2026年广东省苏教版高三数学第8章同步练习题试卷

2026年广东省苏教版高三数学第8章同步练习题试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知函数f(x)=x^3-ax^2+bx+1在x=1处取得极值，且其图象在点(2,3)处的切线斜率为0，则f(x)的解析式为A.f(x)=x^3-3x^2+2x+1B.f(x)=x^3-4x^2+3x+1C.f(x)=x^3-5x^2+4x+1D.f(x)=x^3-6x^2+5x+1参考答案：B解析：由题意知f'(x)=3x^2-2ax+b，因为f(x)在x=1处取得极值，所以f'(1)=0，即3-2a+b=0。又因为f'(2)=0，所以12-4a+b=0。联立方程组解得a=3，b=-6。代入f(x)得f(x)=x^3-3x^2+2x+1。验证发现选项B正确。2.已知函数g(x)=e^x-ax^2在x=0处取得极小值，则实数a的取值范围是A.(-∞,1)B.(1,+∞)C.(-1,1)D.(-∞,-1)∪(1,+∞)参考答案：A解析：g'(x)=e^x-2ax，因为g(x)在x=0处取得极小值，所以g'(0)=1>0。又因为g''(x)=e^x-2a，g''(0)=1-2a>0，所以a<1/2。当a<1/2时，g''(x)>0，函数g(x)在x=0处取得极小值。因此a的取值范围是(-∞,1)。3.已知函数h(x)=sin(2x)+ax在区间[0,π/2]上单调递增，则实数a的取值范围是A.[-1,1]B.[-2,2]C.[-√2,√2]D.[-3,3]参考答案：C解析：h'(x)=2cos(2x)+a，因为h(x)在[0,π/2]上单调递增，所以h'(x)≥0对所有x∈[0,π/2]成立。由于cos(2x)在[0,π/2]上的取值范围是[-1,1]，所以2cos(2x)的取值范围是[-2,2]。因此a≥-2。又因为当x=π/4时，cos(2x)=0，此时h'(x)=a，所以a≥0。综合得a的取值范围是[0,√2]。4.已知函数φ(x)=x^2+ax+b在x=1处取得最小值，且其图象与直线y=2x相切，则φ(x)的解析式为A.φ(x)=x^2-2x+1B.φ(x)=x^2-4x+4C.φ(x)=x^2-6x+9D.φ(x)=x^2-8x+16参考答案：B解析：φ'(x)=2x+a，因为φ(x)在x=1处取得最小值，所以φ'(1)=0，即a=-2。又因为φ(x)与y=2x相切，所以方程x^2-2x+b=2x有唯一解，即x^2-4x+b=0有唯一解，所以Δ=16-4b=0，解得b=4。因此φ(x)=x^2-4x+4。5.已知函数ψ(x)=ax^3+bx^2+cx+d在x=-1处取得极大值，在x=1处取得极小值，且满足ψ(0)=1，则a的取值范围是A.(-∞,-1)B.(-1,0)C.(0,1)D.(1,+∞)参考答案：A解析：ψ'(x)=3ax^2+2bx+c，因为ψ(x)在x=-1处取得极大值，在x=1处取得极小值，所以ψ'(-1)=0且ψ'(1)=0，即3a-2b+c=0且3a+2b+c=0。联立方程组解得b=0，c=-3a。又因为ψ(0)=1，所以d=1。因此ψ(x)=ax^3-3ax+1。当a<0时，ψ''(x)=6ax-3a，ψ''(-1)=-9a>0，ψ''(1)=3a<0，所以ψ(x)在x=-1处取得极大值，在x=1处取得极小值。因此a的取值范围是(-∞,-1)。6.已知函数τ(x)=x^4-ax^3+bx^2在x=1处取得拐点，且其图象在点(2,3)处的切线斜率为6，则a+b的值是A.5B.7C.9D.11参考答案：C解析：τ'(x)=4x^3-3ax^2+2bx，τ''(x)=12x^2-6ax+2b。因为τ(x)在x=1处取得拐点，所以τ''(1)=0，即12-6a+2b=0。又因为τ'(2)=6，所以32-12a+4b=6。联立方程组解得a=5，b=-9。因此a+b=-4。选项中没有正确答案，可能是题目有误。7.已知函数μ(x)=sin(x)+ax^2在x=π处取得极值，则实数a的值是A.-1/2B.1/2C.-1D.1参考答案：B解析：μ'(x)=cos(x)+2ax，因为μ(x)在x=π处取得极值，所以μ'(π)=cos(π)+2aπ=-1+2aπ=0，解得a=1/(2π)。选项中没有正确答案，可能是题目有误。8.已知函数ν(x)=x^3-3x^2+2x+1在区间[0,3]上的最大值与最小值之差是A.1B.2C.3D.4参考答案：D解析：ν'(x)=3x^2-6x+2，令ν'(x)=0得x=1±√3/3。因为x=1+√3/3∈(0,3)，x=1-√3/3∈(0,3)，所以ν(x)在[0,3]上的极值点是x=1±√3/3。又因为ν(0)=1，ν(3)=7，所以ν(x)在[0,3]上的最大值是7，最小值是1-2√3。最大值与最小值之差是7-(1-2√3)=6+2√3≈9.46。选项中没有正确答案，可能是题目有误。9.已知函数ω(x)=e^x-ax在x=0处取得极值，且其图象在点(1,e)处的切线与直线y=2x+1平行，则ω(x)的解析式为A.ω(x)=e^x-exB.ω(x)=e^x-2xC.ω(x)=e^x-xD.ω(x)=e^x-3x参考答案：A解析：ω'(x)=e^x-a，因为ω(x)在x=0处取得极值，所以ω'(0)=1-a=0，解得a=1。又因为ω'(1)=e-1=2，所以ω(x)=e^x-x。选项中没有正确答案，可能是题目有误。10.已知函数ζ(x)=x^2-ax+b在x=2处取得最小值，且其图象与直线y=x+1相切，则ζ(x)的解析式为A.ζ(x)=x^2-4x+4B.ζ(x)=x^2-6x+9C.ζ(x)=x^2-8x+16D.ζ(x)=x^2-10x+25参考答案：A解析：ζ'(x)=2x-a，因为ζ(x)在x=2处取得最小值，所以ζ'(2)=4-a=0，解得a=4。又因为ζ(x)与y=x+1相切，所以方程x^2-4x+b=x+1有唯一解，即x^2-5x+b-1=0有唯一解，所以Δ=25-4(b-1)=0，解得b=6。因此ζ(x)=x^2-4x+4。选项A正确。二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。请将答案填在题中横线上）1.已知函数f(x)=x^3-ax^2+bx在x=1处取得极值，且f(1)=2，则a+b的值是________参考答案：4解析：f'(x)=3x^2-2ax+b，因为f(x)在x=1处取得极值，所以f'(1)=0，即3-2a+b=0。又因为f(1)=2，所以1-a+b=2，即-a+b=1。联立方程组解得a=1，b=-1。因此a+b=0。选项中没有正确答案，可能是题目有误。2.已知函数g(x)=e^x-ax^2在x=0处取得极小值，则实数a的取值范围是________参考答案：(-∞,1)解析：g'(x)=e^x-2ax，因为g(x)在x=0处取得极小值，所以g'(0)=1>0。又因为g''(x)=e^x-2a，g''(0)=1-2a>0，所以a<1/2。当a<1/2时，g''(x)>0，函数g(x)在x=0处取得极小值。因此a的取值范围是(-∞,1/2)。3.已知函数h(x)=sin(2x)+ax在区间[0,π/2]上单调递增，则实数a的取值范围是________参考答案：[-√2,√2]解析：h'(x)=2cos(2x)+a，因为h(x)在[0,π/2]上单调递增，所以h'(x)≥0对所有x∈[0,π/2]成立。由于cos(2x)在[0,π/2]上的取值范围是[-1,1]，所以2cos(2x)的取值范围是[-2,2]。因此a≥-2。又因为当x=π/4时，cos(2x)=0，此时h'(x)=a，所以a≥0。综合得a的取值范围是[0,√2]。4.已知函数φ(x)=x^2+ax+b在x=1处取得最小值，且φ(1)=2，则a+b的值是________参考答案：3解析：φ'(x)=2x+a，因为φ(x)在x=1处取得最小值，所以φ'(1)=2+a=0，解得a=-2。又因为φ(1)=2，所以1-2+b=2，解得b=3。因此a+b=-2+3=1。选项中没有正确答案，可能是题目有误。5.已知函数ψ(x)=ax^3+bx^2+cx+d在x=-1处取得极大值，在x=1处取得极小值，且满足ψ(0)=1，则a的取值范围是________参考答案：(-∞,-1)解析：ψ'(x)=3ax^2+2bx+c，因为ψ(x)在x=-1处取得极大值，在x=1处取得极小值，所以ψ'(-1)=0且ψ'(1)=0，即3a-2b+c=0且3a+2b+c=0。联立方程组解得b=0，c=-3a。又因为ψ(0)=1，所以d=1。因此ψ(x)=ax^3-3ax+1。当a<0时，ψ''(x)=6ax-3a，ψ''(-1)=-9a>0，ψ''(1)=3a<0，所以ψ(x)在x=-1处取得极大值，在x=1处取得极小值。因此a的取值范围是(-∞,-1)。三、解答题（本大题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）1.已知函数f(x)=x^3-ax^2+bx+1在x=1处取得极值，且其图象在点(2,3)处的切线斜率为0。求f(x)的解析式，并判断其单调性。解：f'(x)=3x^2-2ax+b，因为f(x)在x=1处取得极值，所以f'(1)=3-2a+b=0。又因为f'(2)=0，所以12-4a+b=0。联立方程组解得a=3，b=-6。因此f(x)=x^3-3x^2+2x+1。f''(x)=6x-6，令f''(x)=0得x=1。当x<1时，f''(x)<0，函数f(x)在(-∞,1)上单调递减；当x>1时，f''(x)>0，函数f(x)在(1,+∞)上单调递增。2.已知函数g(x)=e^x-ax^2在区间[0,π]上单调递增，求实数a的取值范围，并证明g(x)在[0,π]上没有极值点。解：g'(x)=e^x-2ax，因为g(x)在[0,π]上单调递增，所以g'(x)≥0对所有x∈[0,π]成立。当x=0时，g'(0)=1≥0。当x>0时，因为e^x>2ax对所有x∈[0,π]成立，所以a≤e^x/2x对所有x∈(0,π]成立。令h(x)=e^x/2x，h'(x)=(2x-e^x)/2x^2，令h'(x)=0得x=ln2。当x∈(0,ln2)时，h'(x)>0，函数h(x)在(0,ln2)上单调递增；当x∈(ln2,π)时，h'(x)<0，函数h(x)在(ln2,π)上单调递减。因此h(x)在[0,π]上的最大值是h(ln2)=e^(ln2)/2ln2=1/(ln4)。所以a≤1/(ln4)。当a≤1/(ln4)时，g'(x)≥0对所有x∈[0,π]成立，函数g(x)在[0,π]上单调递增。又因为g'(x)=e^x-2ax，当a≤1/(ln4)时，g''(x)=e^x-2a>0，函数g(x)在[0,π]上没有极值点。3.已知函数h(x)=sin(2x)+ax在区间[0,π/2]上单调递增，求实数a的取值范围，并求h(x)在[0,π/2]上的最大值。解：h'(x)=2cos(2x)+a，因为h(x)在[0,π/2]上单调递增，所以h'(x)≥0对所有x∈[0,π/2]成立。由于cos(2x)在[0,π/2]上的取值范围是[-1,1]，所以2cos(2x)的取值范围是[-2,2]。因此a≥-2。又因为当x=π/4时，cos(2x)=0，此时h'(x)=a，所以a≥0。综合得a的取值范围是[0,√2]。当a=√2时，h(x)在[0,π/2]上的最大值是h(π/2)=sin(π)+√2(π/2)=√2π/2。4.已知函数φ(x)=x^2+ax+b在x=1处取得最小值，且其图象与直线y=2x相切。求φ(x)的解析式，并证明其图象与直线y=2x相切。解：φ'(x)=2x+a，因为φ(x)在x=1处取得最小值，所以φ'(1)=2+a=0，解得a=-2。又因为φ(x)与