苏教版数学必修三新素养讲义311随机现象312随机事件的概率

3.1.1随机现象

3.1.2随机事件的概率

学习

目标1.了解必然事件、不可能事件、随机事件的概念.2.理解随机事件的概率的意

义及概率与频率的关系.

3.掌握利用概率的定义求解概率问题.

研读•导学•尝试

＜新知提炼,

1.现象

(1)确定性现象：在一定条件下，事先就能断定发生或不发生某种结果，这种现象就是

确定性现象.

(2)随机现象：在一定条件下，某种现象可能发生,也可能不发生,事先不能断定出现

哪种结果，这种现象就是随机现象.

2.随机事件

(1)试验：对于某个现象，如果能让其条件实现1次，那么就是进行了1次试验.

(2)事件：试验的每一种可能的结果，叫做一个事件.

(3)必然事件：在一定的条件下，必然会发生的事件叫做必然事件.用。表示.

(4)不可能事件：在一定条件下，肯定不会发生的事件叫做不可能事件.用。表示.

(5)随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件叫做随机事件.用A、B、

C等大写英文字母表示.

3.随机事件的概率

(1)随机事件的概率

一般地，对于给定的随机事件A,在相同条件下，随着试验次数的增加，事件A发生的

频率会在某个常数附近摆动并趋于稳定,我们用这个常数来刻画随机事件A发生的可能性

大小,并把这个常数称为随机事件A的概率，记作夕(A).

⑵概率的定义

若随机事件A在〃次试验中发生了m次,则当试验次数”很大时，可以将事件A发生

的频鳄作为事件A的概率的近似值，即P(A)汽.

(3)概率的范围

对于任意1个事件A,P(A)必须满足如下要求：

OWP(A)W1.其中尸(0)=1,尸(。)=。.

、:自我尝试

1.判断(正确的打“J”，错误的打“X”)

(1)随机事件A的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值.()

(2)任意事件A发生的概率P(4)总满足O<P(/1)<1.()

(3)若事件4的概率趋近于0,即P(4)-0,则事件A是不可能事件.()

解析：根据频率与概率的关系，(1)正确：随机事件的概率满足0<P(A)<l;必然事件的

^率是1,不可能事件的概率是()，(2)不正确；当P(A)f0,事件A发生的可能性很小，(3)

不正确.

答案：⑴J(2)X⑶X

2.下列事件是确定事件的是()

A.2020年奥运会期旬不下雨

B.没有水，种子发芽

C.对任意x£R,有x+l>2r

D.抛掷一枚硬币，正面朝上

答案：B

3.下列事件中随机省件的个数是()

①某体操运动员将在某次运动会上获得全能冠军；

②某人给其朋友打，却忘记他朋友的号码的最后一个数字，就随意在键盘上按了

一个数字，恰巧是他朋友的号码：

③同时掷两枚骰子，向上一面的两个点数之和为13；

④同时掷两枚骰子，向上一面的两个点数之和不小于2.

A.0B.1

C.2D.3

解析：选C.①②可能发生也可能不发生，是随机事件；同时掷两枚骰子，向上一面的

两个点数之和最大为12,因此“向上一面的两个点数之和为13”不可能发生，因此③是不

可能事件；”向上一面的两个点数之和不小于2”一定发生，因此④是必然事件.

4.某出版公司对发行的三百多种教辅用书实行跟踪式问卷调查，连续五年的调杳结果

如表所示:

发送问卷数10061500201530505200

返回问卷数9491430191728904940

则本公司问卷返回的概率约为.(保留两位小数)

解析：949a006=0.94334,1430：1500心0.95333,19174-2015^0.95136,2890

・305040.94754,4940+5200=0.95.都稳定于0.95,故所求概率约为0.95.

答案:0.95

5.某射击教练评价一名运动员时说：“你射中的概率是90%”，你认为下面两个解释

中能代表教练的观点的为

①该射击运动员射击了100次，恰有90次击中目标；

②该射击运动员射击一次，中靶的机会是90%.

解析：射中的概率是90%说明中靶的可能性，即中靶机会是90%,所以①不正确，②

正确.

答案：②

♦探究案，。领

探究点1确定性现象、随机现象问题

网口判断以下现象是否是随机现象：

(1)某路II单位时间内发生交通事故的次数；

(2)冰水混合物的温度是0℃；

(3)三角形的内角和为180°；

(4)一个射击运动员每次射击的命中环数；

(5)二次函数y一d十力大+90)的开口方向.

【解】看给定条件下的结果是否发生.

(1)某路口单位时间内发生交通事故的次数有可能是。次，1次，2次等，不能确定.因

此是随机现象.

(2)冰水混合物的温度是0匕，指常温常压下.若改变气压就不一定是0"C了，因此是

随机现象.

(3)三角形的内角和一定是180°,是确定的，因此是确定性现象.

(4)射击运动员每次射击的命中环数可能是3环，也可能为I环等，因此是随机现象.

(5)二次函数>=62+法+*力0),当。>0时开口向上：当〃V0时开口向下，故在aWO

的条件下可能向上也可能向下，因此是随机现象.所以(1)(2)(4)(5)是随机现象，(3)不是随机

现象.

法国阻囱

判断一现象是否为随机现象，关键是看这一现象发刍的可能性.若一定发生或一定不发

生，则它为确定性现象，否则为随机现象.

跟踪训练;1.给出下列现象:

①某路口单位时间内通过的车辆数;

②水的沸点是100°C；

③三角形的内角一定小于180°；

④南京市10月1日下雨；

⑤任i实数的平方是非负数.

其中是随机现象的是

解析：③是确定性现象，⑤是确定性现象，①②④是随机的.

答案：①②④

探究点2随机事件的概念

指出下列事件是必然事件、不可能事件，还是随机事件.

(1)2012年奥运会在英国伦敦举行；

(2)甲同学今年已经上高一，三年后他被北大自主招生录取；

(3)A地区在“十三五”规划期间会有6条高速公路通车；

(4)在标准大气压下且温度低于0C时，冰融化.

【解】(1)是必然事件，因事件已经发生.

(2)(3)是随机事件，其事件的结果在各自的条件下不确定.

(4)是不可能事件，在本条件下，事件不会发生.

0国阻画

对事件分类的两个关键点

(1)条件：在条件S下事件发生与否是与条件相对而言的，没有条件，就无法判断事件

是否发生；

(2)结果发生与否：有时结果较复杂，要准确理解结果包含的各种情况.

跟踪训练:2.下面给出五个事件:

①明年某地2月3日下雪；

②函数y=ax3W0)在定义域上是增函数；

③实数的绝对值不小于0：

④在标准大气压下，水在90°C沸腾；

⑤a,/?GR,则帅=尻/.

其中必然事件是:不可能事件是;随机事件是.(填序号)

解析：①随机事件，某地在2月3日可能下雪，也可能不下雪：②随机事件，对于函数

当4>0时在其定义域上是增函数，当〃V0时在其定义域上是减函数；③必然事件,

实数的绝对值非负；④不可能事件，在标准大气压下，水在100"C时沸腾；⑤必然事件，

若。、匕£R,则恒成立.

答案：@<§)©①②

探究点3频率与概率的关系问题

.仅©某教授为了测试贫困地区和发达地区的同龄儿童的智力，出了10道智力题，每

道题10分，然后作了统L,如表所示:

贫困地区:

加测试的人数

得分情况j—3050100200500800

得60分以上的人数162752104256402

得60分以上的频率

发达地区:

JJ测试的人数

3050100200500800

得分情况

得60分以上的人数172956111276440

得60分以上的频率

(1)利用计算器计算两种地区参加测试的儿童.中得60分以上的频率；(保留小数点后两

位)

(2)若从两种地区各自随机选取•名适龄儿童，试估计他们参加测试得60分以上的概率.

【解】(1)贫困地区:

加测试的人数

3050100200500800

得分情况

得60分以上的人数162752104256402

得60分以上的频率0.530.540.520.520.510.50

发达地区:

^加测试的人数

3050100200500800

得分情况''一

得60分以上的人数172956111276440

得60分以上的频率0.570.580.560.560.550.55

(2)贫困地区参加测试的儿童得60分以上的频率稳定在0.5,所以从贫困地区随机选取

一名适龄儿童参加测试得60分以上的概率大约是0.5.

发达地区参加测试的儿童得60分以上的频率稳定在0.55,所以从发达地区随机选取一

名适龄儿童参加测试得60分以上的概率大约是0.55.

法国阻囱

(1)频率是事件A发生的次数机与试验总次数〃的比值，利用此公式可求出它的频率，

频率本身是随机变量，当“很大时，频率总是在一个稳定值附近左右摆动，这个稳定值就是

概率.

（2）解此类题目的步.骤是：先利用频率的计算公式依次计算出各个频率值，然后根据概

率的定义确定频率的稳定值即为概率.

跟踪训练;

抽取台数501002003005001000

优等品数409219228547895乙

（1）计算表中优等品的各个频率；

（2）该厂生产的电视机优等品的概率约为多少？（保留两位小数）

40

解：（1）抽样50台中优等品40台，优等品的频率为而=0.8,

同理可求得下面的频率依次为：0.92,0.96,0.95,0.956,0.954.

（2）频率稳定在0.95附近，所以该厂生产的电视机优等品的概率约为0.95.

素养提升:»

1.随机事件A在每次试验中是否发生是不能预知的，但是在大量重复试验后，随着试

验次数的增加，事件A发生的频率逐渐稳定在区间［0,1］内的某个常数上（即事件A的概率）,

这个常数越接近于1,事件人发生的概率就越大，也就是事件人发生的可能性就越大；反之,

概率越接近于0,事件A发生的可能性就越小.因此，概率就是用来度量某事件发生的可能

性大小的量.

2.任何事件的概率是。〜1之间的一个确定的数，小概率（接近0）事件很少发生，大概

率（接近I）事件则经常发生，知道随机事件的概率的大小有利于我们作出正确的决策.

夕误防范MT———：

典例下面有三个游戏规则，袋子中分别装有球.

游戏1游戏2游戏3

3个黑球和1个白球1个黑球和1个白球2个黑球和2个白球

取1个球，再取1个球取1个球取1个球，再取1个球

取出的两个球同色一甲胜取出的球是黑球一甲胜取出的两个球同色一甲胜

取出的两个球不同色■*乙胜取出的球是白球一乙胜取出的两个球不同色f乙胜

若从袋中无放回地取球，则其中不公平的游戏是.

【解析】游戏1中，取两球的所有可能情况是（黑1,黑2）（黑I,黑3）（黑2,黑3）（黑

1,白）（黑2,白）（黑3,白），

所以甲胜的概率为g,游戏是公平的.

游戏2中，显然甲胜的概率为看游戏是公平的.

游戏3中,取两球的所有可能情况是（黑1,黑2）（黑1,白1）（黑2,白1）（黑1,白2）（黑

2,白2）（白I,白2）,甲胜的概率为:，游戏是不公平的.

【答案】游戏3

卜错因与防范/

（I）写各种游戏出现的所有情况时，考虑不全导致对公平性判断失误.

（2）求一方获胜概率时，计算不准导致对公平性判断失误.

防范措施：（1）判断公平性的标准是计算各方取胜的慨率是否相等.

（2）在计算各方取胜的概率时，所有可能出现的情况要列举全面，不能遗漏.

―堂检测》

1.有以下一些说法：

①已经发生的事件一定是必然事件；

②随机事件的发生能够人为控制其发生或不发生；

③不可能事件反映的是确定性现象：

④随机现象的结果是可以预知的.

其中错误的个数为（）

A.IB.2

C.3D.4

解析：选C.只有C是正确的.

2.〃+2件同类产品中，有〃件正品,2件次品，从中任意抽出3种产品的必然事件是（）

A.3件都是次品

B.3件都是正品

C.至少有I件是次品

D.至少有1件是正品

解析：选D.由于只有2件次品，故抽出的3件产品不可能都是次品，即至少有1件是

正品.

3.下列事件中，随机事件的个数是（）

①如果则御；

②方程炉+2丫+3=0有两个不相等的实根；

③某次考试的及格率是95%；

④从100个灯泡中，取出5个，这5个灯泡都是次品（这100个灯泡中有95个正品，5

个次品）.

A.1B.2

C.3D.4

解析：选B.①是必然事件；②是不可能事件；③④是随机事件.

4.下列说法：

①概率反映事件发生的可能性大小；

②做〃次随机试验，事件4发生机次，则事件A发生的频率?就是事件的概率；

③频率是不能脱离n次试验的试验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论

值；

④频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值.

其中正确的是.

解析：由频率与概,率的定义及它们之间的关系判断.

答案：①③④

5.某篮球运动员在最近几场大赛中罚球投篮的结果如下：

投篮次数〃8101291016

进球次数m6897712

进球频率?

(1)计算表中进球的频率；

⑵这位运动员投篮一次，进球的概率是多少？

解：⑴由公式可计算出每场比赛该运动员罚球进球的频率依次为号=推，白=与尚=,,

o41UJ144

7_7__12=3

9*To*T6=4*

(2)由(1)知，每场比赛进球的频率虽然不同，但频率总是在(的附近摆动，可知该运动员

进球的概率为*

应用案▼◎⑥斑)⑥强化•培优•通关….

[A基础达标]

1.下列事件中是随机事件的是()

A.在数轴上向区间(0,I)内投点，点落在区间(0,I)内

B.在数轴上向区间(0,1)内投点，点落在区间(0,2)内

C.在数轴上向区间(0,2)内投点，点落在区间(0,1)内

D.在数轴上向区间(0,2)内投点,点落在区间(一1,0)内

解析：选C.当x£(0,1)时，必有x£(0,1),x£(0,2),所以A和B都是必然事件；

当x£(0,2)时，有x£(0,1)或遥(0,1),所以C是随机事件；当£(0,2)时，必有通

(-1,0),

所以D是不可能事件.故选C.

2.一个家庭中先后有两个小孩，则他（她）们的性别情况可能为（）

A.男女、男男、女女B.男女、女男

C.男男、男女、女男、女女D.男男、女女

解析：选C.用列举法可知，性别情况有：男男、男女、女男、女女，共4种可能.

3.某人将一枚硬币连掷了10次，6次正面朝上，若用人表示“正面朝上”这一事件,

则A出现的（）

A.概率为击B.频率为强

C.频率为6D.概率为6

频与攵6

解析：选B.事件A出现的频数是6,频率故频率是行.

瓜当立次.效1U

4.下列说法正确的有（）

①做9次抛掷•枚均匀硬币的试验，结果有5次出现正面，所以出现正面的概率是东

②盒子中装有大小均匀的3个红球，3个黑球，2个白球，每种颜色的球被摸到的可能

性相同；

③从一4,—3,—2,—1,0,1,2中任取一个数，取得的数小于0和不小于0的可能

性相同；

④分别从2名男生，3名女生中各选•名作为代表，那么每名学生被选中的可能性相同.

A.0个B.1个

C.2个D.3个

解析：选A.①中抛掷一枚均匀硬币出现正面的^率是今②中摸到白球的概率要小于摸

到红球或黑球的概率；③中取得的数小于0的概率大于不小于0的概率：④中男生被抽到的

概率为而女生被抽到的概•率为：.

5.给出关系满足人B的非空集合4,8的四个命题：

①若任取则是必然事件；

②若任取KA,则是不可能事件；

③若任取xGB,则是随机事件；

④若任取依出则送A是必然事件.

其中不正确的是（把所有不正确的序号都填上）.

解析：因为AB,所以A中的元素都在8中，但是8中有些元素不在集合A中.所

以①③④正确.

②中，若依A,则有遥8两种可能情况，因此②若任取KA,则是随机事

件.故填②.

答案：②

6.一家保险公司想了解汽车的挡风玻璃在一年时间里破碎的概率，公司收集了20()00

部汽车，时间从某年的5月1日到下一年的5月1日，共发现有600部汽车的挡风玻璃破碎，

则一部汽车在一年时间里挡风玻璃破碎的概率约为.

解析：尸(MM)=0・03.

答案：0.03

7.一袋中装有10个红球、8个白球、7个黑球，现在把球随机地一个一个摸出来，为

了保证在第k次或第k次之前能首次摸出红球，则k的最小值为.

解析：至少需摸完黑球和白球共15个.

答案：16

8.张明同学抛一枚硬币10次，共有8次正面向上，于是他指出：“抛掷一枚硬币，出

现正面向上的概率应为05.”你认为他的结论正确吗？为什么？

解：他的结论不正确.

张明同学抛掷一枚硬币10次，有8次正面向上，就得出“正面向上”的概率为0.8,显

然是对概率统计性定义曲解的结果.

9.某人做试验，从一个装有标号为I,2,3,4的小球的盒子中，无放回地取两个小球,

每次取一个，先取的小球的标号为x，后取的小球的标号为A这样构成有序实数对3丁).

(1)写出这个试验的所有结果：

(2)写出“第一次取出的小球上的标号为2”这一事件.

解：(1)当x=l时，y=2,3,4;

当x—1时，y=\,3,4;

当x=3时，y=l,2,4；

当x=4时，y=l,2,3.

因此，这个试脸的所有结果是(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),

(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3).

(2)记”第一次取出的小球上的标孑为2”为事件4,则4={(2,I),(2,3),(2,4)).

[B能力提升1

1.在进行〃次重史试验中，事件A发生的频率为常，当〃很大时，事件A发生的概率

夕(人)与彳的关系是()

A.B.P(A)<-

c.PW>-D.P(A)=-

解析：选A.对于给定的随机事件A,事件A发生的频率4A)随着试验次数的增加稳定

于概率P(A),因此可以用频率以A)来估计概率P(4).即P(A)-7

2.对某厂