自考《数学教育》专业-近世代数习题指导

自考《近世代数》练习1与答案

一、判断题1下列命题你认为正确的在题后括号内打”J〃，错的打”X〃；每小题

1分，共10分)

1、设A、B、D都是非空集合，则A人B到D的每一个映射都叫作二元运算

.()

2、设A与B都是非空集合，那末A同B二如二A且x=B)()

3、如果循环群G=(a)中生成元a的阶是无限的，则G与整数加群同构.

()一

4、只要f是A到A的一一映射，那末必有惟一的逆映射f-i.()

5、如果群G的子群H是循环群，那末G也是循环群.()

6、群G的子群H是不变子群的充要条件为Vg=G,Vh=H;g-Hg坚H.()

7、如果环R的阶,2，那末R的单位元1丰0.()

8、若环R满足左消去律，那末R必然没有右零因子.()

9、F(x)中满足条件p(议)=0的多项式叫做元议在域F上的极小多项式.()

10、若域E的特征是无限大，那末E含有-个Np)同构的子域，这里Z是整数

环,(P)是由素数p生成的主理想.()

二、单项选择题(从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其写在题

干后面的括号内.答案选错或者未作选择者，该题无分.每小题1分洪10分)

1、设A,A,,A和D都是非空集合，而f是A人A人…人A到D的一个映射，那

12n12n

么()

①集合A,A,,A,D中两两都不相同；

12n

②A,A,,A的次序不能调换；

12n

③A人A人…人A中不同的元对应的象必不相同；

12n

④一个元(a)的象可以不惟一.

12n

2、指出下列那些运算是二元运算()

①在整数集Z上,a。b二②在有理数集Q上,a。b=^aJ；

ab

③在正实数集R+上,a。b=alnb；④在集合《二Z|n>ohh,a。b=|a—b|.

3、设。是整数集Z上的二元运算，其中a。b=max{a,b}(即取a与b中的最大者),

那末。在Z中（）

①不适合交换律；②不适合结合律；③存在单位元；④每一个元都有逆元.

4、设（G,o）为群，其中G是实数集,而乘法o:aob=a+b+k,这里k为G中固定的

常数.那末群（G,。）中的单位元e和元x的逆元分别是（）

①0和-x；②1和0；③k和x・2k；④・k和-（x+2k）.

5、设a,b,c和x都是群G中的元素且X2a=bxc-i,acx=xac,那末x=（）

①beTae②ciar；③a-ibcc@bica.

6、设H是群G的子群,且G有左陪集分类{H,aH,bH,cH}.如果6,那末G的阶

小（）

®6；②24；③10：@12.

7、设f:G）G是一个群同态映射，那末下列错误的命题是（）

12

①f的同态核是G的不变子群；②G的不变子群的逆象是G的不变子群；

121

③G的子群的象是G的子群；④G的不变子群的象是G的不变子群.

1212

8、设f:R）R是环同态满射,f（a）=b,那末下列错误的结论为（）

12

①若a是零元,则b是零元；②若a是单位元,则b是单位元；

③若a不是零因子，Mb不是零因子；④若R是不交换的，则R不交换.

21

9、下列正确的命题是（）

①欧氏环一定是惟一分解环；②主理想环必是欧氏环；

③惟一分解环必是主理想环；④惟一分解环必是欧氏环.

10、若I是域F的有限扩域,E是I的有限扩域,那末（）

①（E:I）=（E:I）。：F）；②（F:E）=（l:F）（E:l）；

③（l:F）=（E:F）（F:I）；④（E:F）=（E:I）0:F）.

三、填空题（将正确的内容填在各题干豫备的横线上，内容填错或者未填者，该空

无分每空1分，共10分）

1、设集合A=B={1,2},则有B根A二.

2、如果f是A与、间的---映射,a是A的一个元，则f-木⑸］二.

3、设集合A有一个分类，其中A与A是A的两个类，如果A丰A,那末

iJii

2/8

AnA=.

ii

4、设群G中元素a的阶为m,如果加二e,那末m与n存在整除关系为.

5、凯莱定理说：任一个子群都同一个同构.

6、给出一个5-循环置换冗=(31425),那末冗t.

7、若I是有单位元的环R的由a生成的主理想，那末I中的元素可以表达为.

8、若R是一个有单位元的交换环」是R的一个理想，那末%是一个域当且仅当

I是.

9、整环I的一个元p叫做一个素元,如果.

10、若域F的一个扩域E叫做F的一个代数扩域,如果.

四、改错题(请在卜.列命题中你认为错误的地方划线，并将正确的内容写在豫备

的横线上面.指出错误1分，更正错误2分.每小题3分，共15分)

1、如果一个集合A的代数运算。同时适合消去律和分配律,那末在a。a。…。a

12n

里,元的次序可以掉换.

2、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合G作成一个群，如果满足G对

于乘法封闭；结合律成立、交换律成立.

3、设I和S是环R的理想且I坚S坚R,如果I是R的最##想,那末S±0.

4、惟一分解环I的两个元a和b不一定会有最大公因子，若d和d，都是a和b的

最大公因子,那末必有d=d，.

5、a叫做域F的一个代数元，如果存在F的都不等于零的元a,a,…，a使得

01n

a+a+a...+aan=o.

01n

五、计算题(共15分，每小题分标在小题后)

1、下列四个四元置换

组成的群G,试写出G的乘法表，并且求出G的单位元与冗T,冗T,冗T,冗7和G的

1234

所有子群.

2、设Z={[()1团,blLJ,151}是模6的剩余类环，且f(x),g(x)=ZM.如果

66

f(x)=bk+Hx+L]、g(x)=Lk+Hx+b],计算f(x)+g(x)、f(x)-g(x)和

f(x)g(x)以与它们的次数.

六、证明题(每小题10分，共40分)

1、设a和b是一个群G的两个元且ab=ba,又设a的阶|a|=m,b的阶|b|二n,并

3/8

且(m,n)=1,证明：ab的阶a|b|=mn.

2、设R为实数集,Va,b=R,a丰0,令f:R）R,xiax+集Vx=R，将R的所有

（a,b）

这样的变换构成一个集合G=｛fVa,b=R,a丰0上试证明：对于变换普通的乘

（a.b）1

法,G作成一个群.

3、设I和I为环R的两个理想，试证InI和I+I=Q+bR=I,b=I｝都是R

121212112

的理想.

4、设R是有限可交换的环且含有单位元1,证明：R中的非零元不是可逆元就是

零因子.

近世代数试卷参考解答

一、判断题12345678910

XXJJXJJJXX

二、单项选择题12345678910

②④③④®@④③①④

三、填空题

L｛（1,-1）,（1,0）,（1,1）（2,-1）,（2,0）,（2,1）｝.2、a.3、0.4、m|n.

5、变换群.6、（13524）,7、xxay,x,y=R.8、一个最##想.

iiii

9、p既不是零元，也不是单位，且q惟独平庸因子.

10.E的每一个元都是F上的一个代数元.

四、改错题

1、如果一个集合A的代数运算。同时适合消去律和分配律,那末在aoao...0a

12n

里,元的次序可以掉换.

结合律与交换律

2、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合G作成一个群，如果满足G对

于乘法封闭；结合律成立、交换律成立.

消去律成立

3、设I和S是环R的理想且I二S二R,如果I是R的最##想,那末S丰0.

S=1或者S=R

4、惟一分解环I的两个元a和b不一定会有最大公因子，若d和d，都是a和b的

最大公因子，那末必有d二d’.

一定有最大公因子；d和d'只能差一个单位因子

5、a叫做域F的一个代数元，如果存在F的都不等于零的元a,a,...,a使得

01n

a+a+a...+aan=0.

01n

4/8

不都等丁零的元

《近世代数》练习2与答案

一、（16分）叙述概念或者命题

1.正规子群；

2.惟一分解环；

3.代数数；

4.鲁非尼-阿贝尔定理

二、（12分）填空题

1.设有限域F的阶为81,则的特征p=.

2.已知群G中的元素a的阶等于50,则a，的阶等于.

3.一个有单位元的无零因子称为整环.

4.如果710002601a是一个国际标准书号，那末a=.

三、（10分）设G是群.证明：如果对任意的xwG,有X2=e，则G是交换群.

四、（10分）证明：任何方阵都可惟一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵

之和.

五、（15分）设H={a+bi+cj+dk|a,b,c,dwR}是四元数体，对H中任意元

x=a+bi+cj+dk,

定义其共规

女=a—bi-cj—dk.

1.证明：双二双是一个非负实数；

2.对x=1-2i+j-2k,y=2-i+2j-k，求xy,yx和x-1.

六、（15分）设I=（6）,I=（15）是整数环的理想，试求下列各理想,并简述理由.

12

1.I+I；

12

2.Irl；

12

3.I.I

12

七、（10分）设有置换G=（1345）（1245）,r=（234）（456）G.

6

1.求E和T-1Q;

2.确定置换rrr和T-1G的奇偶性.

八、（12分）求剩余类加群乙2中每一个元素的阶.

5/8

《近世代数》练习2答案

一、1.若H是群G的子群，且对每一个a仁G，有aH=Ha，那末H称为是G的正

规子群.

2.设R是个整环,若对于R中每一个非零非单位的元都有惟一分解，则称R

为惟一分解环.

3.有理数域上的代数元称为代数数.

4.如果n>5(特征为0),那末n次的普通方程没有根式解.

二、1.3

2.25

3.交换环

4.6

三、对于G中任意元x,y,由于(xy)2=e,所以xy=(xy)-1=y-x-1=yx［对每一个

x,

从X2=e可得x=x-i).

11

四、设A是任意方阵，令B=_0+Ap),C=《(A-Ap),则B是对称矩阵，而C是反

对称矩阵，且A=B+C.若令有A=B+C,这里B和C分别为对称矩阵和反对称

1111

矩阵，则B-B=C-C,而等式左边是对称矩阵，右边是反对称矩阵，于是两边必须

11

都等于0,即：B=B,C=C，所以，表示法惟一.

11

五、1.xx=xx=a2+b2+c2+d2>0〔

2.xy=—4—2i+4j—8k,yx=-4—8i+4j—2k,x-i=—(1+2i—i+2k)

10

六、1.I+I=(3)；

12

2.I后I=(30)；

12

3.I.I=(90)

12

七、1.(T=(1243)(56),T-i(=(16524)；

2.两个都是偶置换.

元素01234567891011

阶1126431221234612

近世代数练习3

6/8

一、判断题(每题1分洪10分)

1.G的不变子群N的不变子群N,仍是G的不变子群.0

2.集合的元素间的一个等价关系决定该集合的分类.()

3.任何无零因子的交换环R都是一个域P的子环.0

4.任何主理想环都是欧氏环.0

5.若一个群中，每一个元的阶都是2,则该群为ABel群.()

6.一个环的单位必是单位元.0

7.有理数域是整数环的商城.0

8•域上的一元多项式环是欧氏环.0

9.在任意环中，任意两个非零元的特征都相同.0

10.整数环的特征必为无穷大.0

二、填空题(每空2分洪20分)

1.称环R。的元x为环R上的一个未定元，若由ajjao+a,ai+a2O2+---+anan=0fa.eR)可以

推出.

2,若|A|=n则12Ah.

3,设A,B是两个集合，其中A={1,2},B={a,b,C)，则AXB={}.

4.设R为整数环,则素数p生成最##想(p),从而剩余类环R/(p)是.

5.惟一分解环的任何两个元有最大公因子，且两个最大公因子一定是.

6.一个群的不变子群的象是象的.

7.有限集的一个一一变换也叫.

8.在两个环的同态下，零元的象是象的.

9.在一个交换环R中,主理想(a)由集合{}构成.

10,整环।为主理想环的充要条件是I的每一个理想都是.

三、选择题(每题2分，共20分)

(每一个题都给出了四个答案，但惟独一个最佳答案，请将最佳答案的代号填在题后的

括号中，选错或者选出的代号超过一个均不得分，每题2分，共20分).

1.交换群G是指1).

A.ab=ba对任意a、buG都不成立的眸B.ab=ba对某些a、b石成立的群；C.ab=ba对

任意a、b工成立的群；D.其中心C为G的真子群的群.

2.任何群中都0.

A.至少有一个单位元；B.至多有一个单位元；C.可以没有单位元：D.有且只

有一个单位元.

3.设A,B是两个集合，A={a,b,C,d},B={1,2,3},］，乩是两个映

射日二{(a,3),(b,2),(c,1),(d,2)},q={(a,2),(b,2),(画,则().A国是满

射：担］是单射：这是满射：D.回是单射.

4.设G是由12个元素组成的循环群,a是G的生成元，则G的全部生成元素是

)A{e,a}；B.{e,a,a2,a3,a4)：C.{a,a3,a6)；D.{a,a5,a7,an}.

5.设H、K都是G的子群厕下列集合中必为G的子群的是0A.HK；

7/8

B.HnK；C.HUK；C.G-H.

6.下列关系中不是等价关系的为（）A.整数间的相等关系；

B.整数间的同余关系；C.三角形的相似关系；D.三角形的全