高数开学考试题目及答案

高数开学考试题目及答案一、选择题（8题，每题3分，共24分）

1.下列函数中，在区间（-∞，+∞）上单调递增的是：

A.y=-2x+5

B.y=x^3

C.y=1/x

D.y=sin(x)

2.函数f(x)在点x0处可导，且f'(x0)=0，则称x0为f(x)的：

A.极大值点

B.极小值点

C.拐点

D.驻点

3.极限lim(x→0)(sinx/x)的值为：

A.0

B.1

C.∞

D.不存在

4.若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则在(a,b)内至少存在一点ξ，使得：

A.f(ξ)=(f(b)+f(a))/2

B.f'(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)

C.f(ξ)=0

D.ξ=(a+b)/2

5.曲线y=x^3-3x^2+2在区间(1,2)内：

A.上升

B.下降

C.先上升后下降

D.先下降后上升

6.若函数f(x)在点x0处取得极值，且f'(x0)存在，则：

A.f'(x0)=0

B.f'(x0)≠0

C.f''(x0)=0

D.f''(x0)≠0

7.不定积分∫(x^2+1)dx的值为：

A.x^3/3+x+C

B.(x^2+1)/3+C

C.x^3+x+C

D.(x^2+1)+C

8.若级数∑(n=1→∞)a_n收敛，则下列级数中一定收敛的是：

A.∑(n=1→∞)2a_n

B.∑(n=1→∞)(-1)^na_n

C.∑(n=1→∞)√a_n

D.∑(n=1→∞)a_n^2

二、（一）多项选择题（5题，每题4分，共20分）

1.下列函数中，在区间（-∞，+∞）上连续的是：

A.y=|x|

B.y=1/(x-1)

C.y=tan(x)

D.y=arctan(x)

2.下列说法中正确的有：

A.若f(x)在区间I上单调递增，则f(x)在区间I上可导

B.若f(x)在点x0处取得极值，且f'(x0)存在，则f'(x0)=0

C.若f(x)在区间I上连续，则f(x)在区间I上可积

D.若级数∑(n=1→∞)a_n收敛，则级数∑(n=1→∞)|a_n|收敛

3.下列函数中，在区间（-∞，+∞）上可导的有：

A.y=x^2

B.y=|x|

C.y=1/x

D.y=sin(x)

4.下列说法中正确的有：

A.若f(x)在点x0处取得极值，则f(x)在点x0处可导

B.若f(x)在区间I上单调递增，则f'(x)>0

C.若f(x)在区间I上连续，则f(x)在区间I上可积

D.若级数∑(n=1→∞)a_n收敛，则级数∑(n=1→∞)a_n^2收敛

5.下列函数中，在区间（-∞，+∞）上可积的有：

A.y=x^2

B.y=|x|

C.y=1/(x-1)

D.y=sin(x)

（二）判断题（5题，每题2分，共10分）

1.若函数f(x)在点x0处取得极值，则f(x)在点x0处可导。（）

2.若级数∑(n=1→∞)a_n收敛，则级数∑(n=1→∞)a_n^2收敛。（）

3.若函数f(x)在区间I上连续，则f(x)在区间I上可积。（）

4.若f(x)在区间I上单调递增，则f(x)在区间I上可导。（）

5.若f(x)在点x0处取得极值，且f'(x0)存在，则f'(x0)=0。（）

三、（一）填空题（5题，每题4分，共20分）

1.极限lim(x→∞)(3x^2+2x-1)/(5x^2-3x+2)的值为________。

2.函数f(x)=x^3-3x^2+2的驻点为________。

3.曲线y=x^3-3x^2+2的拐点为________。

4.不定积分∫(x^2+x)dx的值为________。

5.若级数∑(n=1→∞)a_n收敛，则级数∑(n=1→∞)a_n/(n^2)一定________。

（二）计算题（4题，每题8分，共32分）

1.求极限lim(x→0)(e^x-1-x)/x^2。

2.求函数f(x)=x^3-3x^2+2的单调区间和极值。

3.求不定积分∫(x^2-2x+1)dx。

4.判断级数∑(n=1→∞)(1/n(n+1))是否收敛。

四、综合题（2题，每题10分，共20分）

1.设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在(a,b)内可导，证明在(a,b)内至少存在一点ξ，使得f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a)。

2.设函数f(x)在区间I上连续，且对任意x1,x2∈I，有|f(x1)-f(x2)|≤K|x1-x2|，其中K为常数，证明f(x)在区间I上单调。

五、材料分析题（2题，每题14分，共28分）

1.阅读下列材料，回答问题：

“函数f(x)在区间I上连续，则f(x)在区间I上可积。”判断该说法是否正确，并说明理由。

2.阅读下列材料，回答问题：

“若级数∑(n=1→∞)a_n收敛，则级数∑(n=1→∞)a_n^2收敛。”判断该说法是否正确，并说明理由。

答案部分：

一、选择题

1.B

2.D

3.B

4.B

5.B

6.A

7.A

8.A

二、（一）多项选择题

1.A,D

2.B,C

3.A,C,D

4.B,C,D

5.A,B,D

（二）判断题

1.×

2.×

3.√

4.×

5.√

三、（一）填空题

1.3/5

2.0,3

3.(1,2)

4.x^3/3+x^2/2+x+C

5.收敛

（二）计算题

1.1/2

2.单调递增区间：(负无穷,1)，单调递减区间：(1,2)；极大值点：x=1，极大值：2

3.x^3/3-x^