2025年高考数学立体几何解题方法训练试卷

2025年高考数学立体几何解题方法训练试卷考核对象：高三理科学生题型分值分布：-单项选择题（10题，每题2分，共20分）-填空题（10题，每题2分，共20分）-判断题（10题，每题2分，共20分）-简答题（8题，每题2分，共16分）-应用题（8题，每题4分，共24分）一、单项选择题（每题2分，共20分）1.在空间直角坐标系中，点A（1，2，3）到平面π：x-2y+3z=6的距离为（）A.1B.√14C.√10D.√22.已知直线l：x=1与平面α：x+y+z=1相交，则直线l在平面α上的投影方程为（）A.x=1，y+z=0B.x=1，y-z=0C.x=1，y+z=1D.x=1，y-z=13.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E为棱CC1的中点，点F为棱BB1的中点，则直线AE与平面B1C1EF所成角的正弦值为（）A.1/3B.2/3C.√2/3D.√3/34.已知三棱锥P-ABC的底面ABC为等边三角形，PA⊥平面ABC，PA=2，且PA=AB，则点P到平面ABC的距离为（）A.√3B.2√3C.1D.√25.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC为直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC=1，AA1=2，则直线A1B与平面ABC所成角的正切值为（）A.1/2B.√2/2C.1D.√26.已知正四棱锥P-ABCD的底面边长为2，高为3，则侧面PAB与底面ABCD所成二面角的余弦值为（）A.3/5B.4/5C.1/√2D.1/27.在三棱锥P-ABC中，PA⊥BC，PA=BC=2，且△PBC为等边三角形，则三棱锥P-ABC的体积为（）A.√3B.2√3C.4√3D.8√38.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点E为棱CC1的中点，点F为棱BB1的中点，则直线AE与直线B1D所成角的余弦值为（）A.1/3B.1/√2C.2/3D.√2/39.在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC=1，AA1=2，则直线A1C与平面ABB1A1所成角的正弦值为（）A.1/2B.√2/2C.1/√2D.√3/210.已知正四棱台的上底面边长为1，下底面边长为3，高为2，则该正四棱台的侧面积为（）A.8√2B.10√2C.12√2D.14√2二、填空题（每题2分，共20分）1.在空间直角坐标系中，点A（1，2，3）到直线l：x=1，y=2+t，z=3-t的距离为______。2.已知平面α：x+y+z=1与平面β：2x-y+3z=0相交，则两平面交线的方向向量为______。3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E为棱CC1的中点，点F为棱BB1的中点，则三棱锥A-EBF的体积为______。4.在三棱锥P-ABC中，PA⊥BC，PA=BC=2，且△PBC为等边三角形，则点P到平面ABC的距离为______。5.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC为直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC=1，AA1=2，则直线A1B与直线CC1所成角的余弦值为______。6.已知正四棱锥P-ABCD的底面边长为2，高为3，则侧面PAB与底面ABCD所成二面角的正切值为______。7.在三棱锥P-ABC中，PA⊥BC，PA=BC=2，且△PBC为等边三角形，则三棱锥P-ABC的表面积为______。8.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点E为棱CC1的中点，点F为棱BB1的中点，则直线AE与直线B1D所成角的正弦值为______。9.在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC=1，AA1=2，则直线A1C与平面ABB1A1所成角的余弦值为______。10.已知正四棱台的上底面边长为1，下底面边长为3，高为2，则该正四棱台的侧面积为______。三、判断题（每题2分，共20分）1.在空间直角坐标系中，点A（1，2，3）到平面π：x-2y+3z=6的距离等于点B（-1，-2，-3）到该平面的距离。（）2.已知直线l：x=1与平面α：x+y+z=1相交，则直线l在平面α上的投影是一条直线。（）3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E为棱CC1的中点，点F为棱BB1的中点，则直线AE与平面B1C1EF所成角为直角。（）4.在三棱锥P-ABC中，PA⊥BC，PA=BC=2，且△PBC为等边三角形，则点P到平面ABC的距离等于2√3。（）5.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC为直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC=1，AA1=2，则直线A1B与平面ABC所成角为45°。（）6.已知正四棱锥P-ABCD的底面边长为2，高为3，则侧面PAB与底面ABCD所成二面角的余弦值为3/5。（）7.在三棱锥P-ABC中，PA⊥BC，PA=BC=2，且△PBC为等边三角形，则三棱锥P-ABC的体积为2√3。（）8.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点E为棱CC1的中点，点F为棱BB1的中点，则直线AE与直线B1D所成角为60°。（）9.在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC=1，AA1=2，则直线A1C与平面ABB1A1所成角为30°。（）10.已知正四棱台的上底面边长为1，下底面边长为3，高为2，则该正四棱台的侧面积为8√2。（）四、简答题（每题2分，共16分）1.在空间直角坐标系中，已知点A（1，2，3），点B（3，2，1），点C（2，1，3），求平面ABC的一个法向量。2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E为棱CC1的中点，点F为棱BB1的中点，求三棱锥A-EBF的体积。3.在三棱锥P-ABC中，PA⊥BC，PA=BC=2，且△PBC为等边三角形，求点P到平面ABC的距离。4.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC为直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC=1，AA1=2，求直线A1B与平面ABC所成角的正切值。5.已知正四棱锥P-ABCD的底面边长为2，高为3，求侧面PAB与底面ABCD所成二面角的余弦值。6.在三棱锥P-ABC中，PA⊥BC，PA=BC=2，且△PBC为等边三角形，求三棱锥P-ABC的表面积。7.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点E为棱CC1的中点，点F为棱BB1的中点，求直线AE与直线B1D所成角的余弦值。8.在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC=1，AA1=2，求直线A1C与平面ABB1A1所成角的余弦值。五、应用题（每题4分，共24分）1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E为棱CC1的中点，点F为棱BB1的中点，求直线AE与平面B1C1EF所成角的正弦值。2.在三棱锥P-ABC中，PA⊥BC，PA=BC=2，且△PBC为等边三角形，求三棱锥P-ABC的体积。3.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC为直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC=1，AA1=2，求直线A1B与直线CC1所成角的余弦值。4.已知正四棱锥P-ABCD的底面边长为2，高为3，求侧面PAB与底面ABCD所成二面角的正切值。5.在三棱锥P-ABC中，PA⊥BC，PA=BC=2，且△PBC为等边三角形，求点P到平面ABC的距离。6.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点E为棱CC1的中点，点F为棱BB1的中点，求直线AE与直线B1D所成角的余弦值。标准答案及解析一、单项选择题1.C解析：点A到平面π的距离d=|1×1-2×2+3×3-6|/√(1²+(-2)²+3²)=√10。2.A解析：直线l在平面α上的投影为过点（1，0，0）且平行于平面α的法向量（1，1，1）的直线，即x=1，y+z=0。3.B解析：建立空间直角坐标系，A（0，0，0），E（0，0，1），B1（1，1，1），F（1，1，0），则向量AE（0，0，1），向量EF（0，0，-1），向量B1F（0，0，-1），cosθ=|AE•EF|/|AE||EF|=1/√2，sinθ=√2/2。4.A解析：点P到平面ABC的距离即为点P到BC中垂面的距离，为√3。5.C解析：建立空间直角坐标系，A（0，0，0），B（1，0，0），C（0，1，0），A1（0，0，2），B1（1，0，2），cosθ=|向量A1B•向量BC|/|A1B||BC|=1/√2，sinθ=√2/2。6.A解析：建立空间直角坐标系，A（-1，-1，0），B（-1，1，0），C（1，1，0），D（1，-1，0），P（0，0，3），cosθ=|向量PB•向量AD|/|PB||AD|=3/5。7.B解析：建立空间直角坐标系，A（0，0，0），B（-1，0，0），C（0，-1，0），P（0，0，2），体积V=1/3×底面积×高=1/3×√2/2×2×2√3=2√3。8.A解析：建立空间直角坐标系，A（0，0，0），E（0，0，1/2），B1（1，1，1），D（1，-1，0），cosθ=|向量AE•向量B1D|/|AE||B1D|=1/3。9.B解析：建立空间直角坐标系，A（0，0，0），C（1，0，0），B（0，1，0），A1（0，0，2），C1（1，0，2），cosθ=|向量A1C•向量AB|/|A1C||AB|=√2/2。10.C解析：侧面积=4×(1+3+√10)=12√2。二、填空题1.√14解析：点A到直线l的距离d=|1×1-2×2+3×3|/√(1²+(-2)²+3²)=√14。2.（1，-1，3）解析：两平面交线的方向向量为法向量的叉积（1，1，1）×（2，-1，3）=（1，-1，3）。3.1/6解析：体积V=1/3×底面积×高=1/3×1/2×1×1=1/6。4.√3解析：点P到平面ABC的距离即为点P到BC中垂面的距离，为√3。5.1/2解析：建立空间直角坐标系，A（0，0，0），B（1，0，0），C（0，1，0），A1（0，0，2），C1（0，1，2），cosθ=|向量A1B•向量CC1|/|A1B||CC1|=1/2。6.3/4解析：建立空间直角坐标系，A（-1，-1，0），B（-1，1，0），C（1，1，0），D（1，-1，0），P（0，0，3），cosθ=|向量PB•向量AD|/|PB||AD|=3/4。7.12+4√3解析：表面积=底面积+侧面积=2×1+4×√3=12+4√3。8.1/3解析：建立空间直角坐标系，A（0，0，0），E（0，0，1/2），B1（1，1，1），D（1，-1，0），cosθ=|向量AE•向量B1D|/|AE||B1D|=1/3。9.√2/2解析：建立空间直角坐标系，A（0，0，0），C（1，0，0），B（0，1，0），A1（0，0，2），C1（1，0，2），cosθ=|向量A1C•向量AB|/|A1C||AB|=√2/2。10.12√2解析：侧面积=4×(1+3+√10)=12√2。三、判断题1.错解析：点A到平面π的距离为√10，点B到平面π的距离为√14，不相等。2.对解析：直线l在平面α上的投影是一条直线。3.错解析：直线AE与平面B1C1EF所成角不为直角。4.对解析：点P到平面ABC的距离为√3。5.错解析：直线A1B与平面ABC所成角不为45°。6.对解析：cosθ=3/5。7.对解析：体积为2√3。8.错解析：所成角不为60°。9.错解析：所成角不为30°。10.错解析：侧面积为12√2。四、简答题1.解：向量AB（2，0，-2），向量AC（1，-1，3），法向量n=AB×AC=（2，0，-2）×（1，-1，3）=（-2，-8，-2），取（1，4，1）。2.解：体积V=1/3×底面积×高=1/3×1/2×1×1=1/6。3.解：点P到平面ABC的距离即为点P到BC中垂面的距离，为√3。4.解：建立空间直角坐标系，A（0，0，0），B（1，0，0），C（0，1，0），A1（0，0，2），cosθ=|向量A1B•向量BC|/|A1B||BC|=1/√2，sinθ=√2/2。5.解：建立空间直角坐标系，A（-1，-1，0），B（-1，1，0），C（1，1，0），D（1，-1，0），P（0，0，3），cosθ=|向量PB•向量AD|/|PB||AD|=3/5。6.解：表面积=底面积+侧面积=2×1+4×√3=12+4√3。7.