2026年湖南省中考数学压轴题专项训练题库

2026年湖南省中考数学压轴题专项训练题库一、单选题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.已知函数f(x)=x²-2ax+a+3在x=1时取得最小值，则关于x的方程f(x)=0的根的情况是（）A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.无实数根D.只有一个实数根2.在△ABC中，∠A=45°，∠B=75°，BC=6，则AB边的长为（）A.3√2B.3√3C.2√3D.2√23.某校为了解学生对数学的兴趣，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，则下列结论正确的是（）（图略：含扇形统计图和频数分布直方图）A.参与调查的学生共有200人B.对数学兴趣浓厚的学生人数最多C.对数学兴趣一般的学生占比为40%D.对数学兴趣不感兴趣的学生有80人4.已知点A(1,2)和点B(3,0)，将△OAB沿x轴向右平移2个单位，再沿y轴向上平移3个单位，得到△A′B′O′，则点A′的坐标是（）A.(3,5)B.(4,5)C.(3,8)D.(4,8)5.如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，点E、F分别在BC、CD边上，连接AE、AF，若∠AEF=90°，则BE的长为（）（图略：矩形ABCD，点E在BC，点F在CD，∠AEF=90°）A.1B.2C.√2D.√36.已知抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=-1，且经过点(0,1)和点(2,-3)，则该抛物线与x轴的交点坐标为（）A.(-3,0)、(1,0)B.(-1,0)、(3,0)C.(-2,0)、(4,0)D.(0,0)、(2,0)7.在△ABC中，AC=BC=5，AB=6，点D是AB的中点，点E在AC上，连接DE，若∠DEB=90°，则DE的长为（）A.2√2B.3√2C.√10D.48.已知关于x的一元二次方程x²-(m+1)x+m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（）A.m>1B.m<1C.m≠1D.m∈R9.如图，在⊙O中，弦AB=8，弦CD=6，且AB与CD相交于点E，若OE=3，则AB与CD的距离为（）（图略：圆O中，弦AB、CD相交于E，OE=3）A.1B.2C.√3D.2√310.已知函数y=kx+b的图象经过点(1,3)和点(-2,-5)，则当y<0时，x的取值范围是（）A.x<-2B.x>1C.-2<x<1D.x<-2或x>1二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若x²-3x+1=0的两根分别为x₁、x₂，则x₁+x₂+x₁x₂=________。2.在直角坐标系中，点P(a,b)关于原点对称的点的坐标是________。3.已知扇形的圆心角为120°，半径为3，则该扇形的面积为________。4.若一个三角形的边长分别为5、7、x，且该三角形是钝角三角形，则x的取值范围是________。5.已知函数f(x)=x²-4x+3，则f(2)+f(-1)的值为________。6.如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，BC=7，AB=5，则该梯形的高为________。（图略：等腰梯形ABCD，AD∥BC，AD=3，BC=7，AB=5）7.已知样本数据：2,4,6,8,10，则该样本的方差s²=________。8.若关于x的方程kx²-2x+1=0有且只有一个实数根，则k=________。9.已知直角三角形的两条直角边长分别为6和8，则该三角形的斜边长为________。10.如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在AD、BC边上，连接BE、CF，若∠EAF=45°，则∠EBF的度数为________。（图略：正方形ABCD，点E在AD，点F在BC，∠EAF=45°）三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若a>b，则a²>b²。2.在等腰三角形中，底角与顶角互补。3.任意一个四边形都可以内接于一个圆。4.若两个相似三角形的相似比为1:2，则它们的周长比也为1:2。5.函数y=kx+b中，若k<0，则该函数的图象必经过第二、四象限。6.在直角坐标系中，点P(a,b)关于x轴对称的点的坐标是(a,-b)。7.若一个三角形的三个内角分别为30°、60°、90°，则该三角形是直角三角形。8.抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)的开口方向由a的符号决定，a>0时开口向上，a<0时开口向下。9.若两个圆的半径分别为r₁和r₂，圆心距为d，则当r₁+r₂=d时，这两个圆外切。10.在一次抽奖活动中，抽奖概率为10%，则连续抽奖5次都不中奖的概率为0.9⁵。四、简答题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）1.已知二次函数y=ax²+bx+c的图象经过点(1,0)、(3,0)和点(0,-3)，求该二次函数的解析式。2.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，点D在BC上，且AD=BD，求∠ADC的度数。（图略：等腰△ABC，AB=AC，∠BAC=120°，AD=BD）3.已知关于x的方程x²-2kx+k²-1=0有两个相等的实数根，求k的值。4.如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=4，点E、F分别在AD、BC边上，且DE=CF=2，求四边形AEBF的面积。（图略：矩形ABCD，AB=6，AD=4，DE=CF=2）五、应用题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）1.某工厂生产一种产品，固定成本为2000元，每生产一件产品需成本50元，售价为80元。若销售量为x件，求该工厂的利润y（元）与销售量x（件）之间的函数关系式，并求当销售量为100件时的利润。2.如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点D在AC上，且AD=2，点E在BC上，且DE⊥BC，求DE的长。（图略：等腰△ABC，AB=AC=5，BC=6，AD=2，DE⊥BC）3.已知函数f(x)=x²-2x+3，求f(x)在区间[-1,3]上的最大值和最小值。4.如图，在⊙O中，弦AB=8，弦CD=6，且AB与CD相交于点E，若OE=3，求AB与CD的距离。（图略：圆O中，弦AB、CD相交于E，OE=3）【标准答案及解析】一、单选题1.A解析：f(x)=x²-2ax+a+3在x=1时取得最小值，说明对称轴x=a=1，即f(x)=(x-1)²+4。令f(x)=0，得(x-1)²+4=0，无实数根。2.C解析：由∠A=45°，∠B=75°，得∠C=60°。由正弦定理：AB/BC=sinC/sinA，即AB/6=sin60°/sin45°，解得AB=3√2。3.B解析：由扇形统计图可知兴趣浓厚占比30%，频数分布直方图显示兴趣浓厚人数最多。4.B解析：点A(1,2)向右平移2个单位得(3,2)，再向上平移3个单位得(4,5)。5.B解析：连接AE、AF，由∠AEF=90°，得四边形AEBF为正方形，BE=AB=2。6.A解析：对称轴x=-1，即-b/2a=-1，得b=2a。代入(0,1)，得c=1。代入(2,-3)，得4a+2b+c=-3，解得a=-2，b=4，c=1。抛物线为y=-2x²+4x+1，令y=0，得x=-3或x=1。7.A解析：连接DE，由D为AB中点，得AD=AB/2=3。在Rt△ADE中，DE²=AD²+AE²=3²+(5-x)²，由∠DEB=90°，得DE²+BE²=AB²，即DE²+(x-5)²=6²，联立解得DE=2√2。8.C解析：Δ=(m+1)²-4m=(m-1)²≥0，即m≠1。9.B解析：由垂径定理，OE²+AE²=OA²，即3²+(4/2)²=OA²，得OA=5。同理OC=5。由相交弦定理，AB•AE=CD•CE，设AB与CD距离为h，则(8/2)²-h²=(6/2)²-(h+3)²，解得h=2。10.C解析：由两点式得k=(3-(-5))/(1-(-2))=8/3，b=3-8/3=1/3。函数为y=8/3x+1/3。令y<0，得8/3x+1/3<0，解得x<-1/8。11.4解析：x₁+x₂=3，x₁x₂=1，x₁+x₂+x₁x₂=4。12.(-a,-b)13.3π解析：S=1/2×3²×120°π/180=3π。14.7<x<8解析：若最大边为7，则x<7。若最大边为x，则x+x>7，x<7。由钝角条件，x²+7²>5²，解得x>√39/2≈6.24，故6.24<x<7。15.1解析：f(2)=2²-4×2+3=-1，f(-1)=(-1)²-4×(-1)+3=8，f(2)+f(-1)=-1+8=1。16.4解析：作高AH，由等腰梯形性质，AD+BC=2AH，AH=(3+7)/2=5。由勾股定理，AB²=AH²+DH²，5²=5²+DH²，DH=0矛盾，故AH=4。17.8解析：平均数=6，s²=[(2-6)²+(4-6)²+(6-6)²+(8-6)²+(10-6)²]/5=8。18.2解析：Δ=4-4k=0，k=1。若k=0，方程为-2x+1=0，有唯一解。19.10解析：由勾股定理，10²=6²+8²。20.45°解析：由正方形性质，∠EBF=∠EAF=45°。二、判断题1.×解析：如a=2，b=-3，则a²=4，b²=9，a²<b²。2.√3.×解析：只有圆内接四边形才满足对角互补。4.√5.×解析：若k<0，b>0，图象过第一、三、四象限。6.√7.√8.√9.×解析：外切条件为|r₁-r₂|=d。10.√解析：P(不中奖)=0.9，P(5次都不中)=0.9⁵≈0.5905。三、简答题1.解：由对称轴x=-b/2a=1，得-b/2a=1，即b=-2a。代入(0,-3)，得c=-3。代入(3,0)，得9a+3b-3=0，解得a=1，b=-2。解析：二次函数为y=x²-2x-3=(x-3)(x+1)，与x轴交点为(3,0)、(-1,0)。2.解：由AB=AC，∠BAC=120°，得∠ABC=∠ACB=30°。由AD=BD，得∠BAD=∠BDA=30°。∠ADC=∠BAD+∠BDA=60°。解析：等腰三角形底角相等，外角等于不相邻两内角和。3.解：Δ=4k²-4(k²-1)=0，解得k=±1。解析：由Δ=0，得k²-1=0，k=±1。4.解：连接AE、AF，由DE=CF=2，得四边形AEBF为平行四边形。S=AB×DE=6×2=12。解析：平行四边形面积等于底×高。四、应用题1.解：利润y=80x-50x-2000=30x-2000。当x=100时，y=30×100-2000=1000元。解析：利润=售价×销量-成本×销量-固定成本。2.解：连接DE，由DE⊥BC，得∠DEA=90°。在Rt△ADE中，DE²=AD²-AE²=2²-(5-3)²=1，DE=1。解析：由等腰三角形性质，AE=B