湖北省高中名校联盟2027届高三上学期8月联考数学试卷（含解析）

湖北省高中名校联盟2027届高三上学期8月联考数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知全集，集合，，则（

）A． B．C． D．2．若，则（

）A． B． C． D．3．已知向量，，且与互相垂直，则实数（

）A． B． C． D．4．若圆锥的轴截面是底边长为4，顶角为的等腰三角形，则该圆锥的侧面积为（

）A． B． C． D．5．已知，是椭圆的左、右焦点，为上一点，且，，则的离心率为（

）A． B． C． D．6．已知函数的部分图象如图所示，，是图象与轴的交点，且，，．则（

）A． B． C． D．7．已知抛物线的焦点为，准线为．过点作直线交于，两点，分别过，作的切线，两切线交于点．若，则直线的斜率的取值范围是（

）A． B．C． D．8．已知函数，若存在正实数，，使得，，则的取值范围是（

）A． B．C． D．二、多选题9．下列结论中正确的是（

）A．若随机变量满足，则B．数据，，，，，的分位数是C．若随机变量，，则D．当相关系数时，样本点都落在同一条直线上10．记数列的前项和为，若，，则下列选项正确的有（

）A．数列为等差数列B．C．D．数列为周期数列11．已知曲线，点在上，为坐标原点，则（

）A．B．的取值范围是C．直线与有且仅有4个交点D．三、填空题12．的展开式中的系数为________．13．已知圆，过坐标原点作的两条切线，切点分别为，，点在直线上，则的最小值为________．14．在正方体中，为的中点．设正方体的所有顶点与棱的中点构成集合，若从中任取两个点连成直线，则与直线垂直的直线条数为________．四、解答题15．已知为等差数列，且，.(1)求的通项公式；(2)设，求数列的前项和.16．如图，在三棱柱中，，，四边形为菱形，，．(1)求二面角的余弦值；(2)求三棱柱的体积．17．记的内角、、的对边分别为、、，，、为边上的点．(1)若为的角平分线，，，求的面积；(2)若为锐角三角形，为边上的中线，，求的取值范围．18．已知双曲线的离心率为2，右焦点到渐近线的距离为，左焦点为，过的直线与的右支交于、两点，且点在第一象限．(1)求的标准方程；(2)若，求的方程；(3)记的内心为，的内心为，的面积为，的面积为，求的最大值．19．某精密仪器厂对生产的一批产品进行质量检验，产品按质量分为一等品和二等品．已知每个产品为一等品的概率都为，且各产品是否为一等品相互独立．现从这批产品中有放回地抽取件作检验，记其中一等品的个数为．定义该批产品的综合质量指数为．(1)求；(2)设，记，证明：；(3)设，且正实数，满足，定义函数，证明：对任意满足条件的，．《湖北省高中名校联盟2027届高三上学期8月联考数学试卷》参考答案题号12345678910答案BAACCDBDACDAC题号11答案ABD12．10由二项式定理知，的展开式中的项为，即对应系数为10.13．如图，其中一条切线为轴，设切点为．设另一条切线的方程为，由到切线的距离为2，得，解得．所以的方程为．联立，消去化简的：，解得，故，即，所以．所以的方程为：，即：．所以的最小值为点到直线的距离，即．14．19如图，在正方体中，设对应棱上的点（非顶点）为棱的中点，连接，．因为，所以平面．因为平面，所以．又因为，平面，所以平面．因为平面，所以．同理．因为平面，所以平面．故所有与垂直的直线在平面内或与平面平行．易知与平面平行的平面有平面，平面和平面，此外连接的中点得到的直线也与平面平行，所以满足条件的直线条数为：（条）．15．(1)(2)（1）由已知条件可得，解之得，，所以，.（2）由可得，，设数列的前项和为.则，∴，以上二式相减得，所以，.16．(1)；(2)．（1）取的中点，连接．四边形为菱形，，与是等边三角形，．．，是二面角的平面角．又，平面，平面平面．平面．．．所以二面角的余弦值为．（2）过作于点，则，，．平面，平面，．且平面面．所以．所以三棱柱的体积为．17．(1)；(2)．（1）因为是的角平分线，所以．因为，所以．因为，所以，化简得．又因为，由余弦定理得，所以．所以，解得．所以的面积为．（2）由余弦定理，得，即．因为为边的中线，所以．所以．由正弦定理，得，所以．所以．因为为锐角三角形，，所以，解得．所以．所以．所以，即．18．(1)；(2)；(3)（1）因为右焦点到渐近线的距离，所以．又离心率，且，解得．所以的标准方程为．（2）设直线，点在第一象限，故，联立消去得．由韦达定理，得．因为与的右支交于两点，所以，即．因为，且，所以．所以，解得，满足要求，由于，故，故，解得，故，所以的方程为．（3）由已知得．过的内心作的垂线，垂足分别为，如图所示．根据切线长定理，得，由，得．又，所以．而，则．所以．同理．所以．又，所以．因为，所以，解得．即，同理．所以．因为，所以．所以．又，所以．因为，所以．