高考数学一轮复习 课后习题 课时规范练40　空间点、直线、平面之间的位置关系（黑龙江版）

课时规范练40空间点、直线、平面之间的位置关系(分值:87分)(单选题每小题5分,多选题每小题6分,填空题每小题5分)基础巩固练1.(2025·河南南阳期末)检查一张桌子的4条腿的下端是否在同一平面内,下列做法最科学合理的是()A.将桌子正放于地面上,趴地上观察桌腿和地面之间是否有缝隙B.将桌子正放于地面上,取薄纸一张铺在桌面上观察纸张是否平整C.将桌子倒放于地面上,用双手分别触摸四条腿底部凭手感判断是否水平D.将桌子倒放于地面上,用细线分别连接两腿对角的下端观察两根细线是否相交2.(2025·云南曲靖期末)已知直线a,b,c,d,若a∥b,c∥d,b,c是异面直线,则a与d的位置关系为()A.相交 B.异面C.相交或异面 D.不确定3.(2025·江苏镇江期末)在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为矩形,点E为A1C的中点,AB=AA1=2,且AD=23,则异面直线AE与BC所成角的余弦值为()A.23 B.33 C.22 4.(2025·江西景德镇5月适应性考试)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为线段A1D上的动点,则直线PC1与B1C所成角的取值范围是()A.[π6,π3] BC.[π6,π2] D5.(多选题)(2025·安徽蚌埠模拟)a,b是两条异面直线,A,B在直线a上,C,D在直线b上,A,B,C,D四点互不相同,则下列结论一定不成立的是()A.A,B,C,D四点共面B.AC∥BDC.AC与BD相交D.AC=BD6.(2025·山西大同期末)如图,正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的侧面展开图是边长为4的正方形,则在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,异面直线AK和LM所成的角的大小为.

7.(15分)(2025·上海模拟)如图,在空间四边形ABCD中,E,H分别是AB,AD的中点,F,G分别是BC,CD的中点.(1)求证:BC与AD是异面直线;(2)求证:EG与FH相交;(3)若AC=BD,且BD与AC所成角为50°,求异面直线HF与BD所成角的大小.综合提升练8.(2025·河北唐山期末)已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的棱长均为2,∠BAD=π3,设a,b分别是相邻两个面的对角线所在的直线,则a与b所成角的余弦值不可能为(A.14 B.24 C.34 9.(多选题)(2025·吉林白城期末)已知ABCD-A1B1C1D1是正方体,则下列结论正确的是()A.直线A1C1与B1C是异面直线B.A1D与B1C所成的角为60°C.A1C1⊥BDD.直线A1C1与B1C所成的角为60°10.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别为DD1,CC1,AD,AC的中点,则①E,F,G,H四点共面;②EF∥GH;③EG,FH,AA1三线不共点;④∠EGD=∠FHC.以上四个结论中,正确结论的序号是.

11.(15分)(2025·浙江杭州期中)如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱与底面边长均为2,点E,F分别为AC,CC1的中点,点D满足AB=3AD.(1)若直线B1F与直线DE交于点G,求证:B,C,G三点共线.(2)线段DB1上是否存在一点H,使得HF∥DE?若存在,说明点H的位置,并证明;若不存在,说明理由.创新应用练12.(2025·安徽合肥二模)已知AB为圆锥PO的底面直径,O为底面圆心,等边三角形ACD内接于圆O,若PA=6,圆锥的侧面积为122π,则PA与BD所成角的余弦值为()A.26 B.34 C.55 13.四边形ABCD是矩形,AB=3AD,点E,F分别是AB,CD的中点,将四边形AEFD绕EF旋转至与四边形BEFC重合,则直线ED,BF所成角α在旋转过程中()A.逐步变大B.逐步变小C.先变小后变大D.先变大后变小

参考答案1.D解析当地面不平整时,每条桌腿和地面之间都无缝隙,也不能说明4条腿的下端在同一平面内,故A错误;最多能说明桌面是否平整,不能说明4条腿的下端在同一平面内,故B错误;只能检查每条腿的下端是否平整,不能说明4条腿的下端在同一平面内,故C错误;两根细线相交,可得两根细线所在直线确定一个平面,两根细线所在直线上的所有点都在这个平面内,能说明4条腿的下端在同一平面内,故D正确.故选D.2.C解析由a∥b,b,c是异面直线,得a,c异面或相交,又c∥d,故a,d异面或相交.故选C.3.D解析连接AC1,C1D,则E也为AC1的中点,如图所示.在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为矩形,故该直四棱柱为长方体,又因为AB=AA1=2,且AD=23,则AC1=AB2+AD2+AA12=2+12+2=4,又C1D=CD2+故AD⊥C1D.因为四边形ABCD为矩形,则BC∥AD,所以异面直线AE与BC所成角为∠C1AD或其补角,且cos∠C1AD=ADA所以异面直线AE与BC所成角的余弦值为3故选D.4.D解析在正方体ABCD-A1B1C1D1中,连接A1C1与C1D,则A1C1=A1D=C1D,所以△A1C1D为等边三角形.因为A1D∥B1C,所以∠A1PC1或其补角为直线PC1与B1C所成的角.当点P与线段A1D的端点重合时,直线PC1与B1C所成的角取得最小值π3当点P与线段A1D的中点重合时,直线PC1与B1C所成的角取得最大值π故直线PC1与B1C所成角的取值范围为[π3,5.ABC解析当AC∥BD或AC与BD相交时,A,B,C,D四点共面,此时a,b共面,不符合题意,故A,B,C正确;如图,在正方体中,若异面直线a,b为图中的BE,CF,且A,D为所在棱的中点,B,C为正方体的顶点,此时AC=BD,故D错误.故选ABC.6.90°解析由题意,还原正四棱柱的直观图,如图所示,取AA1的中点G,A1G的中点N,BB1的中点O,连接相关线段,如图所示,所以MN=OL,ML=NO,NO∥GK.由几何知识得,四边形LMNO是平行四边形,ML∥NO,所以KG∥LM,所以∠AKG或其补角为异面直线AK和LM所成的角.由题知AG=2,AK=KG=1+1=2,则有AK2+KG2=AG2,所以∠即异面直线AK和LM所成的角为90°.7.(1)证明由题设BC⊂平面BCD,D∈平面BCD,D∉BC,A∉平面BCD,所以AD∩平面BCD=D,故BC与AD是异面直线.(2)证明E,H分别是AB,AD的中点,F,G分别是BC,CD的中点,所以EH=FG=12BD,EH∥BD∥FG,故四边形EHGF为平行四边形所以EG与FH为▱EHGF的两条对角线,故EG与FH相交.(3)解由题设知,EF∥AC∥HG且EF=HG=12AC由(2)知EH=12BD,EH∥BD,则BD与AC所成角,即∠FEH或其补角又AC=BD,则EH=EF,故△EFH为等腰三角形.当∠FEH=50°时,则HF与EH的夹角为65°,即异面直线HF与BD所成角为65°;当∠FEH=130°时,则HF与EH的夹角为25°,即异面直线HF与BD所成角为25°.综上,异面直线HF与BD所成角为65°或25°.8.C解析在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,四面体ACB1D1的六条棱所在直线能表征直四棱柱各个面上所有对角线,该四棱柱的所有棱长都为2,∠BAD=π3,则AB1=AD1=B1C=CD1=22,B1D1=2,AC=23在△AB1D1中,cos∠B1AD1=8+8-42×22×22=34,cos∠AB1D1=在△ACB1中,cos∠AB1C=8+8-122×22×22=14,cos∠B在△CB1D1中,cos∠B1CD1=8+8-42×22×22=34,cos∠CB1D1=在△ACD1中,cos∠AD1C=8+8-122×22×22=14,cos∠D1AC=cos∠ACD1=329.ACD解析对于A,B1C⊂平面BCC1B1,点C1∈平面BCC1B1,C1∉B1C,而A1∉平面BCC1B1,A1,C1∈直线A1C1,直线A1C1与B1C是异面直线,故A正确;对于B,由A1B1∥CD,A1B1=CD,得四边形A1DCB1为平行四边形,则A1D∥B1C,故B错误;对于C,同理可得A1C1∥AC,而AC⊥BD,则A1C1⊥BD,故C正确;对于D,连接C1D,B1C∥A1D,则∠DA1C1或其补角为异面直线A1C1与B1C所成的角,又A1D,DC1,A1C1为正方体的面对角线,即A1D=DC1=A1C1,∠C1A1D=60°,因此异面直线A1C1与B1C所成的角为60°,故D正确.故选ACD.10.①②解析由题意可得EF∥DC,EF=DC,GH∥CD,GH=12CD所以EF∥HG且EF=2HG,所以E,F,G,H四点共面,故①,②正确;所以四边形EFHG为梯形,所以设P=EG∩FH,所以P∈EG⊂平面ADD1A1,P∈FH⊂平面ACC1A1,又因为平面ADD1A1∩平面ACC1A1=AA1,所以P∈AA1,所以EG,FH,AA1三线共点,故③错误;易知△EGD为等腰直角三角形,所以∠EGD=π设正方体的棱长为1,在Rt△FHC中,HC=22,FC=1所以tan∠FHC=FCHC=22<1=tanπ4,又因为∠FHC∈所以∠FHC<π4所以∠FHC<∠EGD,故④错误.故答案为①②.11.(1)证明若直线B1F与直线DE交于点G,则G∈B1F,G∈DE,又B1F⊂平面BB1C1C,DE⊂平面ABC,所以G∈平面BB1C1C,G∈平面ABC,又平面BB1C1C∩平面ABC=BC,所以G∈BC,即B,C,G三点共线.(2)解存在,证明如下:延长BC,B1F相交于点G1,连接AG1,因为F为CC1的中点,CF∥BB1,所以△G1FC∽△G1B1B,所以G1所以C为BG1的中点,F为G1B1的中点.在平面ABC中,由平面向量知识可知,AE=又AB=3AD,所以AB=3AD,所以AE因为34+所以D,E,G1三点共线,即直线B1F与直线DE交于点G1.由F为G1B1的中点可知,当取H为DB1的中点时,HF∥DG1,即HF∥DE.12.A解析设圆锥的底面半径为r,母线长为l,因为PA=6,所以l=PA=6,所以S=πrl=6πr=122π,所以r=22所以OA=OB=OC=OD=22,又等边三角形ACD内接于圆O,所以2r=42=ACsin60°,解得AC=26,所以AC=CD=AD=26,所以BD=AB2-AD2=(42)2-所以PA与BD所成角即为PA与AE所成角或其补角,所以∠PAE为PA与BD所成角,PA=PE=6,由余弦定理可得cos∠PAE=PA2+13.D解析由题可知初始时刻ED与BF所成角为