线性代数复习题及答案

线性代数复习题

C)

一、填空题(每小题4分，共20分):

••

2x13

较1、函数f(x)=X-x1中的系数为:

21x

<102、

3、设A是4x3矩阵，且R(A)=2,而8=020,则

中

「103,

卦

R(AB)=.

(2)

4、设矩阵A与3=3相似，贝ij|A"+E|=o

<-3,

5、若4=2为可逆阵4的特征值，则6人?)’的一个特征值

为.

••二、选择题(每小题4分，共20分)：

I、下列命题正确的是()o

(A)若AB=E,则A可逆且A~l=B

(B)方阵48的行列式阶子式|AB|=|BA|

(C)若方阵AB不可逆，则A,/?都不可逆

(D)若力阶矩阵4或B不可逆.则AB必不可逆

••

2、设A为〃阶矩阵，4•为其伴随矩阵，则忖，卜().

料(A)(B)k\A\"(C)A(D)片

3、若非齐次线性方程组Ax=6卜方程个数少于未知数个数，那么().

(A)Ar=b必有无穷多解；(B)Ar=0必有非零解；

(C)Ax=0仅有零解.；(D)Ax=0一定无解..

4、设有向量组与=Q=1,2,4),a2=0,3,1,2),a=6,0,7,14),%=(1,—2,2,0)与

a=6,1,5,10),则向量组的极大线性无关组是()

(A)a2>%；(B)ar(z2»%；

(C)ai，%,%；(D)ara2,%,as.

5、设A、3为〃阶实对称可逆矩阵，则下面命题错误的是()

(A)有可逆矩阵尸、Q使得PBQ=A(B)有可逆矩阵P使得

(C)有可逆矩阵P使得82P=A?(D)有正交矩阵P使得夕-A尸

三、计算行列式(6分):

1-513

1134

设同=，计算41+442+43+44的值，其中4,(=123,4)是代数余子式.

11L

2234

'423、

四、(10分)设矩阵X满足关系AX=A+2X,其中A=110求X.

23>

X1-3x2-.q=0

五、(10分)设线性方程组为XI-4X2+axy=bt

2工］-x2+3X3=5

问：。、〃取何值时，方程组无解、有唯一解、有无穷多解？在有无穷多解时求出

其通解。

六、(10分)

设四,％，…,%是Ax=0的一个基础解系，P不是Ax=o的解，即A/r。,

讨论：向量组人4+%,4+%，…,4+%线性相关还是线性无关？.

「46()、

七、(10分)设A=-3-50问A能否对角化？若能对角化，则求出可逆矩阵

「3-61,

P，使得P.AP为对角阵.

八、（共14分）证明题:

1、（6分）若A为"阶幕等阵（A2=A）,求证：r（A）+“A-瓦）=〃.

2、（8分）设A是〃zx〃实矩阵，»工0是机维实列向量，

证明：（1）秩HA）="A7A）；（2）非齐次线性方程组A『AK=A『尸有解.

答案

填空题（每小题4分，共20分）：

’1000、

°/°°3

2、3、2；4、280；5、

00014

<0。-1b

二、选择题（每小题4分，共20分）：

12345

DCBBD

三、解:

+A42+A43+A3

1-513

113d

3分

-1123…

1111

1-513

0621

'()610

060-2

=6x(—I)211.......................................5分

-2-3

=6......................................................6分

评分说明：本题方法不唯一，但都要求计算必须有过程，结果不对的酌情给分。

四、解：由已知（A—2£）X=4,............................2分

’1003-8-6、

因为（4一2瓦4）—0102-9-6................8分

J）01-2129,

3-8-6

故X=(A—2£)TA2-9-610分

-2129

评分说明：本题方法不唯一,若结果不对的根据步骤酌情给出。

-10、7-3-10、

五、解：A=1-4ab01113分

(2-135,0a+2b+\)

当aw—2时，方程组有唯一解........................................5分

当〃二一2,〃。一1时，方程组无解.................................7分

当〃二一2,〃=一1时，r(A)=r(A)=2<3,方程组有无穷多组解，

其通解为a=(3],0)7+以-2,-1,1),，Z为任意常数。10分

六、解：设有工0，司,工2,…，占使得

+X](夕+囚)+工2(夕+)+…+占(4+%)=0，(I)

=(%+X[+々+…+队)4+$%+^2a2+…+^kak=0，(2).....4分

若玉+~+/+…+七工0，则夕可由囚,。2，…，4线性表示，

=产是Ax=0的解,与已知矛盾.故必有/+M+/+…+%=0，

从而西%+x2a2+•••+xkak=0,7分

由四,见，…，％是Ax=。的一个基础解系知…，出线性无关，

=%=/=…=占=°，％=々+…+%)=0，

因此向量组力/+4/+/，…，/+%线性无关・10分

4—460

七、解：由|4-4同二-3—5—A,0=-(2-l)2(/l+2),

-3-61—A

得全部特征值为：4=4=1，4=一2,4分

将4=4=1代入(A-4E)x=0得方程组

「-2、°

3x}+6X2=0

=

-3x)-6X2=0解之得基础解系4=1'&206分

—3X)—6r2=0

同理将4二一2代入(A—4£)x=0得方程组的基础解系女=(T1,1)7....7分

-20-I

由于|。看2后|=101wo,所以。,4,当线性无关,

011

-2000、

令P=(&g&)=101，则有:P]AP=01010分

,010一2,

八、(14分)

2

1、证明:vA=A,AA(A-En)=O

r(A)+r(A-E/t)<n.................