线性代数期末考试复习资料

基本概念

余子式M/Q代数余子式/4A乂-1）*［必，MiHJAij

2.对称矩阵：f=4。

3.伴随矩阵4=55，组成元素4,书写格式：行元素的代数余子式写在列。

*A…4"

Iw

4.逆矩阵==称^可逆。若4可逆，贝IJ==

41叫

分块对角阵4=/1闻⑷,/」=

OA

6.初等行（列）变换：①对换两行或两列；②某行或某列乘以非零常数〃：③某行（列）

的〃倍加到另一行（列）。

7.等价矩阵：①初等变换得来的矩阵；②存在可逆矩阵尸,。，使得"0=D。

8.初等矩阵：初等变换经过一次初等变换得来的矩阵，①£（/,；）；②E（i（k））;③

9.矩阵的秩：最高阶非零子式的阶数。尸（4）=左om。*WO,VZ\"=O。

10.线性表示：存在KK…，上“使得B=左a+左a+•+旬，〃等价于非齐次方程组

I122

4x=B有解⑥的,…饱。

II.线性相关：存在不全为0的数储，左2,…，丸，使得々3+^^2+••+总工〃-。，等价于

齐次方程组Ar=0*有非零解。

12.线性无关：％出+人92+••+”内广。成立n攵〒上了…二儿二0，等价于齐次方程

组力工=0仅有零解。

13.极大无关组：q,qq中〃个向量R，8，….0,满足：①线性无关；②hi，/，…，4

中任意向量可由其表示或四,。2,…,。”中任意尸+1个向量线性无关，则称0702…，口，

为四,。2，・一以”的极大无关组。

14.向量组a1,4，…,4可由向量组，心…,0”表示：ay，…，％中任意一个向量可由

加版…也表示，等价于8%-力有解，8一（“，［3,…IL）^=（a,a,­••（x„）o

1212

15.向量组a1,。？，与向量组生,0万…万”等价：两个向量组能相互线性表示。

16.齐次方程组4Y=（T基础解系：第一种描述：设之亡2…M是方程组的解，且满足①线

性无关；②任意一个解可由其表示。第二种描述：个线性无关的解。【其中1

个线性无关的解迓个非零解；2个线性无关的解逮个不成比例的解•】

17.特征值和特征向量：Ax=Zx,xr0o

18.相似矩阵：存在可逆矩阵尸，使得P'

APB,则称48相似。

19.相似对角化：根据方阵力,找到可逆矩阵。和对角阵A,使得P}AP'〜

20.内积：[a,p]=arp=%4+。2仇+…+。也。

21.正交：[a,p]=0o

22.正交矩阵：/"『二七或者力,二/io特点：力的列（行）为两两正交的单位向量，

23.二次型：f其中4为对称阵。

24.合同矩阵：存在可逆矩阵C,使得^丁力。=8,则称48合同。

25.标准型：f=_/.\>=九凹2+入2_^+--+，”0。

26.正负惯性指数：标准型中正负系数的个数。

27.正定二次型：=

28.正定矩阵4：对称阵/使得f=为正定二次型。

基本定理

1.行列式按行按列展开定理：。=<4+%/,2+…%4产与+…44

逆过程应用：已知。=,求乙<什6/立+….将。中第i行元素换成对

应的“也,…也，得到。I，贝ij.…+"4,-0。

4为可逆矩阵o.卜0；4”为可逆矩阵==向&

2.

AA\»

推论：方阵48满足=则：①A4=E;②/可逆，且n…p

3.对矩阵力进行一次初等行（列）变换，等价于在矩阵4的左（右）边乘以一个与之对应

的初等矩阵。

4.初等变换不改变矩阵的秩。

5.非齐次方程组4〃〃x=b有解=6可由力的列线性表示=，•(力)=«4b)；唯一解

o«/)=r(4b)=n;无穷多解ot\A)-r(A,b)<n;

非齐次方程组4??〃x=b无解。b不能由4的列线性表示or(A)=r(A,b)

特别地：当方程组的系数矩阵力为方阵时：唯一解。中卜0。

6.齐次方程组4〃〃x=0仅有零解oA的列向量组线性无关o片(4)=〃；齐次方程组

Am/冰=0有非零解。A的列向量组线性相关or(A)<n。

7.矩阵方程NX=8有解oB的列可由力的列线性表示。«力)二尸(44);B的列与

A的列等2O=KB)=N4B)。

8.矩阵“通过初等行变换变成矩阵8,贝1必6行向量组等价，列向量组有相同的相关性.

9.齐次线性方程组4〃〃x=0系数矩阵的秩/•(4)=r<〃,则存在基础解系

22,…自r,并且4x=0的通解为工二周+一代步］+22…/&,其中

r

［也，…此一为任意常数•

10.不同特征值对应的特征向量线性无关；实对称阵不同特征值对应的特征向量正交。

II.相似矩阵有相同的秩和相同的特征值。

12.方阵可对角化。A有〃个线性无关的特征向量=k重特征值％,

WE)=n-k;实对称阵一定可以对角化；力有〃个不同的特征值则力一定可以

对角化。

实对称阵一定可以对角化，并且一定存在正交阵Q.使得Q140QTAQ

14.任意二次型/='axx(。=。)，总有正交变换x=Qy,化/为标准形

iji\ijijvji

4-Z2^+---4-Z^.其中入？入2…A”是/的矩阵/=(劭)的特征值.

15.设二次型，=34x的秩为厂，且二次型的标准型分别为，=入1y2小及…,.yr

,,++入2和

/=女团+^z』+…+/Z，则系数3人,…%，和3仁…，发中正负个数相等.

卜.对称阵力正定=二次型，=/41为正定二次型0二次型/=的规范型为

yj+yl+・・・+=力的特征值全为正o力的各顺序阶主子式全大于°。

基本性质

1.行列式运算性质：转置不变；对换取反；数乘可提；行列拆分；叠加不变。

2.矩阵乘法：①49=。/4=。或8=。；②ABfBA;③AB=AC/B=C.

3.矩阵转置①（4‘）7=4②（/+4）「=/+87'

③（kAf=k®®（AB）T=BTAT

4.方阵的行列式：①方咫43,\4B\=\4\^\②⑼=8同，4为〃阶方阵。

5.伴随矩阵：①44。=/4=产卢；②,・卜|JT.③（叔）*=依」/

6.逆矩阵：①（小尸=4;②（双尸=145；

k

③（4”=BM1;④⑺।=（4-＞，⑤|力［=同，

7.初等矩阵：后也,/）二%5）,E%（%））=£（，&））,E

k

8.初等变换与初等矩阵：A可逆oA等于有限个初等矩阵的乘积.

9.矩阵力左（右）边乘可逆矩阵P相当于对4进行初等行（列）变换.

10.行阶梯矩阵的秩等于其非零行的行数。

11.秩：①尸(4〃n)<min{w,/i};②"Win/(仪(孙；

③"4Lq")+N8)；④r(A±B)<r(A)^r(B);

⑤A,…B“xk=O,贝卜(4)+«8)W〃;⑥«.4)=巾);

〃o"4)=〃

⑦r(T)=lo/(力)=〃-1.

0o«/)<〃一2

12.

2=邱丁，（1,0为"维非零列向量,则+）=1。

13.向量组4:。1,。2，・・・，。线性相关向量组中至少有一个向量能由其余〃?-1个向

oA

量线性表示.〃'

L.设向量组a,a,«•，线性无关，向量组口，0,0可由，jx,a，“线性表示，

12m12I2

C||C|2C\

即⑹用2,口3）=（。1，。2，。3）C21。22贝用f%无关0rA°

ccc

'313233J

15.相关组添加向量仍相关，无关组减少向量仍无关；无关组添加分量仍无关，相关组成少

分量仍相关。

16.设向量组a,q,2-a,缩性无关，而a,a”q向・[｝线性相关,则向量。必能由向

量组a,a2〃线性表示，且表示式是惟一的.

17.向量组与它的极大无关组等价；

18.矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于它的行向量组的秩•

19.矩阵等价R矩阵行（列）向量组等价。向量组等价/对应矩阵等价，除非两个向量

组中向量个数相等.

20.矩阵48等价。尸（力）=〃（8）且同型;列向量组48等价。，"）=厂（8）=«48）。

4.设之，匕々••%，•是齐次方程组力x=0的基础解系，

,,n”是非齐次方程组=b的一个

特解，则4（=/?的通解x=Aq♦丝2..........左工〃「7】…其小,K，2…,左…为

任意常数.

22.两个方程组4丫=0,5%=0同解=48行向量组等价.

23.设力的特征值为入，入？2及-，则：①人+入十卞卜，hQii+Q+・・・+小〃；②

22

.•……

24.48同型且秩相等=4,8等价；方阵力,8可对角化，且有相同特征值=48相似；

对称阵48的特征值正负个数对应相等n48合同。

25.设=则有下表：

2

矩阵AAf(A)Ai/ATP-XAP

特征值k片fQ)r1同心入X

A

特征向量XXXXX/P

X

基本方法

1.求行列式：方法一、利用行列式的性质化三角行列式；方法二、利用性质尽可能多的化

行列式的某行（列）元素为零，然后依此行（列）用Laplace展开。

2.求解矩阵方程：方法:通过矩阵运算将方程化为NX=&乂==C三种方式，

具体运算放最后一步，注意左，右乘。

3.求矩阵的秩：*具体时，将XNfZ?（行阶梯矩阵），〃（4）="8）=8中非零行的行

数；A为抽象矩阵时，利用秩的不等式证明

4.讨论向量组的相关性①“3”…，氏具体时，构造矩阵％。，…小）比较秩

12

与个数的关系；②.叫,心，…。、抽象时，先设以工：+%92+・・・+（%=0,通过恒等

变形或乘法，或重组，得到尢=&=•••二尤=。，或者用秩的理论判断，

…,as）s.

5.求极大无关组：将向量组的各向量做为矩阵的列，（5，。2，-,,。,）二~^行阶梯

矩阵，向量组的秩等于矩阵8的秩，每个阶梯上取一列（一般取阶梯竖线右边的第一列）.

构成极大无关组。

6.求基础解系和通解：先求，“），得/一，"），通过矩阵的运算，求出4v=O的〃一，

各线性无关的解及力1=力的一个特解，再利用解的结构得到通解。

7.含参数方程组/1二h求解：①.（力⑶—一I阶梯型，讨论，•（4）=r（J|/?）?»/?□!

否由力的列线性表示；②.特别，当力为方阵时，求出卡卜。的条件，即唯一解的条

件，再把同=0中的参数代入原方程组，