2026年湘教版高三数学第十五章复数与向量练习题试卷

2026年湘教版高三数学第十五章复数与向量练习题试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知复数z满足z^2+2z+3=0，则复数z在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限参考答案：B解析：由z^2+2z+3=0得z=-1±√2i，对应的点为(-1,√2)或(-1,-√2)，均位于第二象限，故选B。2.若复数z=a+bi（a,b∈R）的模为2，且z/(1+i)为实数，则a与b的关系为（）A.a=bB.a=-bC.a+b=0D.a-b=0参考答案：D解析：|z|=2即a^2+b^2=4，z/(1+i)=(a+bi)(1-i)/2=a/2+(b-a)/2i，要为实数需b-a=0，即a=b。3.已知向量向量a=(1,2)，向量b=(x,y)，若向量a+向量b与向量a-向量b垂直，则x与y满足的关系式为（）A.x-y=0B.x+y=0C.x-2y=0D.2x-y=0参考答案：C解析：向量a+向量b=(1+x,2+y)，向量a-向量b=(1-x,2-y)，由垂直得(1+x)(1-x)+(2+y)(2-y)=0，化简得x-2y=0。4.在平行四边形ABCD中，向量AB=向量a，向量AD=向量b，点E为BD的中点，点F为AC的中点，则向量EF等于（）A.向量a/2+向量b/2B.向量a-向量bC.向量a+向量bD.向量a/2-向量b/2参考答案：A解析：向量EF=(向量AB+向量AD)/2=(向量a+向量b)/2，故选A。5.已知复数z1=1+i，z2=1-i，则复数z=z1/z2+1的模长为（）A.1B.√2C.√3D.2参考答案：B解析：z=(1+i)/(1-i)+1=1+i+1-i=2，|z|=2，故选B。6.已知向量向量m=(1,1)，向量n=(1,-1)，若向量p与向量m垂直，且向量p与向量n的夹角为π/4，则向量p的模长为（）A.√2B.√3C.√5D.2√2参考答案：A解析：设向量p=(x,y)，由垂直得x+y=0，即y=-x，由向量p与向量n夹角为π/4得(x,-x)•(1,-1)/√2=|x|/√2，解得x=±1，故|p|=√2。7.已知复数z满足|z-1|=1，且z的实部大于0，则复数z的辐角主值的取值范围是（）A.(0,π/4)B.(π/4,π/2)C.(π/2,3π/4)D.(3π/4,π)参考答案：B解析：|z-1|=1表示以(1,0)为圆心，半径为1的圆，实部大于0部分为右半圆，辐角主值在(π/4,π/2)内。8.已知向量向量a=(cosθ,sinθ)，向量b=(1,0)，则向量a与向量b的夹角θ的取值范围是（）A.[0,π/2]B.[π/4,3π/4]C.[0,π]D.[π/2,π]参考答案：C解析：向量a与向量b的夹角θ满足cosθ=向量a•向量b/|向量a||向量b|=cosθ，θ∈[0,π]。9.已知复数z1=2+3i，z2=1-2i，则复数(z1+z2)•(z1-z2)的虚部为（）A.10B.-10C.14D.-14参考答案：A解析：(z1+z2)•(z1-z2)=(3+5i)•(1+5i)=3+15i+5i-25=28+20i，虚部为20，故选A。10.已知向量向量a=(1,2)，向量b=(3,4)，向量c=(x,y)，若向量a、向量b、向量c共线，则x与y的关系为（）A.x+2y=0B.2x-y=0C.3x-4y=0D.4x-3y=0参考答案：D解析：向量a、向量b、向量c共线需存在λ使向量c=λ向量a+μ向量b，解得x=4t-3s，y=3t-4s，故4x-3y=0。二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分。把答案填在题中横线上）1.已知复数z=1+i，则复数z^2026的实部为________参考答案：1解析：z^4=4，z^2026=(z^4)^506×z^2=4^506×2i，实部为1。2.已知向量向量a=(2,3)，向量b=(1,2)，则向量a与向量b的夹角余弦值为________参考答案：3/√13解析：cosθ=向量a•向量b/|向量a||向量b|=2+6/√13×√13=3/√13。3.已知向量向量m=(1,1)，向量n=(1,-1)，若向量p与向量m垂直，且向量p与向量n的夹角为π/3，则向量p的模长为________参考答案：√3解析：设向量p=(x,y)，由垂直得x+y=0，即y=-x，由向量p与向量n夹角为π/3得(x,-x)•(1,-1)/√2=|x|/2，解得x=±√3/2，故|p|=√3。4.已知复数z满足|z-1|=2，且z的虚部为1，则复数z的模长为________参考答案：√3解析：设z=x+1i，由|z-1|=2得(x-1)^2+1=4，解得x=±√3，故|z|=√3。5.已知向量向量a=(1,2)，向量b=(3,4)，向量c=(5,6)，则向量a、向量b、向量c的线性关系为________参考答案：向量c=2向量a+向量b解析：向量c=(5,6)=2(1,2)+(3,4)=向量a+向量b。三、解答题（本大题共5小题，共80分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）1.已知复数z=a+bi（a,b∈R），且z^2-2z+5=0，（1）求复数z的模长；（2）若复数z的辐角主值为θ，求sinθ的值。解：（1）由z^2-2z+5=0得z=1±2i，|z|=√(1^2+2^2)=√5。（2）当z=1+2i时，θ=arctan(2/1)=π/4，sinθ=√2/2；当z=1-2i时，θ=arctan(-2/1)=-π/4，sinθ=-√2/2。2.在△ABC中，向量AB=向量a，向量AC=向量b，点D为BC的中点，点E为AD的中点，求证：向量BE=1/4向量a+1/4向量b。证明：向量BE=向量BD+向量DE=1/2向量BC+1/2向量AD=1/2(向量AC-向量AB)+1/2(向量AB+向量AC)=1/2向量b-1/2向量a+1/2向量AB+1/2向量AC=1/2向量b-1/2向量a+1/2向量a+1/2向量b=1/4向量a+1/4向量b。3.已知向量向量m=(1,2)，向量n=(3,4)，（1）求向量m与向量n的夹角余弦值；（2）若向量p与向量m垂直，且向量p与向量n的夹角为π/3，求向量p的坐标。解：（1）cosθ=向量m•向量n/|向量m||向量n|=(1×3+2×4)/√(1^2+2^2)×√(3^2+4^2)=11/√5×√5=11/5。（2）设向量p=(x,y)，由垂直得x+2y=0，即y=-x/2，由向量p与向量n夹角为π/3得(x,-x/2)•(3,4)/√(9+16)=|x|/2，解得x=±√11/2，故向量p=(√11/2,-√11/4)或(-√11/2,√11/4)。4.已知复数z1=2+i，z2=1-2i，（1）求复数z1/z2的值；（2）求复数z1+z2的模长。解：（1）z1/z2=(2+i)/(1-2i)=(2+i)(1+2i)/5=-3+4i；（2）z1+z2=2+i+1-2i=3-i，|z1+z2|=√(3^2+(-1)^2)=√10。5.在平行四边形ABCD中，向量AB=向量a，向量AD=向量b，（1）求对角线向量AC和向量BD的坐标表达式；（2）求向量AC与向量BD的夹角余弦值。解：（1）向量AC=向量AB+向量AD=向量a+向量b，向量BD=向量AD-向量AB=向量b-