2026年湖南省湘教版高二数学第7章知识点巩固习题试卷

2026年湖南省湘教版高二数学第7章知识点巩固习题试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知函数f(x)=log₃(x²-ax+a)在(1,+∞)上单调递增，则实数a的取值范围是A.(-∞,2)B.(-2,2)C.(2,+∞)D.[2,+∞)参考答案：C解析：函数f(x)=log₃(x²-ax+a)在(1,+∞)上单调递增，需要满足两个条件：①x²-ax+a>0在(1,+∞)上恒成立；②x²-ax+a是关于x的增函数在(1,+∞)上成立。首先考虑x²-ax+a>0在(1,+∞)上恒成立，即a<x+1/x在(1,+∞)上恒成立。由于x+1/x在(1,+∞)上单调递减，所以x+1/x>2，因此a≤2。然后考虑x²-ax+a是关于x的增函数在(1,+∞)上成立，需要满足2x-a>0，即a<2x在(1,+∞)上成立。由于2x在(1,+∞)上单调递增，所以2x>2，因此a<2。综合两个条件，得到a<2。又因为a≤2，所以a的取值范围是(2,+∞)。2.若函数g(x)=sin(ωx+φ)的图像关于直线x=π/4对称，且其最小正周期为π，则下列说法正确的是A.ω=2，φ=kπ+π/4(k∈Z)B.ω=2，φ=kπ-π/4(k∈Z)C.ω=4，φ=kπ+π/4(k∈Z)D.ω=4，φ=kπ-π/4(k∈Z)参考答案：B解析：函数g(x)=sin(ωx+φ)的图像关于直线x=π/4对称，说明sin(ω•π/4+φ)=±1。由于最小正周期为π，所以ω=2k，其中k为正整数。当ω=2时，有2•π/4+φ=kπ+π/2或2•π/4+φ=kπ+3π/2，解得φ=kπ-π/4或φ=kπ+π/4。当ω=4时，有4•π/4+φ=kπ+π/2或4•π/4+φ=kπ+3π/2，解得φ=kπ-3π/4或φ=kπ-π/4。因此，只有选项B正确。3.已知函数f(x)=x³-3x²+2x在区间[-1,3]上的最大值和最小值分别为M和m，则M-m的值为A.1B.2C.3D.4参考答案：D解析：首先求f(x)的导数f'(x)=3x²-6x+2。令f'(x)=0，解得x=1±√3/3。由于x=1+√3/3在区间[-1,3]内，而x=1-√3/3在区间[-1,3]外，所以只需要考虑x=1+√3/3。计算f(-1)=-4，f(1+√3/3)=(1+√3/3)³-3(1+√3/3)²+2(1+√3/3)=-2√3/9，f(3)=0。因此，M=0，m=-4，M-m=4。4.已知向量a=(1,2)，b=(x,1)，且|a+b|=√10，则向量a与b的夹角θ的余弦值为A.1/√5B.2/√5C.3/√5D.4/√5参考答案：B解析：向量a+b=(1+x,3)，所以|a+b|=√((1+x)²+3²)=√10。解得(1+x)²+9=10，即(1+x)²=1，解得x=0或x=-2。当x=0时，b=(0,1)，向量a与b的夹角θ为π/2，cosθ=0。当x=-2时，b=(-2,1)，向量a与b的夹角θ的余弦值为cosθ=(1×(-2)+2×1)/√(1²+2²)×√((-2)²+1²)=-2/√5×√5=-2/5。因此，选项B正确。5.已知函数f(x)=|x-1|+|x+2|，则f(x)的最小值为A.1B.2C.3D.4参考答案：C解析：函数f(x)=|x-1|+|x+2|可以分段表示为：当x≤-2时，f(x)=-(x-1)-(x+2)=-2x-1；当-2<x<1时，f(x)=-(x-1)+(x+2)=3；当x≥1时，f(x)=(x-1)+(x+2)=2x+1。因此，f(x)的最小值为3。6.已知函数f(x)=sin²x+cos²x+tan²x，则f(π/4)的值为A.1B.2C.3D.4参考答案：C解析：函数f(x)=sin²x+cos²x+tan²x=1+tan²x。当x=π/4时，tan(π/4)=1，所以f(π/4)=1+1²=2。因此，选项C正确。7.已知函数f(x)=2cos²x-sin(2x)+1，则f(x)的最小正周期为A.πB.2πC.π/2D.4π参考答案：A解析：函数f(x)=2cos²x-sin(2x)+1=cos(2x)+1-sin(2x)+1=cos(2x)-sin(2x)+2=√2cos(2x+π/4)+2。因此，f(x)的最小正周期为π。8.已知函数f(x)=x³-ax²+bx-1在x=1处取得极值，且f(1)=0，则a+b的值为A.3B.4C.5D.6参考答案：B解析：函数f(x)=x³-ax²+bx-1在x=1处取得极值，所以f'(1)=0。计算f'(x)=3x²-2ax+b，代入x=1得到3-2a+b=0。又因为f(1)=0，所以1-a+b-1=0，即-a+b=0。解得a=3，b=3，所以a+b=6。因此，选项B正确。9.已知函数f(x)=sin(x+α)在区间[0,π]上的图像与直线y=1/2没有交点，则实数α的取值范围是A.[2kπ-π/6,2kπ+5π/6](k∈Z)B.[2kπ+π/6,2kπ+7π/6](k∈Z)C.[2kπ-π/3,2kπ+π/3](k∈Z)D.[2kπ-5π/6,2kπ+π/6](k∈Z)参考答案：D解析：函数f(x)=sin(x+α)在区间[0,π]上的图像与直线y=1/2没有交点，说明sin(x+α)≠1/2在[0,π]上恒成立。由于sin(x+α)在[0,π]上的取值范围是[-1/2,1/2]，所以x+α的取值范围不能包含2kπ+π/6和2kπ+5π/6。因此，α的取值范围是[2kπ-5π/6,2kπ+π/6](k∈Z)。10.已知函数f(x)=|x-1|+|x-2|+|x-3|，则f(x)的最小值为A.1B.2C.3D.4参考答案：B解析：函数f(x)=|x-1|+|x-2|+|x-3|可以分段表示为：当x≤1时，f(x)=-(x-1)-(x-2)-(x-3)=-3x+6；当1<x≤2时，f(x)=-(x-1)-(x-2)+(x-3)=-x；当2<x≤3时，f(x)=-(x-1)+(x-2)+(x-3)=x-4；当x>3时，f(x)=(x-1)+(x-2)+(x-3)=3x-6。因此，f(x)的最小值为2。二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分。把答案填在题中横线上）1.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的图像关于直线x=π/4对称，且其最小正周期为π，则ω=，φ=。参考答案：2；kπ-π/4(k∈Z)解析：函数f(x)=sin(ωx+φ)的图像关于直线x=π/4对称，说明sin(ω•π/4+φ)=±1。由于最小正周期为π，所以ω=2k，其中k为正整数。当ω=2时，有2•π/4+φ=kπ+π/2或2•π/4+φ=kπ+3π/2，解得φ=kπ-π/4或φ=kπ+π/4。当ω=4时，有4•π/4+φ=kπ+π/2或4•π/4+φ=kπ+3π/2，解得φ=kπ-3π/4或φ=kπ-π/4。因此，ω=2，φ=kπ-π/4(k∈Z)。2.已知函数f(x)=x³-3x²+2x在区间[-1,3]上的最大值和最小值分别为M和m，则M-m=。参考答案：4解析：首先求f(x)的导数f'(x)=3x²-6x+2。令f'(x)=0，解得x=1±√3/3。由于x=1+√3/3在区间[-1,3]内，而x=1-√3/3在区间[-1,3]外，所以只需要考虑x=1+√3/3。计算f(-1)=-4，f(1+√3/3)=(1+√3/3)³-3(1+√3/3)²+2(1+√3/3)=-2√3/9，f(3)=0。因此，M=0，m=-4，M-m=4。3.已知向量a=(1,2)，b=(x,1)，且|a+b|=√10，则向量a与b的夹角θ的余弦值为。参考答案：2/√5解析：向量a+b=(1+x,3)，所以|a+b|=√((1+x)²+3²)=√10。解得(1+x)²+9=10，即(1+x)²=1，解得x=0或x=-2。当x=0时，b=(0,1)，向量a与b的夹角θ为π/2，cosθ=0。当x=-2时，b=(-2,1)，向量a与b的夹角θ的余弦值为cosθ=(1×(-2)+2×1)/√(1²+2²)×√((-2)²+1²)=-2/√5×√5=-2/5。因此，cosθ=2/√5。4.已知函数f(x)=|x-1|+|x-2|+|x-3|，则f(x)的最小值为。参考答案：2解析：函数f(x)=|x-1|+|x-2|+|x-3|可以分段表示为：当x≤1时，f(x)=-(x-1)-(x-2)-(x-3)=-3x+6；当1<x≤2时，f(x)=-(x-1)-(x-2)+(x-3)=-x；当2<x≤3时，f(x)=-(x-1)+(x-2)+(x-3)=x-4；当x>3时，f(x)=(x-1)+(x-2)+(x-3)=3x-6。因此，f(x)的最小值为2。5.已知函数f(x)=sin²x+cos²x+tan²x，则f(π/4)的值为。参考答案：3解析：函数f(x)=sin²x+cos²x+tan²x=1+tan²x。当x=π/4时，tan(π/4)=1，所以f(π/4)=1+1²=2。因此，f(π/4)的值为3。三、解答题（本大题共5小题，共80分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）1.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的图像关于直线x=π/4对称，且其最小正周期为π。求函数f(x)的解析式。解析：函数f(x)=sin(ωx+φ)的图像关于直线x=π/4对称，说明sin(ω•π/4+φ)=±1。由于最小正周期为π，所以ω=2k，其中k为正整数。当ω=2时，有2•π/4+φ=kπ+π/2或2•π/4+φ=kπ+3π/2，解得φ=kπ-π/4或φ=kπ+π/4。当ω=4时，有4•π/4+φ=kπ+π/2或4•π/4+φ=kπ+3π/2，解得φ=kπ-3π/4或φ=kπ-π/4。因此，ω=2，φ=kπ-π/4(k∈Z)。所以函数f(x)的解析式为f(x)=sin(2x+kπ-π/4)(k∈Z)。2.已知函数f(x)=x³-ax²+bx-1在x=1处取得极值，且f(1)=0。求a和b的值，并判断f(x)在x=1处取得极大值还是极小值。解析：函数f(x)=x³-ax²+bx-1在x=1处取得极值，所以f'(1)=0。计算f'(x)=3x²-2ax+b，代入x=1得到3-2a+b=0。又因为f(1)=0，所以1-a+b-1=0，即-a+b=0。解得a=3，b=3。然后计算f''(x)=6x-2a，代入x=1得到f''(1)=6-2×3=0。由于f''(1)=0，需要进一步计算f'''(x)=6，所以f(x)在x=1处取得极小值。3.已知函数f(x)=|x-1|+|x-2|+|x-3|，求函数f(x)的解析式，并画出函数图像。解析：函数f(x)=|x-1|+|x-2|+|x-3|可以分段表示为：当x≤1时，f(x)=-(x-1)-(x-2)-(x-3)=-3x+6；当1<x≤2时，f(x)=-(x-1)-(x-2)+(x-3)=-x；当2<x≤3时，f(x)=-(x-1)+(x-2)+(x-3)=x-4；当x>3时，f(x)=(x-1)+(x-2)+(x-3)=3x-6。函数图像如下：```||/\|/\|/\|/\|/\|/\|/\|/\|/________________\-3-2-10123```4.