2026年福建省北师大版高中数学必修第5章函数性质测试题库试卷

2026年福建省北师大版高中数学必修第5章函数性质测试题库试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.函数f(x)=x^3-3x+2在区间(-2,2)上的最大值和最小值分别是多少？A.最大值4，最小值-4B.最大值4，最小值-2C.最大值2，最小值-4D.最大值2，最小值-2参考答案：C解析：首先求导数f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0得x=±1。计算f(-2)=-10，f(-1)=4，f(1)=0，f(2)=4。因此最大值为2，最小值为-4。2.函数f(x)=x^3-3x^2+2x在区间[0,3]上的单调递增区间是？A.[0,1]B.[1,2]C.[2,3]D.[0,1]和[2,3]参考答案：D解析：求导数f'(x)=3x^2-6x+2，解不等式3x^2-6x+2>0得x<1或x>2。因此单调递增区间为[0,1]和[2,3]。3.函数f(x)=x^3-ax^2+bx在x=1处取得极值，且曲线在点(1,0)处的切线斜率为-3，则a和b的值分别是？A.a=3，b=0B.a=3，b=-3C.a=0，b=3D.a=0，b=-3参考答案：B解析：由f(1)=0得1-a+b=0，由f'(1)=-3得3-2a+b=-3。联立方程组解得a=3，b=-3。4.函数f(x)=x^3-3x^2+2x+1的图象与x轴的交点个数为？A.1个B.2个C.3个D.4个参考答案：C解析：令f(x)=0得x^3-3x^2+2x+1=0。求导f'(x)=3x^2-6x+2，令f'(x)=0得x=1±√(1/3)。由f(0)=1>0，f(1)=1>0，f(2)=1>0，f(-1)=-1<0，f(3)=10>0，可知有3个交点。5.函数f(x)=|x^3-x|在区间[-2,2]上的极值点个数为？A.2个B.3个C.4个D.5个参考答案：D解析：f(x)=|x^3-x|={x^3-x,x≥0;-x^3+x,x<0}。求导f'(x)={3x^2-1,x>0;-3x^2+1,x<0}。令f'(x)=0得x=±1/√3。计算f(-2)=6，f(-1/√3)=2√3/9，f(0)=0，f(1/√3)=2√3/9，f(1)=0，f(2)=6。共有5个极值点。6.函数f(x)=x^3-3x^2+2x+1在区间[-1,3]上的最大值是？A.3B.5C.7D.9参考答案：C解析：求导f'(x)=3x^2-6x+2，令f'(x)=0得x=1±√(1/3)。计算f(-1)=0，f(1-√(1/3))≈5，f(1+√(1/3))≈-1/9，f(3)=7。因此最大值为7。7.函数f(x)=x^3-ax^2+bx-1在x=1处取得极值，且曲线在点(1,0)处的切线与直线y=x平行，则a和b的值分别是？A.a=3，b=2B.a=3，b=1C.a=2，b=3D.a=2，b=1参考答案：A解析：由f(1)=0得1-a+b-1=0，由f'(1)=1得3-2a+b=1。联立方程组解得a=3，b=2。8.函数f(x)=x^3-3x^2+2x在区间[-1,3]上的最小值是？A.-1B.-2C.-1/9D.0参考答案：C解析：求导f'(x)=3x^2-6x+2，令f'(x)=0得x=1±√(1/3)。计算f(-1)=-1，f(1-√(1/3))≈5，f(1+√(1/3))≈-1/9，f(3)=2。因此最小值为-1/9。9.函数f(x)=x^3-3x^2+2x+1的图象与y轴的交点坐标是？A.(0,1)B.(0,0)C.(0,-1)D.(1,0)参考答案：A解析：令x=0得f(0)=1。因此交点坐标为(0,1)。10.函数f(x)=x^3-3x^2+2x在x=2处的曲率半径是？A.2B.3C.4D.5参考答案：B解析：曲率半径R=|(1+(f'(x))^2)^(3/2)|/|f''(x)|。计算f'(2)=-2，f''(2)=6，代入公式得R=3。二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分。把答案填在题中横线上）1.函数f(x)=x^3-3x^2+2x在x=1处的极值为________。参考答案：极小值0解析：求导f'(x)=3x^2-6x+2，令f'(x)=0得x=1±√(1/3)。计算f(1)=0，因此x=1处取得极小值0。2.函数f(x)=x^3-ax^2+bx在x=2处取得极大值，且曲线在点(2,3)处的切线斜率为-1，则a和b的值分别为________和________。参考答案：a=7，b=11解析：由f(2)=3得8-4a+2b=3，由f'(2)=-1得12-4a+b=-1。联立方程组解得a=7，b=11。3.函数f(x)=|x^3-x|在x=1处的左导数和右导数分别为________和________。参考答案：左导数-2，右导数2解析：f(x)=|x^3-x|={x^3-x,x≥1;-x^3+x,x<1}。计算f'(1-)=-3+1=-2，f'(1+)=3-1=2。4.函数f(x)=x^3-3x^2+2x在区间[-2,2]上的最大值与最小值之差为________。参考答案：9解析：计算f(-2)=-10，f(-1)=3，f(0)=0，f(1)=0，f(2)=0。最大值为3，最小值为-10，差为13。5.函数f(x)=x^3-ax^2+bx-1在x=1处取得极值，且曲线在点(1,0)处的切线与x轴平行，则a和b的值分别为________和________。参考答案：a=3，b=1解析：由f(1)=0得1-a+b-1=0，由f'(1)=0得3-2a+b=0。联立方程组解得a=3，b=1。三、解答题（本大题共5小题，共80分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）1.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2x+1。（1）求函数f(x)的单调区间；（2）求函数f(x)在区间[-2,3]上的最大值和最小值。解：（1）求导f'(x)=3x^2-6x+2。解不等式3x^2-6x+2>0得x<1-√(1/3)或x>1+√(1/3)。因此单调递增区间为(-∞,1-√(1/3))和(1+√(1/3),+∞)。解不等式3x^2-6x+2<0得1-√(1/3)<x<1+√(1/3)。因此单调递减区间为(1-√(1/3),1+√(1/3))。（2）计算f(-2)=-5，f(1-√(1/3))≈5，f(1+√(1/3))≈-1/9，f(3)=10。因此最大值为10，最小值为-5。2.已知函数f(x)=x^3-ax^2+bx在x=1处取得极大值，且曲线在点(1,0)处的切线斜率为-3。（1）求a和b的值；（2）求函数f(x)的单调区间；（3）求函数f(x)在区间[-2,2]上的最大值和最小值。解：（1）由f(1)=0得1-a+b=0，由f'(1)=-3得3-2a+b=-3。联立方程组解得a=3，b=-2。（2）f(x)=x^3-3x^2-2x，求导f'(x)=3x^2-6x-2。解不等式3x^2-6x-2>0得x<1-√(5/3)或x>1+√(5/3)。因此单调递增区间为(-∞,1-√(5/3))和(1+√(5/3),+∞)。解不等式3x^2-6x-2<0得1-√(5/3)<x<1+√(5/3)。因此单调递减区间为(1-√(5/3),1+√(5/3))。（3）计算f(-2)=12，f(1-√(5/3))≈5，f(1+√(5/3))≈-5，f(2)=-2。因此最大值为12，最小值为-5。3.已知函数f(x)=|x^3-x|。（1）求函数f(x)的导数；（2）求函数f(x)的极值点；（3）求函数f(x)在区间[-2,2]上的最大值和最小值。解：（1）f(x)=|x^3-x|={x^3-x,x≥1;-x^3+x,x<1}。求导f'(x)={3x^2-1,x>1;-3x^2+1,x<1}。在x=0处导数不存在。（2）令f'(x)=0得x=±1/√3。计算f(1/√3)=2√3/9，f(-1/√3)=-2√3/9。因此极值点为x=±1/√3和x=0。（3）计算f(-2)=6，f(-1)=0，f(-1/√3)=2√3/9，f(0)=0，f(1/√3)=2√3/9，f(1)=0，f(2)=6。因此最大值为6，最小值为-2√3/9。4.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2x+1。（1）求函数f(x)的拐点；（2）求函数f(x)的渐近线；（3）画出函数f(x)的简图。解：（1）求二阶导数f''(x)=6x-6。令f''(x)=0得x=1。计算f(1)=1。因此拐点为(1,1)。（2）函数为三次多项式，没有渐近线。（3）函数在(-∞,1)单调递增，在(1,+∞)单调递增，在(1,1)处取得极小值。图象经过点(-2,-5)，(0,1)，(1,1)，(2,3)。5.已知函数f(x)=x^3-ax^2+bx在x=1处取得极值，且曲线在点(1,0)处的切线与直线y=x平行。（1）求a和b的值；（2）求函数f(x)的单调区间；（3）求函数f(x)在区间[-2,2]上的最大值和最小值；（4）求函数f(x)的拐点。解：（1）由f(1)=0得1-a+b=0，由f'(1)=1得3-2a+b=1。联立方程组解得a=1，b=-2。（2）f(x)=x^3-x^2-2x，求导f'(x)=3x^2-