考研数学一（一元函数微分学）模拟试卷24

考研数学一(一元函数微分学)模拟试

卷24

一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)

1-COSX

%>0,

/(%)=石

1、设dg(%),“这°，其中g(x)是有界函数,则f(x)在x=0处()

A、极限不存在。

B、极限存在，但不连续。

C、连续，但不可导。

D、可导。

标准答案：D

知识点解析♦：已知g(x)为有界函数，因此

xk(xLzO

=lim=limxg(x)=0,

x-»O-%-0Xf所以f,(0)=0。又

12

A£LrA01Ls^-

lim=limlim——=0,

x-0D4xGi贝l」f+'(0尸0,故f

,,

-(o)=f+(o),从而r(o)存在，且门0)=0,故选(D)°

2、函数f(x)=(x?—x—2)*—x|不可导点的个数是()

A、3。

B、2o

C、lo

D、0o

标准答案：B

知识点解析：对原函数进行恒等变形，即f(x)=(x+D(x—2)|x||x+l||x—1|。从而可

知，f(x)的不可导点为x=-l,x=0,x=lo因为连续函数与绝对值函数相乘时，即

f(x)=g(x)|x|时,当g(x)=。时，f(x)可导。根据此结论,设f(x)=g(x)|x||x+l||x—l|,由

于g(—1)=0,g(o)=—2#0,g(l)=—2^0,因此f(x)在X=-1处可导，而在x=0和

x=l处不可导，故选(B)0

3、设y=f(x)是满足微分方程y“一y」eSMx二o的解,且r(xo)=O,则f(x)在()

A、xo的某个邻域内单调增加。

B、xo的某个邻域内单调减少。

C、xo处取得极小值。

D、xo处取得极大值。

标准答案：C

知识点解析：由已知方程可得F'(x)—『(X尸/味从而F，(x())—r(xo)=eSinx0,又

f(xo)=O,则有「(xo尸eSin'oX),根据极值的第二充分条件，f(x)在xo处取极小值,

故选(C)。

4、设函数f(x)在x=a处可导，则函数|f(x)|在点x=a处不可导的充分条件是()

A、f(a)=O且F(a)=0。

B、f(a)=OMf(a)^Oo

C、f(a)>0且r(a)>0。

D、f(a)V0且r(a)V0。

标准答案：B

知识点解析：由于f(x)在x=a处可导，则f(x)在x=a处必连续。当f(a)>0时，则

在x=a的某个邻域内有f(x)>0,此时|f(x)|=f(x),|f(x)|在x=a处可导，故(C)选项不

正确。同理，当f(x)V0时，|f(x)|=-f(x),|f(x)|在x=a处也可导，故排除(D)。当

f(a尸0时,设(p(x)=|f(x)|,则有

"(Q)=lim小"-』小)1=-lim=-I=-\f\a)\,

--x-aXT-\x-aiIx-y-x-aI

W：(a)=lim.Li1〃。)1=limlA£Xl=|广(a)|,

x-af%—aI

若(p(x)在x=a处可导,则需一|r(a)|=|「(a)|,即P(a)=0。反之，当(p(x)不可导时,必

有f(a)#O,故选(B)。

5、函数y=f(x)在(0,+8)内有界且可导,则()

(A)当limf(欠)=0时，必有1加广(胃)=0。

(B)当lim广⑴存在时，必有lim广⑴=0。

(C)当limf(4)=0时，必有lim广(％)=0。

x-«0*Z-0・

(D)当lim广(")存在时，必有lim广(4)=0。

A、

B、

C、

D、

标准答案：B

f(x)=----,iiy()=0

知识点解析：根据已知条件，取X则L.m8八x)。而

•2

//(%)=2cosx2-limf\x)

x—♦・不存在，排除(A)；取f(x户sinx,则

Iim/(x)=0lim/z(x)=1,

“T*,f(x)=cosx,«-«<)<排除(C)、(D)两项；对于选项(B),

limf'(x)=A#0,

假设―设k>0,则存在M>0,当x>M时，有

f

f(x)>yoff'(x)dx>fydx,f(x)>-y(x-M)+/(Af),

Z：:JMJML得z

f(x)在(0,+8)内有界矛盾。因此k=0,即匕1T⑴二0'故选位)。

6、设常数k>0,函数/⑴在(0,+8)内的零点个数为()

A、3。

B、2o

C、lo

D、0o

标准答案：B

ff(x)=---

知识点解析：由xe令「(x)=0,得*=©。当x>e时，f(x)<0,当

OVxVe时，f(x)>0,E(0,e)和(e,+oo)内f(x)分别是单调递增和单调递减的,若

在此两个区间有零点，至多各有一个，又f(x)=k>0,

lim/(x)=-®,limf(x)=-«,

I*—故f(X)在(0,+8)内有两个零点，故选

(B)o

x#0,

/(x)=1+

7、设函数°，x=°，则f(x)在x=0处的左、右导数()

A、都存在且相等。

B、都不存在。

C、都存在但不相等。

D、仅有一个存在。

标准答案：C

知识点解析：由函数左、右导数的定义，

,/八、../(/)一/(O)(.1.

fc(0)=-2'4=hmr=1,

x

…-…一]+eT

/；(0)=1"屐=1而一=0,

f'1r1+e：.因此其左、右导数均存

在但不相等，故选(C)。

8、设两函数f(x)及g(x)都在x=a处取得极大值,则函数F(x)=f(x)g(x)在x=a处()

A、必取极大值。

B、必取极小值。

C、不可能取极值。

D、是否取极值不能确定。

标准答案：D

/、—1

g(彳)二------51,

知识点解析：取f(x)=(l—x2)3和(1-%)两者都在X=0处取得极大

值，但f(x)g(x尸一1在x=0处不取极值，排除(A)、(B)；取f(x)=-x2和g(x)二一

x4,且都在x=O取得极大值，但f(x)f(x)=x6在x=0取极小值，排除(C)。根据排除

法，(D)选项正确,故选(D)。

二、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)

]而包」=4,1而典3二^=___________

9、设XTx-a则xyx-a

标准答案：Acos6

知识点解析：补充定义f(a)=b,则根据导数的极限定义，有

广(a)=-/(玻=A。

X-HI%-a*-H>%-a于是

|imsi旷(4)-sinb=1而siq/G)-sM(z)

x-nX~CLXTIX-G

r

=[sin/(x)]|,=a=cosf(a)•广(a)=4cos6o

10、设f(x)在(0,+8)上有定义,且r(l)=a(#)),又对任意x,ye(o,+oo),有

f(xy)=f(x)+f(y),贝ijf(x)=o

标准答案：alnx

知识点解析:在等式f(xy尸f(x)+f(y)中，令y=l,得f(x)=f(x)+f(l),则f(l)=0,根据

导数的定义，取xy为增量，则

广⑺=litn/(^xy)-/(A)=主力二/⑴.

y-M)xyr-oxy

=隔"3="+幻二/⑴

尸°町ty欠x因为

f

f(x)=A

f(l)=a,所以式'故f(x)=alnx+C,其中C为任意常数。令x=l,于是

f(l)=alnl+C=O,得C=0,因此f(x)=alnx。

o—

11、函数y=x+2cosx在区间I'2」上的最大值为o

标准答案：6

7T八宣宣

x=—X=U,~T~v~Z~

知识点解析：令y=l-2sinx=o,解得6把x=0,62分别代入函

y=2,y，=/+=y<A+

数解析式中得，”6因此

[n.211.JL

函数在区间L'2」上的最大值为v60

12、设函数y=f(x)由方程e?x+y—cos(xy户e—1所确定,则曲线y=f(x)在点(0,1)处

的法线方程为。

标准答案：x-2y+2=0

知识点解析：在方程e2x+y—c°s(xy尸e—1两边对x求导，得

e2x+y(2+y，)+sin(xy)(y+xy')=00将x=0,y=l代入上式，得丫卜=0=—2,则法线斜率

—,y-1=-。)，

为2'故所求法线方程为2即x-2yi2=0。

3_

标准答案：-2

知识点解析：对已知函数进行恒等变形,即

y==力]'则

V，工］

2\1-x14-%2/2\x-1|+x2/

y"=口一口一_绚+/)-汩=1J-1…」(D］

’2l(一］)2(l+f)2J2l(X-l)2(l+fW'所以

”13

yL。=-了。

三、解答题(本题共29题，每题1.0分，共29分。)

14、设f(x)在⑶b］(a>0)上连续,在(a,b)内可导，且f(a)=f(b)=L证明：存在点

传广=/(，)+勺，(竹。

。昨(a,b),使得'>几

标准答案：作辅助函数F(x)=x%x),则P(x)=nxn“f(x)+xnr(x),且F(x)在［a,b］±

应用拉格朗日中值定理，则存在一点自W(a,b),使得

=廿H=喏+f『(f)。

6-Qb-a另作辅助函数G(x)=xn,

同理在［a,b］上应用拉格朗日中值定理，则存在一点】］€(a,b),使得

G(b)-G(Q)/-a"_…

•一,一几qOII

b-a6-a由以上两式，可得nnn''=nC

闺'=KE)+勺十)。

即If'n

知识点解析：暂无解析

15、设函数f(x),g(x)在［a,b］上连续,且g(b)=g(a)=l,在(a,b)内f(x)与g(x)可

导,且g(x)+g，(x)RO,f(x)^0o证明:存在备昨(a,b),使得

广(f)=次g(f)+/(£)］

广⑴)-e可°

标准答案：作辅助函数(p(x尸eXg(x),则qf(x)=eX［g(x)+g，(x)］。于是f(x)和(p(x)在

［a,b］上满足柯西中值定理，故存在一点《E(a,b),使得

」6)-/(Q)=「⑷

舞⑹-e°g(。)一用g(f)+，")］'又gg)=g(b)=i,故有

/⑹-/(。)=广⑷⑴

1-e°+g'(f)］°

再作辅助函数叭X尸炉，则u(x尸0x,故有f(x),叭K)在［a,“上满足柯西中值定

理，于是必存在一点n&a,b),使得

f(b)-/(a)_f\n)⑵

e4-eaen约合式⑴

广(加=尸(竹。广％)=%⑷+g；%)L

⑵可得e”e，[g(f)+g'(f)]°即/'⑴)e""

知识点解析：暂无解析

16、设在区间[0,2]±,|f(x)|<l,|r(x)|<lo证明：对于任意的x6[0,2],有

|f(x)|<2o

标准答案：对任意的x€[0,2],将困数按(y-x)的辕展开成一次泰勒多项式为

/(/)=/(%)+/f(x)(y-x)7)/

令y=0和y=2,得

/(0)=/(x)・fP)x+^^%2,o〈和<Xo

/(2)=/(x)+广(%)(2­)+£"件(2-4)2/<&<2。

2上面两式

L±1

相减,得f(2)-f(0)=2f(x)+2[f,fe)(2-x)2-r()x2]即r(x)=2[f(2)-f(0)]-4[r(fe)(2-

X)2—F«ix2]由题设条件，|f(x)|wl,且|F(X)|W1,则

22

"(")Iw1/(2)I+1/(0)I]+y[1/76)1(2-x)+|/7f.)lx]

近1+--*[(2-x)2+x2]W20

命题得证。

知识点解析：暂无解析

求下列极限

x-arcsinx

lim

17、…arcsinx)

..x-arcsinx-，=3inxsin^-I

lim----;--j一一；=limj—

xT(arcsinx)…t

..cost-1..一sinZ

=11m2=11m~~=一,.

标准答案：73i7&6

知识点解析：暂无解析

18、xe

标准答案:

知识点解析：暂无解析

19、设f(x)在⑶+00)上连续,f'(x)在(a,+00)内存在且大于零,记

尸(%)=&)_/(%4>

4一°证明F(x)在(a,+8)内单调增加。

标准答案：方法一：由已知有

F'⑺=^jLr(%)(一。)-/(%)+/(a)],

-a)令(p(x)=f(x)(x—a)—

f(x)+f(a),(x>a),则(p'(x)=F(x)(x-a)+r(x)-r(x)=(x—a)F'(x)>O(x>a),由此知

尸(％)一£9)…2>o

(p(x)在(a,+00)上单调递增，于是(p(x)>(p(a)=0。故(%-a)'

所以F(x)在(a,+8)内单调增加。方法二：由

尸⑴_/'(%)(>-0)-[/(#)-/(。)]士…里。

(x—a)2

一/⑷=广(f)(a<f<x)o

利用拉格朗日中值定理知4一。从而有

尸⑴='［广⑴-广(8〕。

%一0因F(x)>0知「(X)在(a,+00)上单调递增,

从而r(x)>f《)，故在(a,+8)上P(x)>0。因此F(x)在(a,+8)内单调增加。

知识点解析：暂无解析

../(%)-/(3),

-----=k,

20、设f(x)在xo的邻域内有定义，并且-%(%-%。)其中n为正整数，

厚0为常数，试讨论当n取不同的值时f(xo)是否为极值。

/(X)-/(x)__/、

/y0-"+□(%),lima(x)=0,

标准答案：设(力-&)其中一“则有4乂)一

f(xo)=k(x—xo)n+a(x)(x-xo)n0若n为偶数，当|x—xo|V3时，其中6为充分小的正

数f(x)—f(x())与k同号。当k>0时，f(x())为极小值；当kVO时，，f(x())为极大值。

若n为正奇数，当|x-xo|V5时，其中6为充分小的正数，f(x)—f(xo)在xo两虬异

号，所以f(xo)不是极值。

知识点解析：暂无解析

y=77—

21、已知函数(1一%)试求其单调区间、极值以及函数图形的凹凸区间、

拐点和渐近线，并画出函数的图形。

标准答案：由已知，函数的定义域为(-8,1)U(1,+00)。且

,_44(]*"4)2—242.2(1-%).(_])_____4%

J(1-j(1-"产令y=0,得

„_4(]_4)3-4%.3(]-4)，・(-])_8x+4

xi=0o又一(1-工尸(1一严令

y"=0,得盯=-亍。列表如下:

1

X(-».-y)—(-T-0)0(0,1)(1,+8)

2

y'--0-

r一0♦

今

y拐点极小值/

由上表可知，函数的单调递减区间为(一00,0)和(1,+CO),单调递增区间为(0,1);

(-00」)，

函数在x=0处取得极小值y|x=o=O。曲线的凸区间为''2/凹区间为

/j\/]21lim24_2

(一T'l)和(1,+8)；拐点为(-5'〒卜由“空(1-*)2-'可知y=2为该曲

..2x2

lim-----------y=+8,

线的一条水平渐近线，由1I(1-4)可知X=1是曲线的垂直渐近线。

综上可知，函数图形如右图2—5所示。图2-5

知识点解析：暂无解析

b+F=1

22、设当x>0时，方程式有且仅有一个解，试求k的取值范围。

/(4)+；-1(%>0),/'(%)=左-与。

标准答案：方法一：令4则％(1)

若40,则r(x)vo,心)在(0,+8)上单调递减，并且L")一+8’则当kvo

时，，则/⑴二一8；当k=0时，上巴"")=T。因此，当心0时，原方程在

f'(x)=k-4=0,x=/y,

(0,+8)内有且仅有一个解。(2)若k>0,令工则”在

)上『a)>0,所以f(x)

±f(x)<0,所以f(x)单调递减,

limf(x)=+8,limf(x)=+a

单调递增，又因为I0*L..，'要求k>0时原方程芍且

k_Z左=2B

=9V0综上所述，当kSO或一9时原方程有且仅有一个解。方法

--\(x>0),/(%)=---y(x>0),

二：原方程可变形为#r令4r'那么

f'(%)=-1±3-/

XX/°令F(x尸0得*当46(°，力)时，f(x)>0,

f(x)单调递增：当“£(后，+8)时，f(x)V0,f(x)单调递减。又因为

/(而=看有，

2

limf(x)=lim%.-8,limf(x)=0.k=y/3

A-«O*X—8由于9或k50时,

!一…)

%=

丫曰与只有一个交点，从而原方程有且仅有一个实根。

知识点解析:暂无解析

<abhA<62o

23、设eVaVb,证明:

标准答案：要证明1时只要证明alna<blnbo令f(x)=xlnx(x>e),则

f(x)=lnx+l>O(x>e),因而f(x)单调递增(x>e),又因为b>a,所以f(b)>f(a),即

ln6Ina

a2<ab

alna<blnbo要证明In。'只要证明b。。令

、In%/、，/、1-Inx

夕(z欠)=——(x>e),<p(%)=-5—<0(x>e),

x则刀因此可知(p(x)单调递减

Ina\1nb

>,"o

(x>e),已知aVb,因此(p(a)>(p(b),即ab综上所述，当eVaVb时，

a2<ab<b2o

\nb

知识点解析：暂无解析

2/sinx/c/,口\

—<-----(0<x<―)

24、证明：宣”2

2

标准答案：方法一：令八f(x)=-宣x-sinx,’则

广(%)=--cosxJw(x)=sin%>0(%e(0,用)，

TT\L1则曲线y=f(x)在

0至/(。)=/(三)=°,0<x<■—

'2」是凹的。又、2)则当2时，f(x)V0。故

­<—(0<x<f)0f(x)=典，

"”2方法二：令x则

xcosx-sin%cos%("_tan%)八°号)上单调递

广(％)=22<U,

Xx可知f(x)在

减，且它)4。故M等(°。仔。

知识点解析：暂无解析

ax2+b,X1,

/(%)=

x

25、已知函数e"°<欠<1在x=l处可导，求曲线y=f(x)在点

(1,f(l))处的切线方程和法线方程。

标准答案：因为f(x)在x=l处可导,所以f(x)在x=l处连续，因此有

lim/(x)=lime7=e=/(1)=a+6,

«-»i-即a+b=e。又

匚⑴=]而/也)-[1)=lim4二-(QJ6)

x-*l-X-1M-*|-X-1

/：(1)=lim&)H(l)=]而0y+6二其土”

=lim虱^-J，=lima(x+1)=2a,

一卜”-1一一从而2a=—

e,3

a="-,o=—e

e,即2再由@+6=。得2o由于切点为(1,e),f(l)=-e,则切线斜

率为一e,故所求切线方程为y—e二一e(x—1),即ex+y—2e=0。法线斜率为

11Li、

/(幻e所以法线方程为eWx-ey+e2-l=Oo

知识点解析：暂无解析

厂rent

y=Ie-<dt

26、已知两曲线产f(x)与>卜在点(0,0)处的切线相同，写出此切线方

程，并求极限!史砚£)°

y=市

标准答案：由h知y(0)=0,由

，,・(arctanx)1=e-(arcta,w,2•

1+x则

/✓Q\__(arcU«0)2.]__।

7-•厂工一'因此，过点(0,0)的切线方程为y=x。

由于

两曲线有相同的切线方程，因此f(0)=0,f(0)=lo故有

「八一.七M°)21.七M°)

hmn/|—I=hm:---------=2lim--------=V'(o)=2O

nn

知识点解析：暂无解析

27、设方程y3+sin(xy)—e?x=o确定曲线产y(x)。求此曲线产y(x)在点(0,1)处的曲

率与曲率半径。

标准答案：在隐函数方程两端同时对x求导得3y2y'+(y+xy，)cos(xy)—2e2x=0。将

y*(0)=-L。

点(0,1)代入上式得3y，(0)+1—2=0,即3°在等式

3y2y'+(y+xyy)cos(xy)-2e2x=o的两端对x再次求导得

6y(y,)2+3y2y,'4-(2y,+xy")cos(xy)—(y+xy,)2sin(xy)—4e2x=0,将点(0，1)与

y^O)=+3y"(0)+—4=0,

,3代入上式，即得93整理得

9O由曲率公式，可知所求曲率为

1/(0)I_8

(1+卬(0)]2产一9

曲

125

P=---=・・二'

率半径为K6/10

知识点解析•：暂无解析

与sin—,%>0,

_________°，式这°在x=0处的可导性。

标准答案：当axV。时，(I'(△x)=0,由导数的定义

厂(0)=1加弋上孵=0,

Ax-x)-Ar-。当ax〉。时，则有

『,/八、[./(Ax)-/(0)vAxI..1

/；(0)=lim4------八〃=hm-------T---------=limsin—o

Ai--o*AxN-O*axN—eAx当

△x-0时，上式的极限不存在，故函数在x=0处的右导数不存在，因此f(x)在x=0

处不可导。

知识点解析：暂无解析

1

29、设函数y=y(x)由参数方程3确定，求函数产y(x)的极值和

曲线y=y(x)的凹凸区间及拐点。

标准答案：由参数方程求导法则可得

市

4Z匕=

五=(J+0O

业

令

dx-x(t)-『+广货-市1)3,得

J月

堂=

51

”

=—y=——•，

阿

令

XXI,IO得

t=±lo当1=1时，33当匚-

11

t=0,此时33列表如下:

]

(-«,-1)-1(-1.0)0(0.1)(1.♦»)

(f/)15

X-1T(y.y)T(y.…)

y0--0

y―0♦

由上表可知，函数y(x)的极大值为y(-l)=l,极小值为'3,3，曲线

巾⑶的凹区间为借”卜

8

凸区间为'3J曲线y=y(x)的拐点为

(14)°

知识点解析:暂无解析

e2

30、设常数4'函数f(x)=eX-ax?,证明方程f(x)=0在区间(0,+oo)内有且仅有

两个实根。

r(p(x)=-a=0,

标准答案：在区间(0,48)内f(x)=ex—ax2=0,其等价于x可讨

论(p(x尸0在(0,+8)内的实根个数。由于

e**x-2xeTex、

--------4-------=Tt-2),

xx令(p'(x户0,得驻点x=2,列表如下:

X(0.2)2(2,+8)

—0+

e(x)极小

则当x=2时,(p(x)取得极

e

小值夕⑵=。，已知一

4'因此(p(2)V00显然

lim^)(x)=+8,lim(p(x)二+8,

x-4)4所以(p(x)=0在(0,2)和(2,+oo)上分别有且

仅有一个实根，因此(p(x)在(0,+8)内有且仅有两个实根，即f(x)在(0,+00)上有且

仅有两个实根。

知识点解析：暂无解析

31、试证(门"”号这如八力义。

f\x)=~>0,

标准答案：构造函数f(x)=xlnx,则「(x)=lnx+l,x'则f(x)=xlnx为

f(L±i)<：/(4)+/(>)

凹函数，根据凹函数的性质2'2'有

节4号)W典冲，即不等d(守)Wxlnx+ylnv

4/L即小等式/成

立。

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<ln(1+%)<--(xN0)o

32、证明式+，A+1

ln(I+x)<”，

标准答案：先证明八+1作辅助函数

尸(％)=一六-ln(1+x),

/#+1因函数F(x)在区间［0,+oo)上具有连续导数,

F(0)=0,一且

yr+T—4——,_____

\_2y/x+112(%+1)-X-2y/x+1

夕r(％)=―7一'=______

%+11+42(x+1)ym

S+L)-2,%+1+I=>0(x>0)

2(%+1)y/x+12(x+1)y/x+1

因

此F(x)在区间［0,+8)上单调增加，故当x>0时，F(x)>F(0)=0成立，即

ln(1+x)/2"、<ln(1+4),

Jx+1成立。再证4+2令函数

C(()一［(1十)24

7+2'函数G(x)在区间［0,-8)上具有连续导数，G(0)=0,

=-7~\----w---->°(x>°)。

且(1+x)(x+2)因此G(x)在区间

2%

<ln(1+x)

［0,+8)上单调增加，故当x>0时，G(x)>G(0)=0成立，即4+2成

立。综上所述，命题得证。

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/(X)=一产二」…,

33、设2x2+x-1求符)(o)。

r/、5x-15x-1AB

标准答案：令2x2+%-1(2x-l)(x+1)2x-1x+1'解得

f(x)=-----+—^―-,

A=l,B=2,即2x-1%+1从而

/⑺⑴=(97广+(3T「

12%-"匕+"根据数学归纳法可知

<w>

/1\=(-1-2"!(2)⑺_(-1)Z!

\2x-1/-(2x-一(％+1)。“°

所以/⑺(％)=*1"："+"1?鬻,故/⑺(o)=2(-1))!-2、！°

(2x-1)(x+1)

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34、试求函数户arctanx在x=0处的各阶导数。

标准答案：由已知得1+丁’故有y'(l+x2)=l.上式两边对x求n阶导数，当

,(n)21,(n

n>3时(l+x2)(n)=0,因此由莱布尼茨公式Cn°(y)(l+x)+Cn(y)-

12,2,(n2)22(n+1)(n)(n-1)

\1+x)+Cn(y)-(1+x)"=0,BP(l+x)y+2nxy+(n-l)ny=0o令x=0,

得严+i)(o)+(n—i)ny(n-】)(o)=o,根据该递推关系，则y(n)(0)=(l-n)(n-2)y(n-2)(0),

n>2o由y(0)=0,y'(0)=l及上述递推公式，得野心⑼力，k=l,2,...；

y(2k+D(o)=(-1)k(2k)!,k=0,1,2,...o

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[f(x)dx=0o

35、设f(x)在［0,1］上连续,f(0)=0,卜证明：存在一点年(0,1),

j/(x)dx=6力。

使得

F(x)=0<%W1,

标准答案：令4=0。由于

。(1岫

1加^^=F(0)=0,

limF(x)=lim—

“61因此F(x)在［0,1］上连

r(1)=1/⑴市=0,所以F(O)=F(I)=O,则

续，(0,1)内可导。又已知f((0)=0,

F(x)在[0,1]上满足罗尔定理条件，故必存在一点年(0,1),使得F，化尸0,即

从而有8曲-四)=0。

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设f(x),g(x)在[a,b]上二阶可导,g”(x)和,f(b)=f(b)=g(a)=g(b)=0,证明:

36、在(a,b)内,g(x)#0；

标准答案：假设对任意的c€(a,b)且g(c尸0。由于g(a尸g(c)=g(b)=0,g(x)在[a,

c],[c,b]上分别运用罗尔定理可得g熊1尸g熊2)=0,其中言e(a,c),fee(c,b),

对g〈x)在心,如上运用罗尔定理,可得g”©3)=0,其中/用白，幼。因已知

g"(x)^0,与题设矛盾,故g(c)#),即在(a,b)内,g(x)#).

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3/(他

37、在(a,b)内至少存在一点。使g(f)g”(f)"

标准答案:构造辅助函数F(x尸f(x)g，(x)-F(x)g(x),则有F(a)=0,F(b)=0,在[a,b]

上满足罗尔定理。故至少存在一点乐(a,b),使得p(9=f(9g"(9—F'(9g(9=o，

y(g)=nn

即g(f)

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38、设函数f(x)在开区间(a,b)内可导，证明:当导函数『(b)在(a,b)内有界时,

函数f(x)在(a,b)内也有界。

标准答案：设xo,x&a，b),则f(x)在以xo,x为端点的区间上满足拉格朗日中值

定理条件,因此f(x)—f[xo)=r©)(x—xo),眄X0,x)o因为r(x)在(a,b)内有界，

即存在N>0,使/x)[O)+f(xo)区|f(x)T(x0)|+|f(x)区r(&)(b-a)|+|f(xo)区N(b-

a)+|f(x0)|=Mo根据有界的定义f(x)在(a,b)内有界。

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39、设f(x)在⑶b]上连续，在⑶b)内可导，且f(a尸f(b)=l,证明：存在

ne(a,b)使得e^[f[n)+f(n)]=io

标准答案:构造辅助函数g(x)=eX,则g(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导且

ba

e-eA

gXx)=e\由拉格朗日中值定理，至少存在一点乐(a,6，使6-。一°另作

辅助函数F(x)=ef(x),F(x)在[a,b]连续,(a,b)内可导,由拉格朗日中值定理得,

鼠”⑷=尸加)产=/[/(")+广(⑴，

存在r|G(a,b),b-a即b-a

从而有e/f(m+qn)]=eS即en-^[f(n)+f(n)]=io

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40、设f(x)在［0,