考研数学三（解答题）高频考点模拟试卷38

考研数学三(解答题)高频考点模拟试

卷38

一、解答题(本题共15题，每题1.0分，共15分。)

limI——(―)ln(1+ax)(a#0).

1、求一口57

标准答案：

解一原式=hm----------------；---------------=hm----------：----------Fa2ln(l+a/J

LOXX-oLX

..ax-ln(l4-ax)/0\..a—a/(l+a«r)a:1a:

="-------P--------(5)=阳----E--------=1•弁讦募=2・

解二原式=1淅？*二山?十°"=1加("/?"(使用命题1.1.1i(6))=(.

L。XL。X/

注：命题1.1.3.1(6)当x—*0时，有x—ln(l+x)〜x2/2.

知识点解析：暂无解析

2、设f(乃=,，f[(P(%)]=L%,且谩巨0,求谩).

标准答案：(pa)=4n(i_”)

知识点解析：暂无解析

3、设某产品的需求函数为Q=Q(p),收益函数为R二pQ,其中p为产品价格，Q为

需求量(产品的产量)，Q(p)为单调减函数，如果当价格为po,对应产量为Qo时，

里|出

边际收益而。•“=a>0,收益对价格的边际效应即/f=c<0,需求对价格的弹性

EP=6>L求po和Qo.

器“•QQP♦片一口♦打

Qdp

dft3.pah-

而!)saW0s

K=pQ<t>求睡.中

/»收

=Q♦?丁=

Q(y新。

QQ(1-力=<•・于姑Q»

标准答案：“Ifo

知识点解析:暂无解析

4、求(而｝的最大项.

标准答案：令

1-Iru*

f(x)=z'(j21),由/(x)=ex得/'(工)=eh•

x'令f(x)=O得

x=e.当xW(O,e)时,f(x)>0；当xW(e,+oo)时,f(x)<0,则x=e为f(x)的最大值

点，于是｛而｝的最大项为畲或数，因为

V2=况<万=旗，所以最大项为我.

知识点解析：暂无解析

5、计算下列各弧长：⑴曲线y=lnx相应于.的一段弧；(2)半立方抛

物线的一支：y=x1<上x=0到x=l的一段弧；(3)星形线x=cos3],y=sin')的

全长；(4)对数螺线p=e2(p±(p=0或(p=2兀的一段弧.

，鼠守—TJ：三市

/I+，=u

If：-v-i^+r】dxtt

⑵s7：jrrya-£J1++&=TL/+*(1++)

(3)S=4/(-3co，*fsin/)’十(3min'，cou)’df

-4j*y9cos4/sin114-9sin4/cos2tdt

=4[T3cos/sinry/cos'f+sin"d/

・6卜sin'rdz=6X~(1-cos*t)™6.

Jo/4

(4)S=JJg(*+d,卬dp=(J”+4e"d夕

司;e""一纷J。=冬"一冬

标准答案:

知识点解析：暂无解析

6、设3阶实对称矩阵A的特征值为1,2,3,m=(-1,一1,1)T和n2=(l，

2,一分别是属于1和2的特征向量，求属于3的特征向量，并且求A.

标准答案：属于3的特征向量和甲，112都正交，从而是齐次方程组

f-X|-x2+X3=0.

L,-2x2-x3=0的非零解.解此方程组，得川=(1，0，1)丁构成它的一个基

础解系.于是属于3的特征向量应为(k,0,k)T.k/).建立矩阵方程A(中，党，

-13/6-1/35/6-

A=-1/35/31/3.

中尸011，2112,3n3)，用初等变换法解得5/61/313/6」

知识点解析：暂无解析

7、设猫，猫分别为n叫〜、一芹"一Xi，Xn分别为对应于

X6R-.X#0

求二元函数

的最大值及最大值点。

3

标准答案：2，在x=Ly=­l处取到。

知识点解析：暂无解析

8、设f(x)连续，且g(x)=J()Xx2f(x-t)dl,求g，(x).

2x22x

标准答案:g(x)=—xfof(x—t)d(x—1)=—xfx°f(u)du=xfof(u)du,g'(x)=

2xf()xf(u)du+x2f(x).

知识点解析：暂无解析

9、设n维向量山，。2，…，am（mVn）线性无关，证明：n维向量内，02，…，即

线性无关的（1）充分条件是a],a2，…，am与仇，02,…，Bm等价.（2）充要条件

是矩阵A=（ai，。2，…，am）与矩阵B=（B1，。2，…，0m）等价.

标准答案：（1）如果<11，（12，…，am与口1，02，…，Pin等价，则r（ai，必，…，

ani）=r（Pi，。2，…，Pm）.由于ai,a2»…，am线性无关，r（a）,g,…，am）=m»

所以仇，的，…，0m线性无关，故充分性成立.（2）必要性.若01，例，…，pm

线性无关，则r（ai，a2，…，am）=K0l，能，…，Pm）=m.由于矩阵的秩就是其列

向量组的秩，所以r（A）=r（B）,又A与B均为nxm矩阵，故A与B等价.充分

性.若A与B等价，则r（A）=r（B）,因为a”。2，…，am线性无关，有

r（A）=m.于是屹…，Pm）=m,所以“，限…，即线性无关.

知识点解析：暂无解析

产sin（工一+式）

10、求1=*"*dxdy,其中D={（x,y）Ix2+y2<Lx>0,y>0}.

标准答案：由对称性得

/=生匕]胖户2"办

(sinj+co3)dgjrsinr2dr=--^cosr21—cosl

0=-2-

知识点解析：暂无解析

11、己知对于n阶方阵A,存在自然数k,使得AkO.证明：矩阵E—A可逆，

并写出其逆矩阵的表达式（E为n阶单位阵）.

标准答案：E=E—Ak=Ek—Ak=（E—A）（E+A+...+Ak-1）,所以E—A可逆，且（4人）一

l=E+A+...+A%l.

知识点解析：暂无解析

某保险公司接受了10000辆电动自行车的保险，每辆车每年的保费为12元.若车

丢失，则赔偿车主1000元.假设车的丢失率为0.006,对于此项业务，试利用中

心极限定理，求保险公司：

12、亏损的概率a；

标准答案：设X为需要赔偿的车主人数，则需要赔偿的金额为Y=0.1X(万元)；

保费总收入C=12万元。易见，随机变量X服从参数为n,p的二项分布，其中

n=10000»p=0.006：EX=np=60,DX=np(1一p)=59.64.由棣莫弗一拉普拉斯

定理知，随机变量X近似服从正态分布N(60,59.64),随机变量Y近似服从正

态分布N(6,0.5964).保险公司亏损的概率

a=P{Y>12}=p［，媛1=P卜看>7・77}=1-0(7.77)^0.

IJ0、5964yo.52964>IJ。、52964>

知识点解析：暂无解析

13、一年获利润不少于40000元的概率保

标准答案：保险公司一年获利润不少于4万元的概率

8=P{12—Y>4)=P{Y48}=P］啜亮熹亍)石取2.59)=0.9952.

'V0.J964V0.J964/

知识点解析：暂无解析

14、一年获利润不少于60000元的概率丫

标准答案：保险公司一