

Irtr=ln[l4-(x—1)J=(x—1)一J，+o((x—1))»则

1-JT+Inx〜--^*(x-1》•

x—x1=x(l—xz1)=—x[e,r,>lnr-1]〜一(x—1)lnx,

lim产七；=lim=lim-口+(/二Dl=2.

1-I—injr-l1,、z2r-lX-1

一RzD

10、设函数y=y（x）由xy=J（）xyc'出确定，则"i…'

标准答案：一2

知识点解析：x=0代入，得

Q=「"由两边对♦求导•得3+N学=e-<f（1+¥）・

Joaxax

将1=0・y=0代入,得辛=-1;

drLQ

丁+/翌=e3）（1十孚）两边对，求导.

axdx

得2翌+二手¥=-2。+,握,r，t），（l+，1+e”>"售

Ldr"dr山一

将1=0,丁=0,乎=一】代入•得g=-2.

d.r/一.a*j»o

y=0.

u「匚卜―/ITPj+冷>工=----

如

标准答案：8

知识点解析：因为ln"+，】+'l为奇函数,所以

「□=（'+4T7）+静］dL『.席dx

=J;（第十*）"=1（击+—卜'”了必

4

=j"sinxclr=2rsin-d/=2/t-=2XyXyX-1=y.

12、y“一2y'—3y=ex的通解为

标准答案：y=（2+c*，-%'

知识点解析：特征方程为〃一2九一3二0,特征值为入产一1,入2二3,则方程y”一

2/—3y=0的通解为y=CleX+C2e3x.令原方程的特解为yo(x)=Axe"，代入原方程

得A=4,于是原方程的通解为4

13、设总体X〜N(0,『)，且XI，X2，…，Xg为来自总体X的简单随机样本，则

〜.

统计量―

标准答案：K5)

10

知识点解析:因为Xi〜N(0,G2)(i=l,2,10),所以白(一DX〜N(0,

10/)，

IV»5

V(-1)'乂/月。~、(0.1),又X,〜N(0,，)(i=11.12「・・.15),所以\(乂/。)2〜2(5),

AII

噂i>M力际=*警/胞彝~"5).

三、解答题(本题共9题，每题分，共9分。)

limd-----=2,

14、设f(x)在［0,2］上连续，在(0,2)内三阶可导，且"f(l)=l,

f(2)=6.证明:存在年(0,2),使得f"©=9.

lim=2,

标准答案：由］得f(0)=0,f(0)=2.作多项式P(X)=AX3+BX2+CX+D,

解得A==-y.C=2,D-0.

.令®(x)=/(x)—(f-------+2彳),！

使得P(0)=0,P\0)=2,P(l)=l,P(2)=6,*\22/则

(p(x)在［0,2］上连续,在(0,2)内可导,且(p(0尸q)(l)=(p(2)=0,因此(p(x)在［0,1］和

［b2］上都满足罗尔定理的条件,则存在欧W(0,1),2),使得

倘C1尸优&)=0.又8(0尸0，由罗尔定理，存在n£(0,3)，单以欧与)，使得

明川)=4'012户0,再由罗尔定理,存在乐(中，112)u(0，2),使得(p”©=0.而

(p"'(x)=『'(x)—9,所以1(9=9.

知识点解析：暂无解析

22

3tuu=f(x+y,xz),z=z(x,y)由e'+eJeZ确定，其中f二阶连续可偏导，求:

标准答案：由ex+e、'=ez得

再由U=/(j2+-2.取)得.=2xf，\+(z+i■)/[，

疑=〃”“+啜人)想+工薪)人+卜+啮)(2"…豕”)

v2f

=2x(2>/*n4-xe7"：)+(e"，-兴"，»)儿+(z+V)(2yA+x^fn)

=4]>八|+(2fe-+2yz+2xyL”z+<尸一)ft+-+rDfn・

知识点解析：暂无解析

16、椭球面Zi是椭圆L：2=0绕x轴旋转而成，圆锥面＞是由过点4

0)且与椭圆Ljz="相切的直线绕x轴旋转而成.(I)求〉及〉的方程;

(n)求位于〉及Z2之间的立体体积.

至+式+贮=1.

标准答案：(I)〉：’433设切点坐标为(xo,yo),则切线方程为

旦+生=1,y0=±A

43,因为切线经过点(4,0),所以xo=l,2切线方程为

三土史=1，

42则》：(x―4猿=4(y2+z2).(口)〉及〉围成的几何体在yOz平面上

丁+NY弓•

的投影为Dyz：则

=Jd01r(4-2r—，9—3r?)dr-27tj7r(4-2r--|

知识点解析•：暂无解析

4.r3-^H-2（1—>/r）—6y=-e^7.

17、设“必J（I）用变换X=[29将原方程化为y关于t的

微分方程；（U）求原方程的通解.

标准答案：

（]心=如包=1^2.

drdr/d/2tdt

d（~字）d....»1]1t->

也=2t.____=史+JL心）=_+2±y^

d万必/山2/2t2dt2/dr4"dt，[尸市2

代人，得姆（一*窜+*祭）+2（】一/）W*—6.y=e".

整理，得奈一零一6y=心.

（II）特征方程为公一2一6=0.特征值为九=一2,几=3,

方程今一半一6y=0的通解为丁=Ce"+Ce”.

d/*at

令学一$-6y=g的特解为力=A/e”，代人得A=!•故原方程的通解为

）,=Ge，+"必+4-6e：£

知识点解析：暂无解析

,j_K.rdydz+1ydad/+zd.rdy

18、计算曲面积分¥（，+y+/行'，其中Z是曲面2x2+2y2+z2=4的

外侧.

标准答案：令go：x2+y2+z2=l,取外侧，由Z及go构成的几何体为Q,

令p=______3.______.Q=______y______.R=_______£______,

(j;f-vz4-z2)^(JT24-y24-z2(x2+y2+z:

mWP\JQ/+/-22JR一丁十丁一2,

2工(J+_/+〃川(.，+丁2+及号Hz(>+)2+Z2#

由高斯公式得

■2djvdz十ydzd/+zd/dy_邪/djydz+1yd^d.r十？drd1y

(/+y2+之?)手¥(x2+y2+z2)^

因为卜气M冷胖=。图+符+为d『°.

所以/一（ff必d旺迷必+出色=■rdydz+ydNckr+W»

田（/+»2+/）冷(x2+y?+z2)^

工1

=J^.rdj'dc+ydzdz+ud/dy=Jjj3dz>=47r.

-0

知识点解析：暂无解析

0-10134

tt=00-1,c-213

19、设矩阵A满足A（E・C」B）TcT=E+A,其中，000,021

求矩阵A.

标准答案：由AlE-CbycZE+A得A[C(E—C"B)]T=E+A,HPE+A=A(C—B)1,

E=A[(C—B)~E]T,

111

----z-A0—

24

02002O'J

而（。一8）「一E=402,所以A=402=y乙00

44011。

1

1———1•

22

知识点解析：暂无解析

-1】0

-220

4a1

20、设可对角化.(I)求常数a；(II)求可逆矩阵P,使得P」AP

为对角矩阵.

“+1-10

2A—20

-4A-1

标准答案：(I)由％E-A仁=M入-1)2=0得入1=入2=1,13=0.因

为A可对角化,所以r(E—A)=l,

-102-10

由=20000

一40

0J0(U)将入=1代入(入E-A)X=0+

2-10I0

000

000

000

得(E-A)X=0,由ETAT000得入=1对应的线性无关的特征

向量为将Z=0代入伍E-A)X=0得AX=0,由

1

10

-110)1-102

2002]1

0