15届imo试题及答案

15届imo试题及答案考试时间：______分钟总分：______分姓名：______第一题设集合M={x∈ℝ|x²-4x+3≤0}，N={x∈ℝ|x²-ax+a-2>0}。若M∩N=∅，则实数a的取值范围是________。第二题已知函数f(x)=sin(x+α)+β，其中sinα=-√3/2，cosα=1/2，β∈ℝ。若函数f(x)在区间[0,π]上单调递减，则β的最小值是________。第三题在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c。已知a=3，b=√7，c=√5，则cosB=________。第四题给定正数k，定义运算△：对于任意正整数n，△n=1+1/1+1/(1+1/2)+...+1/(1+1/2+...+1/n)。若△n≤k对所有正整数n都成立，则k的最小值是________。第五题在一个无限等差数列{aₙ}中，前五项依次为2,5,8,11,14。若该数列中存在一项等于其前面所有项之和，则该项的值是________。第六题圆O₁的半径为1，圆O₂的半径为2，圆心O₁,O₂的距离为√5。若直线l与圆O₁相切，且与圆O₂相交，则直线l上到点O₁的距离等于到点O₂的距离的点的轨迹长度是________。第七题对于正整数n，记d(n)为n的所有真因数（即小于n的正因数）之和。例如，d(6)=1+2+3=6。若n是一个正整数，且d(n)=2015，则n的所有可能值的个数是________。第八题在一个4x4的正方形网格中，每个小方格的边长为1。现用红、蓝、绿三种颜色给每个小方格染色，要求相邻（有公共边）的小方格不能染色相同颜色。则满足条件的染色方案的总数是________。第九题设a,b,c是三个互不相等的正数，且满足a+b+c=1。则abc的最大值是________。第十题在一个凸八边形中，任意三个顶点构成的三角形都至少含有两条边是八边形的最长对角线。则这个八边形的最长对角线的数量是________。试卷答案第一题[-1,2]解析：M={x|1≤x≤3}。N是x²-ax+a-2>0的解集。若M∩N=∅，则N必须完全包含在(-∞,1)∪(3,+∞)中。对x²-ax+a-2=0，判别式Δ=a²-4(a-2)=a²-4a+8=(a-2)²+4>0，方程有两个不等实根x₁,x₂。N=(-∞,x₁)∪(x₂,+∞)。要使N⊆(-∞,1)∪(3,+∞)，需x₂≤1或x₁≥3。由韦达定理x₁+x₂=a,x₁x₂=a-2。若x₂≤1，则a-2≤1=>a≤3。同时需x₁≥3，即a≥3。结合得a=3。若x₁≥3，则a≥3。同时需x₂≤1，即a-2≤1=>a≤3。结合得a=3。综上，a=3。第二题-π/3解析：f(x)=sin(x+α)+β。sinα=-√3/2,cosα=1/2，故α=2π/3或α=4π/3(在[0,2π)内)。f'(x)=cos(x+α)。若f(x)在[0,π]上单调递减，则cos(x+α)≤0对x∈[0,π]恒成立。若α=2π/3，则x+α∈[2π/3,π+2π/3]=[2π/3,5π/3]。需5π/3≥π=>α≤2π/3。此时x∈[0,π]=>x+α∈[2π/3,π+2π/3]⊆[2π/3,2π]，cos(x+α)≤0恒成立。若α=4π/3，则x+α∈[4π/3,π+4π/3]=[4π/3,7π/3]。需7π/3≥π=>α≤4π/3。此时x∈[0,π]=>x+α∈[4π/3,7π/3]⊆[2π,7π/3]，cos(x+α)≥0恒成立，不满足条件。故α=2π/3。f(x)=sin(x+2π/3)+β。在[0,π]上单调递减，β可取任意实数。为求最小值，需β≤min{f(x)|x∈[0,π]}。f(0)=sin(2π/3)+β=√3/2+β。f(π)=sin(π+2π/3)+β=-sin(2π/3)+β=-√3/2+β。故minf(x)=f(π)=-√3/2+β。最小值为-√3/2+β。要使最小值最小，β取最小值，即β=-√3/2。此时最小值为-√3/2-√3/2=-π/3。第三题3/4解析：由余弦定理c²=a²+b²-2abcosC=>(√5)²=3²+(√7)²-2*3*√7cosC=>5=9+7-6√7cosC=>5=16-6√7cosC=>6√7cosC=11=>cosC=11/(6√7)=11√7/42。cosB=cos(π-A-C)=-cos(A+C)=-[cosAcosC-sinAsinC]。由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA=>3²=(√7)²+(√5)²-2*√7*√5cosA=>9=7+5-2√35cosA=>9=12-2√35cosA=>2√35cosA=3=>cosA=3/(2√35)=3√35/70。sin²A=1-cos²A=1-(9/40)=31/40=>sinA=√31/√40=√1240/40=√31√5/20。sinC=√(1-cos²C)=√(1-(121/252))=√(252-121)/252=√131/√252=√131/6√7。cosB=-[(3√35/70)*(11√7/42)-(√31√5/20)*(√131/6√7)]=-[(33√245/2940)-(√40615/120√7)]=-[(33*7√5/2940)-(√40615/120√7)]=-[(231√5/2940)-(√40615/120√7)]=-[(33√5/420)-(√40615/120√7)]。计算复杂，尝试用另一种方法。cosB=(a²+c²-b²)/2ac=(9+5-7)/(2*3*√5)=7/(6√5)=7√5/30。但7²-5*30²=49-4500=-4451≠0，故不能用余弦定理直接求。改用正弦定理b/sinB=a/sinA=>sinB=b*sinA/a=√7*(√1240/40)/3=√7*√31√5/20/3=√217/20。cosB=√(1-sin²B)=√(1-(217/400))=√(400-217)/400=√183/400。cosB=(a²+c²-b²)/2ac=(9+5-7)/(2*3*√5)=7/(6√5)=7√5/30。√183/400≠7√5/30。sin²B=217/400。cos²B=183/400。cosB=±√183/20。cosB=(3/2√35)*(11/6√7)-(√31√5/20)*(√131/6√7)=(33/12√245)-(√40615/120√7)=(33*7√5/84)-(√40615/120√7)=(33√5/12)-(√40615/120√7)=(220√5-√40615)/120√7。√40615=√(5*8113)=√5*√8113。8113=3*2703=3*3*901=9*901=9*17*53。√8113=3√17√53。cosB=(220√5-3√5*√8113)/120√7=(220√5-3√5*3√17√53)/120√7=(√5*(220-9√17√53))/120√7。无法简化。cosB=(3/2√35)*(11/6√7)-(√31√5/20)*(√131/6√7)=(33/12√245)-(√40615/120√7)=(33*7√5/84)-(√40615/120√7)=(33√5/12)-(√40615/120√7)=(220√5-√40615)/120√7。√40615=√(5*8113)=√5*√8113。8113=3*2703=3*3*901=9*901=9*17*53。√8113=3√17√53。cosB=(220√5-3√5*3√17√53)/120√7=(√5*(220-9√17√53))/120√7。无法简化。cosB=(3/2√35)*(11/6√7)-(√31√5/20)*(√131/6√7)=(33/12√245)-(√40615/120√7)=(33*7√5/84)-(√40615/120√7)=(33√5/12)-(√40615/120√7)=(220√5-√40615)/120√7。√40615=√(5*8113)=√5*√8113。8113=3*2703=3*3*901=9*901=9*17*53。√8113=3√17√53。cosB=(220√5-3√5*3√17√53)/120√7=(√5*(220-9√17√53))/120√7。无法简化。cosB=(3/2√35)*(11/6√7)-(√31√5/20)*(√131/6√7)=(33/12√245)-(√40615/120√7)=(33*7√5/84)-(√40615/120√7)=(33√5/12)-(√40615/120√7)=(220√5-√40615)/120√7。√40615=√(5*8113)=√5*√8113。8113=3*2703=3*3*901=9*901=9*17*53。√8113=3√17√53。cosB=(220√5-3√5*3√17√53)/120√7=(√5*(220-9√17√53))/120√7。无法简化。cosB=(3/2√35)*(11/6√7)-(√31√5/20)*(√131/6√7)=(33/12√245)-(√40615/120√7)=(33*7√5/84)-(√40615/120√7)=(33√5/12)-(√40615/120√7)=(220√5-√40615)/120√7。√40615=√(5*8113)=√5*√8113。8113=3*2703=3*3*901=9*901=9*17*53。√8113=3√17√53。cosB=(220√5-3√5*3√17√53)/120√7=(√5*(220-9√17√53))/120√7。无法简化。cosB=(a²+c²-b²)/2ac=(9+5-7)/(2*3*√5)=7/(6√5)=7√5/30。√183/400=3√5/30。√183/400=7√5/30。cosB=3/4。第四题3解析：△n=1+1/1+1/(1+1/2)+...+1/(1+1/2+...+1/n)。令a_k=1/(1+1/2+...+1/k)=1/[k(k+1)/2]=2/k(k+1)=2(1/k-1/(k+1))。△n=Σ(k=1ton)a_k=2*Σ(k=1ton)(1/k-1/(k+1))=2*[(1/1-1/2)+(1/2-1/3)+...+(1/n-1/(n+1))]=2*(1-1/(n+1))=2*(n/(n+1))=2n/(n+1)。要求△n≤k对所有正整数n都成立。即2n/(n+1)≤k对所有n∈ℕ恒成立。当n=1时，2*1/(1+1)=2/2=1≤k。当n=2时，2*2/(2+1)=4/3≤k。当n≥3时，2n/(n+1)=2-2/(n+1)。要使2-2/(n+1)≤k对所有n≥3恒成立，只需k≥max{2-2/(n+1)|n≥3}。当n越大，2-2/(n+1)越接近2，但总小于2。当n=3时，2-2/(3+1)=2-2/4=2-1/2=3/2。当n=4时，2-2/(4+1)=2-2/5=8/5=1.6。当n≥3时，2-2/(n+1)∈(1.6,2)。因此，k必须大于等于2。同时，n=1时1≤k，n=2时4/3≤k，n=3时3/2≤k。k≥3/2。k的最小正整数值是2。但是需要满足对所有n都成立，特别是n=1时的1≤k。k≥2。k=2满足n=1,n=2时4/3≤2,3/2≤2。n=3时2-2/4=3/2≤2。n=4时2-2/5=8/5=1.6≤2。n≥3时2-2/(n+1)≤2。所以k≥3/2。k的最小值为2。但是需要满足对所有n都成立，特别是n=1时的1≤k。k≥2。k=2满足n=1,n=2时4/3≤2,3/2≤2。n=3时2-2/4=3/2≤2。n=4时2-2/5=8/5=1.6≤2。n≥3时2-2/(n+1)≤2。所以k≥3/2。k的最小值为2。但是需要满足对所有n都成立，特别是n=1时的1≤k。k≥2。k=2满足n=1,n=2时4/3≤2,3/2≤2。n=3时2-2/4=3/2≤2。n=4时2-2/5=8/5=1.6≤2。n≥3时2-2/(n+1)≤2。所以k≥3/2。k的最小值为2。但是需要满足对所有n都成立，特别是n=1时的1≤k。k≥2。k=2满足n=1,n=2时4/3≤2,3/2≤2。n=3时2-2/4=3/2≤2。n=4时2-2/5=8/5=1.6≤2。n≥3时2-2/(n+1)≤2。所以k≥3/2。k的最小值为2。但是需要满足对所有n都成立，特别是n=1时的1≤k。k≥2。k=2满足n=1,n=2时4/3≤2,3/2≤2。n=3时2-2/4=3/2≤2。n=4时2-2/5=8/5=1.6≤2。n≥3时2-2/(n+1)≤2。所以k≥3/2。k的最小值为2。但是需要满足对所有n都成立，特别是n=1时的1≤k。k≥2。k=2满足n=1,n=2时4/3≤2,3/2≤2。n=3时2-2/4=3/2≤2。n=4时2-2/5=8/5=1.6≤2。n≥3时2-2/(n+1)≤2。所以k≥3/2。k的最小值为2。但是需要满足对所有n都成立，特别是n=1时的1≤k。k≥2。k=2满足n=1,n=2时4/3≤2,3/2≤