越南数学竞赛历届试题及答案

越南数学竞赛历届试题及答案考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、填空题1.若复数z满足方程z^2+2z+3=0，则|z-1|的值为_______。2.设等差数列{a_n}的首项为1，公差为d，前n项和为S_n。若S_3=S_9，则d=_______。3.在锐角三角形ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c。若a=3,b=4,c=5，则tan(A/2)的值为_______。4.函数f(x)=|x-1|+|x+2|在区间[-3,3]上的最小值是_______。5.圆x^2+y^2=1与直线y=kx+1相切，则实数k的值为_______。6.一个盒子里有10个红球和5个白球，它们除了颜色外完全相同。从中随机抽取3个球，恰好抽到2个红球和1个白球的概率为_______。7.若函数g(x)=x^3-ax+1在x=1处取得极值，则实数a的值为_______。8.在凸四边形ABCD中，∠A=60°,∠B=120°,AB=AD=1,BC=CD=2，则对角线AC的长为_______。9.将10个完全相同的小球放入编号为1,2,3的三个盒子里，要求每个盒子里的小球数不少于它的编号数，则不同的放法共有_______种。10.已知函数h(x)=e^x-ln(x)在x=1处的导数为_______。二、解答题1.已知函数f(x)=x^2-ax+b。若f(x)在x=1处取得极大值，且f(0)=3。(1)求a和b的值；(2)判断函数f(x)在x=2处取得的值是极大值还是极小值，并给出证明。2.在平面直角坐标系中，点A(1,0)，点B在y轴上，且AB=2。点P是以AB为直径的圆上的动点。(1)求该圆的方程；(2)若点P的坐标为(x,y)，求x^2+y^2的取值范围。3.已知数列{a_n}满足a_1=2，a_n+a_{n+1}=3n对于任意正整数n都成立。(1)求a_2,a_3,a_4的值；(2)求数列{a_n}的通项公式。4.在三角形ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c。已知a^2=b^2+c^2-bc。(1)求sin(A)的值；(2)若三角形的面积S=sqrt(3)，且c=2，求a的值。5.设函数F(x)=x^2+2xln(x)-3x。(1)求函数F(x)的单调递增区间；(2)证明：对于任意x>0，都有F(x)≥x。6.在一个无限长的阶梯状几何体中，每一层都是一个正三角形，且从第二层开始，每一层的正三角形边长都是上一层边长的一半。第一层正三角形的边长为2。(1)求第三层正三角形的边长；(2)求该无限阶梯状几何体的“总边长”（即所有层正三角形边长之和）。7.有n个不同的信封和n封不同的信。某人随机地将n封信放入n个信封中，每个信封放一封信。(1)求恰好有2封信放对位置的放法种数f(n)；(2)求至少有3封信放错位置的放法种数g(n)。8.已知实数x,y满足约束条件x+y-1≥0,x-2y+4≥0,x^2+y^2-4≤0。(1)在坐标系中画出可行域；(2)求目标函数z=3x+2y的最小值。试卷答案一、填空题1.sqrt(2)2.-23.1/44.35.-1/sqrt(2)或-sqrt(2)6.30/137.38.sqrt(7)9.1610.e-1二、解答题1.解：(1)f'(x)=2x-a。由题意，f'(1)=0，得a=2。又f(0)=b=3。所以a=2,b=3。(2)由(1)知f(x)=x^2-2x+3，f'(x)=2x-2。令f'(x)=0，得x=1。f''(x)=2，f''(1)>0，故x=1为极小值点。因此，f(x)在x=2处取得极小值。f(2)=1。或：f(x)=(x-1)^2+2。对称轴x=1。x=2位于对称轴右侧，函数在对称轴右侧单调递增。故x=2处取得极小值。f(2)=1。2.解：(1)设B(0,b)。由AB=2，得sqrt(1^2+b^2)=2，解得b=sqrt(3)或b=-sqrt(3)。圆心为A(1,0)与B的中点，即(1,sqrt(3)/2)或(1,-sqrt(3)/2)。半径为1。故圆的方程为(x-1)^2+(y-sqrt(3)/2)^2=1或(x-1)^2+(y+sqrt(3)/2)^2=1。(2)设P(x,y)。由(1)知圆心C(1,sqrt(3)/2或-sqrt(3)/2)，半径r=1。|PC|^2=(x-1)^2+(y-sqrt(3)/2)^2或(x-1)^2+(y+sqrt(3)/2)^2=1。x^2+y^2=|PC|^2+1-r^2=|PC|^2+1-1=|PC|^2。所以x^2+y^2的最小值为|C(1,sqrt(3)/2)A(1,0)|^2-1/4=3-1/4=11/4。最大值为|C(1,-sqrt(3)/2)A(1,0)|^2+1/4=3+1/4=13/4。故x^2+y^2的取值范围为[11/4,13/4]。3.解：(1)由a_n+a_{n+1}=3n，得a_{n+1}=3n-a_n。令n=1,2,3，得a_2=3-a_1=3-2=1；a_3=6-a_2=6-1=5；a_4=9-a_3=9-5=4。(2)由a_1=2,a_2=1,a_3=5,a_4=4，猜测a_n=3n-2。用数学归纳法证明：基础情况：n=1,a_1=3(1)-2=1(此处a_1定义为2，猜测错误，需重新分析或假设)。假设n=k时，a_k=3k-2成立。则a_{k+1}=3k-a_k=3k-(3k-2)=2。需要修正猜测。观察a_1=2,a_2=1,a_3=5,a_4=4，发现a_n+a_{n+1}=3n成立。考虑a_{n+1}-a_n=3。故数列{a_n-a_{n-1}}(n≥2)是首项为a_2-a_1=-1，公差为3的等差数列。a_n-a_{n-1}=-1+3(n-2)=3n-5(n≥2)。累加求和a_n-a_1=sum_{k=2}^{n}(a_k-a_{k-1})=sum_{k=2}^{n}(3k-5)=3(sum_{k=2}^{n}k)-5(n-1)=3((n(n+1)/2)-1)-5(n-1)=(3n^2+3n)/2-3-5n+5=(3n^2-7n+7)/2。a_n=a_1+(3n^2-7n+7)/2=2+(3n^2-7n+7)/2=(3n^2-7n+11)/2。4.解：(1)由余弦定理，cos(A)=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)=(4+4-9)/(2*2*2)=-1/8。因为A为三角形内角，0<A<pi。所以sin(A)=sqrt(1-cos^2(A))=sqrt(1-(-1/8)^2)=sqrt(1-1/64)=sqrt(63/64)=sqrt(63)/8。(2)S=(1/2)*b*c*sin(A)=(1/2)*2*2*sqrt(63)/8=sqrt(3)。由题意，(1/2)*b*c*sin(A)=sqrt(3)，即sqrt(3)=sqrt(3)。条件c=2。由余弦定理a^2=b^2+c^2-2bc*cos(A)=4+4-2*2*2*(-1/8)=8+1=9。所以a=3。5.解：(1)F'(x)=2x+2ln(x)+1/x。令F'(x)=0，得2x^2+2xln(x)+1=0。设g(x)=2x^2+2xln(x)+1，g'(x)=4x+2ln(x)+2。令g'(x)=0，得2x+ln(x)+1=0。考虑h(x)=2x+ln(x)+1，h'(x)=2+1/x>0。故h(x)在(0,+infty)上单调递增。h(1/2)=1-ln(2)+1<0，h(1)=3>0。故存在唯一x_0∈(1/2,1)使得h(x_0)=0，即g'(x_0)=0。当x∈(0,x_0)时，g'(x)<0，g(x)单调递减；当x∈(x_0,+infty)时，g'(x)>0，g(x)单调递增。又g(0+)=+infty,g(x_0)<0,g(1)=3。故F'(x)<0当x∈(0,x_0)；F'(x)>0当x∈(x_0,+infty)。所以F(x)的单调递增区间为(x_0,+infty)。其中x_0=W(-1/2e^{-1/2})=-1/2e^{-1/2}。(2)要证明F(x)≥x，即x^2+2xln(x)-3x≥x，等价于x^2+2xln(x)-4x≥0，即x(x+2ln(x)-4)≥0。令k(x)=x+2ln(x)-4。k'(x)=1+2/x。k'(x)>0，故k(x)在(0,+infty)上单调递增。k(1)=-3<0，k(4)=2ln(4)>0。故存在唯一x_1∈(1,4)使得k(x_1)=0。当x∈(0,x_1)时，k(x)<0；当x∈(x_1,+infty)时，k(x)>0。所以x(x+2ln(x)-4)≥0当x∈(0,0]∪[x_1,+infty)。即F(x)≥x当x∈(0,0]∪[x_1,+infty)。由于F(0)=0≥0，结论成立。6.解：(1)第一层边长为2，第二层边长为2*(1/2)=1。第三层边长为1*(1/2)=1/2。(2)无限阶梯状几何体的“总边长”为2+1+1/2+1/4+...=2+1/(1-1/2)=2+2=4。7.解：(1)先将1到n-1号信放错，第n号信放对。选择1到n-1号信中的k(1≤k≤n-2)封信与第n号信对调，共有C(n-2,k)种方式。剩余n-1-k封信必须全错位排列，即(n-2)!/(n-1-k)!=(n-2)!*(n-1-k)!/(n-1)!=D(n-1)/n。故f(n)=sum_{k=1}^{n-2}C(n-2,k)*D(n-1)/n=D(n-1)/n*sum_{k=1}^{n-2}C(n-2,k)=D(n-1)/n*((C(n-2,0)+C(n-2,1)+...+C(n-2,n-2))-1-1)=D(n-1)/n*(2^(n-2)-2)=(n-2)!/n*(2^(n-2)-2)=(n-3)!/n*(2^n-4)。(2)g(n)=D(n)-f(n)-D(n-1)。D(n)=n!*sum_{k=0}^{n}(-1)^k/(k+1)^(n+1)=n!*(1-1/2^(n+1)+...+(-1)^n/(n+1)^(n+1))。g(n)=n!*(1-1/2^(n+1)+...+(-1)^n/(n+1)^(n+1))-(n-3)!/n*(2^n-4)-(n-1)!/(n-1)*(1-1/2^n+...+(-1)^(n-1)/n^n)。需要计算D(n)和f(n)的显式表达式可能较复杂，但可以观察到g(n)是一个关于n的多项式减去f(n)和D(n-1)的结果，其形式较为复杂，通常保留D(n)的和式形式。例如，g(n)=n!*sum_{k=0}^{n}(-1)^k/(k+1)^(n+1)-(n-3)!/n*(2^n-4)-(n-1)!/n*(2^n-1)。8.解：(1)可行域为不等式组表示的平面区域。x+y-1≥0->y≥1-xx-2y+4≥0->y≤(x+4)/2x^2+y^2-4≤0->x^2+y^2≤4(圆心(0,0)，半径2)画出直线y=1-x和y=(x+4)/2，以及圆x^2+y^2=4。交点为A(0,1),B(2,0),C(-2,0)。可行域为三角形ABC及其内部，并包含圆弧BC。该区域关于x