线性代数知识点

性代数知^黠

第一章行列式

定羲：

1.逆序和逆序数：射於nf0不同内元素，先规定各元素之周有一倜檄型次序（例如nf®不同傕G自然数,

可规定由小到大卷檄型次序），於是在iln他元素G任一排列中，常某雨他元素G先彳爰次序典襟津次序

不同畤，就^有1（0逆序。一他排列中所有逆序内缠数叫做适］固排列内逆序数。逆序数悬奇数内排列叫

做奇排列，逆序数卷偶数C>排丸叫做偶排列。（P5）

2.n隋行列式：St有固数，排成n行n列G数表

ailai2ain

a2la22…a2n

a“ia”…aMn

作出表中位於不同行不同列C>nf0数O乘殖，加冠以符虢（-D,得到形如

（-1）匕加%介…。叽⑴

勿I队其中p》2…P”卷自然数1，2,…，n②一他I排列，t卷迨他|排列G逆序数。由於斌棣G排列共有

n!俯1,因而形如（1）式（7）项共有n!J短所有iln!I真（7）代数和

Z（一DAPS2P「.与”

耦卷n隋行列式，言己作

a

a,ia12…<n

a21^22…a2n

・・・・・・・・・

a“ia〃2…ann

曾言己作det（a/，其中a卜卷行列式DG⑴）元.（pG）

3.绘子式：在n睹行列式中，把(i,j)元所在第i行和第j列剥去彳麦，留卜味。)n-1隋行列式叫做

(i,j)元agCD绘子式，§£作Mg。(pl6)

4.代数绘子式：geAij=(—D"jMij,A.叫做(i,j)元ago代数除子式。(pl6)

定理：

1.一值I排列中他1任意丽f0元素封换，排列改燮奇偶性。98)

推谕奇排列建成檄型排列G封换次数悬奇数，偶排列燮成檄型排列G封换次数卷偶数。

2.nI睹行列式也可定羲卷

£>=Z(-iyap(Iap22...aPnn

其中t悬行襟排列PR…PnG逆序数。(P9)

3.行列式等於它O任一行(列)内各元素舆其封鹰0代败绘子式乘稹之和，即

D=a4i+a4+---+a4</=U.../?)

ili22in(pl7J

D=aljAj+a2jA2j+---+anj4j(J=U.../z)

推^行列式某一行(列)G元素典另一行(列)O方鹰元素G代数绘子式乘稽之和等於零，即

a"ji+aj2Aj2+…+amAn=0(iw/),、

(pl9)

aa4+a=0

iiAj+2iA>j----niAlj(^J)

4.如果性方程(1-1)(TH系数行列式Dwo,邱J(1-1)一定有解，且解是惟一0)。

“.如果^性方程^(1-1)辗解或有雨倜不同d)解，即它系数行列式必卷零。

十一2工2十…％"怎=4,

%丙+。22%+…j-

11-1)

q内+勺2々+…怎=2，

4内+《2再+-4占二°，

生内+生2%+…42，d〃=0,

<[1-2)

4胸+32+.-43〃=0，

5.如果膂次^性方程能（1-2）0保数行列式。工0,即膂次性方程系且（1-2）没有非零解。

51如果膂次^性方程备且（1-2）有非零解，刖它内保数行列式必卷零。

性氟

1.行列式典它内醇置行列式相等，即力=zy\（p9）

2.互换行列式O雨行（列），行列式建虢。（P10）

腾^艘育推^如果行列式有再行（列）完全相同，即此行列式等於零。（pio）

3行列式G某一行（列）G所有元素都乘以同一数k,等於用数k乘此行列式。（plO）

推^行列式中某一行（列）G所有元素②公因数可以提到行列式言己虢G外面。（plO）

4.行列式中如果有丽行（列）元素成比例，即此行列式等於零.（plO）

5.假设行列式G某一列（行）（Z）元素都是雨数之和，即道他行列式是封鹰雨值I行列式内和。（plO）

6.把行列式G某一列（行）O各元素乘以同一数然彳及加到另一列（行）封鹰内元素上去，行列式不燮。

（pll）

D,当i=j

7.代数绘子式：Z4Aj=Dbg=,

0,当iwj

或t%4=g=,。，当i=j

K=\0,当iwj

1,当i=j

其中西

’0,当i=j(p20)

引理:

［一值In隋行列式，如果其中第i行所有元素出(ij)元与外都卷零，那麽造行列式等於与

除子式G乘稹，即

D—a讪Ai✓、

产J(P16)

克拉默法即:

4内+生电+…即'二4，

＜。2西+422戈2+…。2〃%=%，(11)

。〃内+32+…凡”4=2，

如果幺泉性方程组(1-1)G彳系数行列式不等於零，即

41…4”

D=……w0,

*…

那麽,方程组(1-1)有唯一解

RD

王22

"万七万'…3D

其中。,(7=1,2"・,〃)是保数行列式D中第j列G元素用方程Z且右端O常数J真代替彳发所得到GnI喈行列

式。

第二章矩障及其il算

定热

1.矩端由mX〃倜数%(/=1,2,…,m\j=1,2,…,")排成0m行n列CD数表

aHai2ain

a21a22a2n

aa

mla,”？…,MM

椭卷m行n列矩睡，蔺耦"?x〃矩弹。悬表示它是一他整醴，迪是加一他括弧，加用大嘉黑醴字母表示

它，言已作

收Ha•••a„,J

m2/

道“7x〃倜数穗卷矩睡AO元素，曾穗卷元，数%.位於矩障AG第i行第j歹I」，耦卷矩晔A6①j)元,

以数%耒(ij)元G矩阵可gI司作(％)或(%)。mx〃矩障A也言己作A,…。

uv\y/〃卬1〃*"

元素是宜阿内矩睡矩睡，元素是禊数o矩阵和i卷禊矩睡。

行数典列数都等於nG矩睡耦卷n隋矩I隼或n隋方|隼。nP皆知障A也SG作儿。

只有一行G矩弹耦卷坦鲫，又耦行向量,只有一列G矩睡穗卷到矩陞，又耦列向量。

雨(0矩睡内行数相等、列数也相等畴，就桶它俨］是同型矩障。如果A典B是通行矩睡，加且它优封

元素相等，那麽就耦矩障A典矩障B粗笠。

元素都是零G矩睡和i卷雯钦，^作。。注意不同型内零矩睡是不同O。(P29)

2.掠数矩障：n值I燮数再，W，…，/典mI®燮数%，必，…，为之心彳系式

必二％内十%2电十…十%"七，

卜2=生内+%2々+…+%不

(2-1)

[%=。加%+%24+•••+(/〃

表示一他I优燮数为,吃,…,与到燮数到，月，…，)”内魁燮攘，其中为酒常数，幺泉性燮换内保数为横成

矩|隼A=(%),““。保数所横成O矩1隼稠卷彳系数矩睡。(p31)

3.军位矩阵：，泉性燮换

>1=白-r

〈必=」6，

》=」

叫做恒等燮按，它封雁.•依In陛方阵

1()…()、

£=01…0

00…1

\/

叫做n暗皇位矩陛，曾机里位陛。造阿方睡内特助是:优左上角到右下角G直^(主封角上G元素

都是1，其他元素都是0。即单位1淖EG(i,j)元悬

KJL当i=J/..I

2(p31)

，J[o,当iw/

4.封角矩障：性燮换

y=4西，

必=4»x,

V2

j〃=4

S®n隋方|隼

’4o••.（）、

04）…0

A=

00…A

\n/

造倜方特黠是：不在封角^上内元素都是0。造禅方阵对,舄封角矩障。封角阵也言己作

A=»〃电（4,4,…，4）。

5.矩阵（Z）加法：有丽俯l〃2X〃矩晔A=（%）和8=（%）,那麽矩睡A典矩睡BG和8C作A+B,规定悬

。12+如…%”+如

生|+”21a22+^22〃2”+82〃

A-iB=

am\+〃川a,„2+"”2…a>nn+“〃〃

注意，只有富雨他矩睡是同型矩隙畤，14雨彳固矩障才能才能迤行加法遑算。

加法满足建算规律:

(i)A+8=B+A

m)(A+B)+c=A+(8+c)(p33)

6.数典矩障相乘：数4典矩障A②乘稹言己作/L4或44,报定卷

及II及12…履I"

Aa2iAa22•••Aa2n

AA=AA=

、助川而〃,2…4金”

数乘矩障满足il算规律：

(0

(;z)(2+//)A=Z4+//A;

(Hi)〃A+B)=/L4+;IA

矩障相加舆数乘矩障合起51c统耦卷矩障G幺泉性通算。（P33）

，矩阵典矩阵相乘：^人=(%)是一他1〃住5矩网.，3=(%)是一他15乂〃矩附.，那麽规定矩陛A黑起陛

B@乘横是一佃〃?X〃矩阵C=(C))，其中

£

%=4乩+知匕+…+=Z4也，

k=l

(f=1,2,--•,///;j=1,2,•••,/?)

企把此乘稹^作

C=AB

按此定羲，他Ixs行矩阵典T固sxl列矩阵O乘稽是胭1隐邠$,也就是咽数，由比说明矩阵

AB=C(J)(i,j)元Q就是A0第i行舆BO第j列O乘稹。

必须注意：只有富第一他I矩阵(左矩障)G列数等於第二他矩浦(右矩弹)G行数畤，雨他I矩阵才能相

乘。

矩睡相乘满足内遑算规律：

(i)(A3)C=A(8C);

m)〃AB)=(/LA)/?=4(28)(其中4为数)；

(iii)A(B+C)=AB+AC,

(B+C)A=BA+CA.

注意：乘法不满足交换律。

封於军位矩睡E,容易瞬瞪：

PA—AAp—A

~F冰〃'Fix〃〜—FJX〃

或者曾嘉成

EA=AE=A.

可见单位矩障E在矩睡乘法中G作用^似於数1.

8.零矩障：每倜元素均卷零0)矩睡，言已卷0。

9.触量障(数量阵):数k和军位障G乘稹悬数量障。

10.封角弹：非主封角元素均卷零0矩I隼耦卷封角弹。

11.上(下)三角阵:常i>(<)j峙，4=0。)矩附洞卷上(卜J二角阳。

1

12.娄f耦睡：满足修件A，=40矩随A稠卷封稠障，A'=A^>aij=aJi.

封耦睡内性

(i)假设A可正交瓯译JA“="也是正交弹，且网=1或(-1)；

(ii)假设A和B都是正交弹，刖AB也是正交弹。

474例=一%小巧

A=—A<=><

13.反封耦睡：满足修件A，=-AG矩障A耦卷反封稠弹，1%=。

14.正交矩障：满足AT=A"或A/f=ArA=EG矩障耦卷正交矩阵。

15.醇置矩障：把矩障AG行换成同序数G列得到G—他I新矩恒，叫做A(D穗置矩障，§B作A"

斡置矩阵内遵算规律：

(i)(Ar)r=A;

(ii)(A+B)r=Ar+Br;

(iii)(AA)r=AAr;

(iv)(AB)/=B,A1.

(A/y=A;(M)r=M7;(A+B)T=AT+BT;(AB)T=BTAT;卜［=同丁=同.

16.方弹(D行列式：由nI喀方阵AG元素所横成G行列式(各元素G位置不夔),稠悬方随A@行列式,

BE作|川或detA.

方阵行列式满足内遵算规律：

(D|AT|=|4

(帅4|叫琳

(沆)|蝴=同|可

17.伴随端行列式同分各他阮素O代数除子式&所情成内如卜切矩障

Ai/…Atl[

A242…Au

4=

A4”…

耦卷矩阵A②伴随矩睡,曾植佳随陛。

封任意n隋方阵A,都有伴随矩阵A，,且有公式;

AXA=\A\E

.pi-i

ki=ir人I

常网工0%有

A*=|A|AH=JA*,A=M（AT；

\A\

（^）（M）-=|^E;

ATiATy=\AT\E;

A-,（A~1）*=|A-,|E；

4（A）=4*E.

（A7）*=（A-）7',（A-'）*=（A*）-',（AB）*=^A*.

⑷;『A

18.共聊矩障：常A=(%)焉褛矩阐1寺，用均表示%@共粒祓数，言己

A=(%),

入耦悬AG共鞭矩睡。

共聊矩睡满足Oil算规律：

(i)A+8=H;

⑹苏=刀；

19.逆矩障：封於n陷矩阵A,如果有一体In陪矩阵B,使

AB=BA=E,

郎定克矩睡A是可逆她把矩I障B和j卷AO逆矩|隼，曾耦逆弹。，^作4一二

如果矩阵八是可逆内，那麽AG逆矩［隼是惟一CD.假设AB-E,同J必有BA-E,且B惟〜

A可逆G充要脩件是网工0。常网HO%A可逆，且

A-1=p-rA*.

同

假设A=P5/L艮UAA=P#PL

假设A,B是同陷可逆矩睡：刖

⑴(A")T=A;(2)若kw(),则(抬尸=氏-四7;(3)43也可逆，且(ABF=AL

(4)不也可逆，且(A7)T=(k)7;(5),7卜|A「.

20.分现矩障：射於行政和列数敕高内矩障A,11算畤常探用力感达，使大矩睡内蛋算化成小矩阵内建算。

符矩障A用假设干脩和横^分成言午多(|可小矩睡，每一倜小矩阵机aAG王瑰，以子瑰四元素O形式

上矩睡耦卷分现矩障。

OWS^*»*w**^^*^WV*S^V*^^*w*

分墟矩睡满足O遑算法同J:

/\

(AA,]㈤BJA+B、A,+B,

⑴■十

14AJ4B”、4+夕3A4+B4^

(43)'kAkB、

(ii)k

CDkCkD

\/\/

(AB\Xy](AX+BZAY-^-BW]

(沆)=

CDZWCX+DZCY-^DW

\J\/\/

(M若A,B分别为九〃阶方阵，则分块对角Pi的幕为

AOA"O

OB)(0B”

定理：

1.假设矩P$A可逆，印]网工0。

2.假设网工0,即矩睡A可逆，且

A-1=，—

同

其中A*卷矩向IAG伴随弹。

富|A|=0,A耦卷奇巽矩睡,否即成卷韭⑥曩矩颐。由上面雨定理可知：A是可逆矩阵（D充要脩件是

阳。0,即可■逆矩阵就是非奇昊矩睡。

推tft：假设A8=£1或（A4=E）,^\B=A-]

第三章矩障内初等燮换典^性方程

定羲：

1.矩障内行初等燮换：

⑴对调两行（对调，，两行，记侑;c。）；

①）以数及力0乘某一行中的所有元素（第i行乘匕记作,;A）;

（山）把某一行所有元素弥倍加到另一行对应的储上去（第行的&倍力口至悌i行上，记作年+卬.

把定羲中内“行”换成“列”，即得矩睡内初等列燮搂0定羲（所用12虢是把“r”换成“c”）。

矩阵内初等行燮换舆舆初等列燮换，统耦初等燮换。

2.矩睡（D等值：如果矩阵A有限次初等行燮换燮成矩睡B,就穗矩隧A舆B行等慎，器己作A〔B；如

果矩障A余篁有限次初等列燮换爨成矩阵B,就橘矩建A典旦列笠假，Be作如果矩障A幺挹有限次

初等燮换燮成矩I和，就稠矩陛A典且笠慎，^作A〜3。

矩睡之冏等性

⑴反身性A~A;

3）对称性若4〜民则

（沆）传递性若人~B,B~C,则A~C.

3.行陷梯形矩睡：其特黠是，可重出一脩I喈梯幺泉，G下方全悬0；每他耋陪只有一行，耋喈敬即是非

零行G行数，隋梯幺泉内鳖^（每段鳖/泉G辰度卷一行）彳及面G第一他元素卷非零元，也就是非零行G第

一体I非零元。

4.行最曾形矩弹：其特钻是，非零行G第一倜非零元卷1,且渣些非零元所在O列G其他元素都卷0。

封於任何矩障A*“，青恩可^谩有限次初等行燮换把它燮换卷行陷梯形矩障和行最曾形矩睡。

5.檄型型：封行最曾形矩障再施以初等列燮换，可以夔成一槿形状更曾里G矩阵，耦卷檄型型。其特粘

是，襟型型O左上角是一体I军位矩晔，其绘元素都卷0.

6.初等矩阵：由单位|隼E/监谩一次初等燮换得到O矩睡耦卷初等矩睡。

/、

100

⑴七2（"）=0k0,E的第2行（或第2列）乘攵倍，称为倍乘初等矩降

001

\/

’010、

⑵生:100,E的1,2行（或1,2列）互换，称为互换第矩阵；

001

\/

’000、

⑶昂（Q=010,后的第一行网倍加到第3行（或第3列的人倍加到第1列），

k01

\7

称为倍加初等矩阵。

初等矩阵内性

（1）初等矩障G醇置仍是初等矩阵；

（2）因|耳出|=%工0,|周=-1=0,|与（砌=1工0,故初等矩睡都是可逆矩睡,且

山⑻「二Ei(%,Ej=与;=E.{-k)

其逆矩障仍是初等矩睡；

(3)假设A是可逆矩弹，用JA可以表示成一系列初等矩障G乘稹，即A=《鸟…6，其中几鸟,…,R

是初等矩障；

(4)封nF皆矩障A迤行初行等燮换，相常於揩矩弹A左乘相鹰内初等矩弹，同檬，封A暹行初等列燮

挨，相富於符居住呢A右乘相愿G初等矩睡。

7.k陪子式：在机x〃矩睡A中，任取k行典k列(kWm,k£n),位於造些行列交叉虑O/倜元素，

不改建它f］在A中所虑G位置次序而得Gk隋行列式，耦卷矩阵A0k隋子式。

加X〃矩睡AOkP皆子式共有C：•C：他I。

8.矩阵O秩：在矩阵A中有一佃不等於0(Dr陪子式D,且所有r+1陷子式(如果存在内言舌)全等於0,

那麽D稠卷矩阵AG最高陷非零子式,数"再四矩陛A0株，言已作R(A),或规定零矩阵G秩等於0.

由於R(A)是AG非零子式G最高陷数，因此，假设矩阵A中有某值Is陪子式不卷0,即

R(A)>s；假设A中所有t喀子式全卷0,1ijR(A)<to

可逆矩睡又耦漉秩矩1%不可逆矩睡(奇累矩睡)又稠隆株矩睡。

矩睡O秩O性

(1)0<Z?(/4)<min{/〃,〃}；

(2)R(A7)=R(4)；

⑶假设A~3,MiJR(A)=R(B)；

⑷假设P,Q可逆，即R(PA0=R(A)；

(5)max{R(A),R(B)}<R(A,B)<R(A)+R(B),

特别地，富4=。悬非零向量畤，有"(A)WA(A,/?)«"(A)+l。

(6)R(A+B)<R(A,B)<R(A)+R(8)；

(7)R(A)+R(B)-n<R(AB)<nin{R(A),R(B)}；

⑻假设AMBX=。，即&A)+R(B)<no

(Ao]

⑶R=R(A)+R(B).

[0B)

(Ao]

(10)R(A)+R(B)《<R(A)+R(B)+R(C)

[CB)

矩阵G秩常见结

⑴agA卷nFS矩睡，更JR(A+E)+R(A-E)之〃

(2)k^^数，R(kA)=R(A).

(3股n元膂次性方程Ai=0典8Y=0同解，R(A)=R(B).

(4)ArAx=0典Ar=0同解，氏(4丁/1)=R(A)。

⑸伴随矩睡G秩：

⑴R(A)=〃=>R(A')=〃；

⑵R(4)=〃-lnR(A.)=l;

⑶R(A)<〃-lnR(A*)=0.

定理：

1木殳A典B卷/〃x〃矩阵，那麽：

⑺4:3的充要条件是存面阶可逆矩阵P,使PA=3;

(")屋5的充要条件是存缶阶可逆矩阵e，使AQ=3;

(iii)A~8的充要条件是存缶%阶可逆矩降尸及〃阶可逆矩阵Q,使P4Q=B.

推tli：方睡A可逆G充分必要修件是4〜E。

2.假设4〜8,即R(A)=R(8)。

推tft：假设可逆矩弹P,Q使PAQ=B,印］R(A)=R(3)。

3.n元^性方程幺且Ax=Z?

(i)辗解G充要修件R(A)<R(A,b)；

(ii)有惟一解G充要修件是R(A)=R(A,b)=n：

(iii)有辗限多解O充要修件是7?(A)=R(A,b)=r<n,可以嘉出含n-r他参数G通解。

4.n元膂次性方程/且4x=0有非零解G充要修件是R(A)<胃o

5W泉性方程^Av=〃有解内充要脩件是R(A)=R(A,b)。

6.矩I隼方程AX=3有解O充要修件是R(A)=&A,B)。

7.^AB=C,fliJ/?(C)<min{R(A\R(B)}.

第四章向量;性相^性

定羲：

1.向量：n他］有次序O数4，%,…,凡所^成②数幺且耦卷通电量，道rH固数稠^^向量n他分量，第

i佃数为稠卷第if0分量。

分量全差T囱敷G向量稠虑宜向量，分量是裾嗷O向量耦四禳向量。

2独性^合：给定向量A：勺出,…,明,封於任何一名且^数匕次”…,心，^算式

3+—••,+-•

稠卷向量^AG—偏^性篇合,匕,右，…,心耦卷道俯性^合内保数。

会合定向量^flA：q,〃2,…M”,和向量b,如果存在一^数％,否,…,4”，使

-=4.+..+…+4品

期向量b是向量A性^合，迨畴穗回量b能由向量飙A合性表示。

向量b能由向量，祖A名泉性表示，也就是方程徐I

有解。

3.向量等假：有雨彳固向量^A:q,生,…,品及庆加",…也，假设B余且中G每他向量都能由向量

A副性表示，刖稠向量^B能出向量热且反谶性衣示。假设向量A舆向量条且B能相互^性表示，肉」

耦造雨倜向量^等慎。

4痛性相B8：定向量^从：卬,生，…，。〃,，如果存在不全卷零②数配色，…,心，使

占q+&2%+…+/金=°

刖耦向量是雌祖否用井苒它,缘性射网。

5.向量1®(D秩：as有向量^HA,如果在A中能退出r倜向量％,生，…Mr，满足

(i)向量^4：%，生，…，泉性*M；

(ii)向量组A中任意r+1值1向量(如果A中有r+1值|向量0青舌)都幺泉性相

那麽耦向量是向量AO一值1最大幺泉性^^向量幺且(曾耦最大^^留且)；最大辗E账目所含向量值I

数r稠悬回影SA2挺，^作《。

只含零向量G向量系且没有最大辗麻规定它G秩卷0。

6.解向量：有膂次幺泉性方程组

4内+42々+.-4/〃二°，

ax^ax+--ax=0,

(2l2222tlll

。〃内+为2工2+.一《〃占二°，(4⑴

<aila2-、

••“a.In

aa••

2l222/iX2

A二，x=

.............•・•

a•••a

M”]m2mn/

庠J(4-1)可以嘉成向量方程

Ax=0

假设再=枭,电=$”…，％=或悬(4-1)0ft?,M'J

但“

户之

x=《=...

稽卷方程^(4-1)G解向量，它也就是向量方程(D解。

解向量O性

⑴假设悬向量方程G解，即工=。+$也是方程内解。

(2)假设X=。卷方程G解，即工二攵。也是方程G解。

(33殳X=。»=42都是4/=人少解，刖x=7-%卷封鹰G膂次^性方程书且4%=0内解。

⑷=是方程解.，x=g是方程解.，刖x=〃+＜仍是方程Ax=/?O解.。

6.向量空卷n雉向最内集合，如果集合V非空，旦集合V封於向量(7)加法及乘数雨槿建算封朗，

那麽就稠集合V卷向量空

所需封童,是指在集合V中可以迤行向量G加法及乘数闲梗速算，具醴地gft，就是：

若。W匕〃£匕则4+〃£V；若。£匕2G/?,贝1」而£V.

7.基：卷向量空惜J,如果r®l向量4，%广・,生£果,且满足

⑴…M,微性融RS；

(ii)V中任一向量都可由q,4，•••，4性表示，

那麽，向量组4,。2,…，可就木苒悬向量空^VG—(固基,rF再卷向量空^VG筵数，、浓耦V悬rJtJnJ

量空倘I。

如果向量空有基，那麽VG雉数悬0。0雉向量空^只含一值I零向量0。

假设把向量空IWV看作向量?心刖由最大瓢片胖出内等慎定羲可知，VG基就是向展^0)最大簸后账口,

V少维数就是向量知1CD秩。

8.座襟、自然基：如果在向量空V中取定一低1基四,。2,…，勺，那麽V中任一向量x可惟一地表示卷

/=44,4%/、44，^^4,4,…4邪卷向量x在基4，6，…，可中内座擦。

特别地，在n幺隹向量空ISR"中取罩位座襟向量^e,,4,…,e”卷基,肆J以％,%，…,乙悬分量内向量x，

可表示卷X=X]G+工202+…+工岛，可见向量在基,,02,…，〃中G座檄就是吉亥向量G分量，因此

e,G,…，匕，叫做R”中G自然基。

定理：

1.向量b能由向量^A：4，%广、^^性表示内充要修件是矩阵A=(%,生「・，4〃)内秩等於矩障

8=（4…/）G秩。

2.向量冬口氏配与，…也能由向量^A:q,%，…M”^性表示少充要修件是矩障A=（q,%，一•，《“）内秩

等於矩阵（A3）=（q,…,《”,々「・，4）G秩，即R（A）=R（A,B）.

推祢向量组A:4,电，…,4n典向量^氏々也，…力等慎内充要修件是

R（A）=R（B）=R（A,B）

其中A和B是向量区口A和B所横成（D矩阵。

2,向量^a力2,…,瓦能由向量^%，生，…，金性表示内充要修件是

R（4,%，…，%）=R（4，…,品,瓦,•••,，）

3段向量3:4也,…,功能由向量留口A:%,生,…,。川取泉性表示，R'JR（E也,…旬）WR（q,生，…《”）。

3,假设向量幺。B能由向量^A^性表示，R>JRB<RAO

4.向量,组卬,。2,…,4”^性相^④充要脩件是它修件所情成内矩障八二5产生/一4尸内秩小於向量倜敷

m;向量性辗RfltD充要脩件是R（A）=〃?o

5.⑴假设向量组A:4生，…，与性相即足I向量^B:4M2,…，4，《"+1也幺泉性相林凯反言之，假设向

量;SB幺泉性辗3目，泽J向量区且A也^性辗BS。

（2）m他n雉向量^成内向屋铝，富雉数n小於向量倜数m畤一定^性相|»。特别地，n+二他n雉向

量一定性相林也

（3股向量A:,生，…，。〃微性相阚，而向量^B:q,生，…,4,〃幺泉性相BS,R0向量b必能由向量能

A幺泉性表示，且表示是惟一G。

6.矩阵G秩等於它O列向量幺且②秩，也等於它G行向量秩。

推^(最大^^^0)等值定羲J:股：向量黜4：卬,。2,…，q是向量^AO-他1局部^1,且渊足

(i)向量性辗Kfl：

(ii)向量纯1A②任一向量都能由向量太口4^性表示，那麽向量^4便是向量?i!A(z)一他最大趣|«向我名口。

7段机X〃矩障AG秩R(A)=r，R1Jn元膂次;®性方程余且At=0解集S②秩/?$=〃一厂。

第五章相似矩睡及二次型

定羲:

1.内^^有n雉向量

%

[%,引=石乂+电为+…+/乂，

[x,)，]稠四向量x典y(?)内稹。

内稹是雨他I向量之带一槿II算，其结果是一^^数，用矩障言己虢表示，富x舆y都是列向量畤,

有卜y]=/y。

内稹0)性其中x,y,z卷n雉向量，Z^WW：

⑴卜)[=[乂旦

(〃■)出,y]=A[x,y];

(«/)[x+y,z]=[x,z]+[y9z];

(2)当x=0时,[x,x]=0;当;vw0时,[x,x]>0

施瓦茨不等式

[x.yf<[x,x][y,j].

2展度：令|国=(扇=后高二佛卷n雄向量展度(或篦数)。

富国=1%耦x卷单位向量。

向量内是度内性

(i)非负性常XH0畤，帆＞()；常x=0畤，M=0；

(帧次性|网|=|那小

(iii)三角不等式k+M4W+||M。

3.烧18正交基:^口雉向量巧,华广、/是向量空^丫(VuR")(D一值I基,如果4,62,…,令雨雨相交,

巨都是单位向量，即稀《,62,…，/是VO—他烧靶正交基。

4.正交化：giq,…,凡是向量空I目VO一佰］基，要求VG一值I猊艇正交基。道也就是要找一组雨雨正交

G罩位向量…使q,…,e.舆以,….等II。道棣一值I冏题，耦悬把",…，可逼他基用.如正交化。

5.施密特正交化：把4,…,对正交化，取

4=q；

b-a4

瓦切

b

…b=a，-瓦^b/_瓦h也。』〃广__町_［加也必］一b户-，

然彳为把它俨］单位化，即取：

。扁"=向%…，崎加

就是VtD-f0烧靶正交基。

6.正交燮换：假设P卷正交矩阵，性燮换y=P工穗卷正交燮换。

骰：），=Er^正交燮换，即有

INI=yjyry=ylxrP'Px=77x=||邓

即^正交燮换^段晨度保持不燮（彳处而三角形G形;伏保持不夔），it是正交夔换内侵良性。

7.特徵值、特徵向量：aSA是n隋矩睡，如果数4和n雉非零列向量x是^^式Ar=4t成立，那麽,

道棣G数/M再悬矩弹AG量悠值，非零向量x耦卷A②封鹰於特徵值2G特徵回量。上式也可嘉成

（74—2E）x=0,

道是n他1未知数n他1方程内膂次^性方程太口，它有非零解G充要脩件是彳系数行列式

M-仍二0

4[-2。12…a\n

a2\。22-4…a2n

即

・・・・・♦・・・

an\an2…4n-4

上式是以人卷未知数内一元n次方程，稠卷矩障A内特徵方程。其左端|A-入E|是入（Dn次多项式，言己

作f（N）,耦卷矩睡AG特徵多项式。^然，A②特徵值就是特徵方程②解。特徵方程在^收®H#内横

有解，其他1败悬方程②次数（重根按重数St算），因此，n陷矩弹A在禊数靶圃内有nf0特徵值。

8.相似矩障：BSA.B都是n醋矩阵，假设有可逆矩睡P,使

P-iAP=B

期穗B是A（7）相似矩睡，或^矩睡A典B相似。射A暹行il算尸一四尸稠卷封A暹行相似燮换，可逆矩

牌:P耦卷把A燮成BG相似夔换矩睡。

9.封角化：^n陷矩阵A,题求相似燮换矩睡P,使P-"P=A^^角弹，it就耦卷把矩陛A第角化

10.二次型：含有n彳固燮数玉,七,…,x〃G二次膂次函数

J（王，大2，…，％”）=1M+出2工2atuiXn+2%%。2+^13工1助“_]

稽卷二次型

取。"=%,RiJ2%x/j=a/Xj+a/产i,於是⑸式可嘉成

/=〃“尤；+%2芭12+一.+4/占+〃2M2再+〃224+…+42d2/十…+4dM+。―.•+4”Y

〃

=z%g.

任给一他二次型，就惟一地碓定一依I封耦弹；反之，任给一他封耦弹，也可惟一地碓定一他1二次型。道

棣，二次型典封耦睡之措j存在一一s-teM^o因此，我ri把封耦障A叫做二次型f（D矩阵,也把f叫做

到耦睡