离散型随机变量及其分布列（精讲）

离散型随机变量及其分布列

知识梳理

一、随机变量与离散型随机变量

1、随机变量：一般地，对于随机试验样本空间Q中的每个样本点3,都有唯一的实数x（co）

与之对应，我们称X为随机变量.

2、离散型随机变量：可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称之为离散型随机

变量；通常用大写英文字母表示随机变量，例如X,Y,Z；用小写英文字母表示随机变量的

取值，例如x,y,z.

【留意】离散型随机变量的特征：

（1）可以用数值表示；

〔2〕试验之前可以推断其可能消失的全部值，但不能确定取何值；

〔3〕试验结果能一一列出.

3、“三步法〃判定离散型随机变量

〔1〕明确随机试验的全部可能结果；

⑵将随机试验的试验结果数量化；

〔3〕确定试验结果所对应的实数是否可按肯定次序一列出假如能一列出，

那么该随机变量是离散型随机变量，否则不是。

二、离散型随机变量的分布列

1、定义：一般地，设离散型随机变量X的可能取值为工,々,…,九〃，我们称X取每一个工的概

率P（X=芭.）=pt,z=1,2,3,，〃为X的概率分布列，简祢分布列.

离散型随机变量的分布列可以用表格表示：

X芭%・・♦%

PP\Pl・..Pn

2、离散型随机变量分布列的意义和作用

（U离散随机变量的分布列不仅能清晰地反映其所取的一切可能值，而且也能

看出取每一个值的概率的大小从而反映出随机变量在随机试验中取值的分布状

况，是进一步讨论随机试验数量特征的根底。

（2]离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各值的概率

之和。

3、离散型随机变量的分布列的性质

⑴Pi=

⑵Pl+〃2+,,+〃”=]

三、01分布

1、定义：对于只有两个可能结果的随机试验，用A表示“胜利〃，N表示“失败〃，

1A发牛

定义x=…假如％A）=〃，那么p（a=1-，那么x的分布列如表所示.

0,4不发生

X01

P1-PP

我们称X听从两点分布或0-1分布.

【留意】随机变量X只取。和1,才是两点分布，否则不是.

2、两点分布的适用范围

口〕讨论只有两个结果的随机试验的概率分布规律；

〔2〕讨论某一随机大事是否发生的概率分布规律。

如抽取的彩票是否中奖；买回的一件产品是否为正品；新生婴儿的性别；投篮是

否命中等，都可以用两点分布来讨论。

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常考题型

题型精析

题型一随机变■与离散型随机变■

[例1]（2022春•陕西渭南•高二渭南市华州区咸林中学校考期中〕袋中有3个白球、5个黑球，

从中任取2个球，以下选项中可以用随机变量表示的是〔〕.

A.至少取到1个白球B.至多取到1个白球

C.取到白球的个数D.取到球的个数

【答案】C

【解析】选项A,B是随机大事；选项D是定值2;

选项C可能的取值为0,1,2,可以用随机变量表示.应选：C.

【变式11】〔2023•全国•高二专题练习〕〔多项选择〕一副扑克牌共有54张牌，其中52张是正

牌，另2张是副牌〔大王和小王〕，从中任取4张，那么随机变量可能为〔〕

A.所取牌数B.所取正牌和大王的总数

C.这副牌中正牌数D.取出的副牌的个数

【答案】BD

【解析】对于A,所取牌数为4,是一个常数，不是随机变量，所以A错误，

对于B,4张牌中所取正牌和大王的总数可能为3,4,所以是随机变量，所以B正确，

对于C,这副牌中正牌数为52,是一个常数,不是随机变量，所以C错误，

对于D,4张牌中所取出的副牌的个数可能为（），1,2,所以是随机变量，

所以D正确，应选：BD

【变式12】〔2022春.江苏淮安・高二统考期末〕〔多项选择〕以下随机变量中属于离散型随机变

量的是〔〕

A.某亭内的一部1小时内使用的次数记为X

B.测量一个班级全部同学的体重，在60kg〜70kg之间的体重记为X

C.测量全校全部同学的身高,在170c〃卜175c7〃之间的人数记为X

D.一个数轴上随机运动的质点在数轴上的位置记为X

【答案】AC

【解析】1小时内使用的次数是可以列举的,是离散型随机变量，选项A正确；

体重无法——列举，选项B不正确；

人数可以列举，选项C正确；

数轴上的点有很多个，点的位置是连续型随机变量；选项D不正确；应选AC.

【变式13】〔2022.高二课时练习〕〔多项选择〕以下随机变量中不是离散型随机变量的是〔〕.

A.从10张已编好号码的卡片(1号到10号〕中任取一张，被取出的卡片的号码

B.一个袋子中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个球，其中所含白球的个数

C.某林场的树木最高可达30m,从今林场中任选一棵树，所选树木的高度

D.从某加工厂加工的某种铜管中任选一根，所选铜管的外径尺寸与规定的外径尺寸之差

【答案】CD

【解析】对于A,被取出的卡片的号码是1,2,3，…，10,共有10个值，是随机变化的,

符合离散型随机变量的定义；

对于B,从10个球中取3个球，所含白球的个数有0,1,2,3,共有4个值，

是随机变化的，符合离散型随机变量的定义；

对于C,所选树木的高度是随机变化的，它可以取(。，30］内的一切值，无

法一一列出，不是离散型随机变量；

对于D,实际测量值与规定值之间的差值是随机变化的，它布满了某个区间，

无法一列出，不是离散型随机变量.应选：CD

题型二离散型随机变■的分布列

【例2】〔2023.全国•高二专题练习〕一个袋中装有6个同样大小的黑球，编号为1、2、3、4、

5、6,从中随机取出3个球，以X表示取出球的最大号码.

(1)求X的分布；

〔2〕求X的取值不小于4的概率.

19

【答案】〔1〕答案见解析；〔2〕黑

【解析】〔1〕随机变量X的可能取值为3、4、5、6,

且P-3）噌等卷.

P（X=5）=等*,Q（X=6）=等号

y1uy乙

所以X的分布为：

X3456

1331

P

2020102

〔2〕X的取值不小于4的概率为：

33I19

P（X"）=P（X=4）+P（X=5）+P（X=6）=立+6+广坊.

【变式21]（2022春♦天津•高二校联考期末〕某小组共10人,利用假期参与义工活动.参与义

工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参

与座谈会.

〔1〕设A为大事“选出的2人参与义工活动次数之和为4〃，求大事A发生的概率；

〔2〕设X为选出的2人参与义工活动次数之差的肯定值，求随机变量X的分布列.

【答案】〔1〕|；（2）答案见解析

【解析】（1）4=1+3=2+2,所以

〔2〕X的可能取值为01,2,

P（X=0）=Cq+C；$,P（x=l）=C=C；C：q,p-2）=等咱

JoJojo

所以X的分布列为：

X012

474

P15

【变式22】〔2022秋河南南阳高二校考阶段练习〕某城市为了加快、两型社会〃〔资源节省型，

环境友好型〕的建设，本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多，自行车租车

点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的局部每小时收费2元〔缺

乏1小时的局部按1小时计算〕.有甲、乙两人相互来该租车点租车骑游〔各租一右一次〕.设

甲、乙不超过两小时还车的概率分别为5,i;两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为

两人租车时间都不会超过四小时.

〔1〕求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率；

〔2〕设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量X,求X的分布列.

【答案】〔1〕A.[2]答案见解析

10

【解析】〔1〕由题意得，甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为:，I,

租车费相同，即两人都在同一时间段还车，

标记甲、乙两人所付的租车费用相同为大事A,

1111115

那Dr7么/P(A)=—x-+—x—+—x一二一

刀v742244416

所以甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为得•

⑵由题可知，x可能取的值有0,2,4,6,8,

Ap(X=0)=lxl=l;P(X=2)=-xl+-!-x-!-=—;

='‘428'[74422161

P(X=4)=lxl4xl+ixl=

\7244244

p(X=8)=-xi=—

、74416

所以甲、乙两人所付的租车费用之和X的分布列为

X02468

\_5531

P

8正161616

【变式23】〔2022春.吉林长春.高二长春吉大附中试验学校校考阶段练习〕学校组织解题力量

大赛，竞赛规那么如下：依次解答一道解析几何题和两道立体几何题，解析几何正确得2分,

错误得0分；两道立体几何全部正确得3分，只正确一道题得1分，全部错误得0分；总分是

两局部得分之和.小明同学预备参赛，他目前的水平是：解析几何解答正确的概率是:；每道

立体几何解答正确的概率均为1.假设小明同学每道题的解答相互，

(1)求小明同学恰好有两道取解答正确的概率;

〔2〕求小明同学获得的总分X的分布列.

1；〔2〕答案见解析

【答案】〔1〕

a->

【解析】〔1〕由题意解析几何题解答正确的概率是1,立体几何题解答正确的概率为；，

所以小明同学恰好有两道题解答正确的概率

P=2x-x(l--)+-x(l--)x-+(l--)x-x-=—+—+—=i•

5335335334545459'

⑵由题意得X的可能取值为0,1,2,3,5,

oil07^11?R

^lP(X=O)=-x-x-=—,P(X=\)=-x(-x-+-x-)=—

53345'5333345

…c、31131…43N112、222204

P(X=2)=—x—x-=—=—P(X=3)=—x(­x—+—x­)+—x—x—=—=—

5334515，53333533459'

…-322124

P(X=5)=—x—x—=—=—,

5334515'

那么X的分布列为

X01235

28144

P454515915

题型三分布列的性质及其应用

【例3】〔2022春.山西吕梁.高二校联考期中〕设X是一个离散型随机变量，其分布列为

X-101

\-2qq?

P2

那么9等于〔〕

A.1B.1C.1-变D.

22

【答案】C

【解析】依题意，白1-24+/=脑2-2行!=。，

解得2+$-4xg及〔大于1,舍去〕或2+4xg上.应选：C

”―2—-1+Tq=------------------=1---------

【变式31】〔2023•全国.高二专题练习〕设X是一个离散型随机变量，那么以下不能作为X的

分布列的一组概率取值的数据是〔〕

A.J,3B

c.P,1-P（O<P<1）

1x2'2x3'…'7x8

【答案】D

【解析】依据分布列的性质可知，全部的概率之和等于1,且()工〃£。，女印2.

对于A,由于g+g=l,满意,

所以A选项能成为X的分布列的一组概率取值的数据；

对于B,由于。.1+0.2+0.3+0.4=1,且满意。<〃人工1,

所以B选项能成为X的分布列的一组概率取值的数据；

对于C,由于P+1-P=l,且满意,

所以C选项能成为X的分布列的一组概率取值的数据；

对于D,ST—+—+--+—=1--=-,

八J」z™J1x22x37x888'

所以D选项不能成为X的分布列的一组概率取值的数据.应选：D.

【变式32】〔2022春.山东济南.高二统考期末〕离散型随机变量X的分布列为

P(X=〃)=6+%TT(〃=12T5)，其中。为常数，那么P(X48)=〔)

A.；B.\C.ID.：

2345

【答案】B

【解析】P"=〃)=、+常=4附一甸,

所以P(X=1)+P(X=2)++P(X=15)=1=>«(V15+l-1)=1=1;

故P(XW8)=P(X=l)+P(X=2)++P(X=8)=；(>^TT-l)=g应选：B

【变式33】〔2023•全国•高二专题练习〕随机变量X的分布列如表〔其中。为常数〕：

【答案】C

【解析】由于。.1+0.1+a+0.3+0.2+0.1=1,所以a=0.2,

所以P(lVX43)=P(X=l)+P(X=2)+P(X=3)=0.1+0.2+0.3=0.6.应选：C.

题型四两点分布

【例4】〔2022春.重庆.高二校联考阶段练习〕设随机变量X听从两点分布，假设

P(X=1)—P(X=0)=0.3,月B么胜利」概率4X=1)=[]

A.().3B.0.35C.0.65D.

【答案】c

【解析】随机变量X听从两点分布，P(X=l)-P(X=0)=0.3,

依据两点分布概率性质可知：匕f口;茸『，

解得一(X=l)=0.65.应选：