考研数学三（一元函数积分学）模拟试卷15

考研数学三(一元函数积分学)模拟试

卷15

一、选择题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)

——limF(x)

1、设F(X)=%-QJ/.其中f(x)为连续函数，则等于()

A、a2.

B、a2f(a).

C、0.

D、不存在.

标准答案：B

知识点解析：利用洛必达法则.因

山⑺山

limF(x)=lim----------

X-。X-Q

=lim[2xf/(0d/+x2/(x)]=a2f(a)

•故选B.

2、若连续函数f(x)满足关系式f(x)=L05)市+1n2则f(x)等于()

A,exIn2.

B、e2xln2.

C^ex+ln2.

D、e2x+ln2.

标准答案：B

广f(9市+ln2咚

知识点解析•：在等式的)=b2两端对x求导得「(x)=2f(x),则/

=2dx,lnf=2x+Ci，Wf(x)=Cc2x.由题设知f(0)=ln2,得C=ln2,因此

f(x)=e2xln2.故选B.

f—dt>Inx

,•一W—•««■.■%I■・・、、♦♦•,—・''，，•L»

(A)(O,1).(B)(l片).

(C)(6).(D)(F,+00).

A、

B、

C、

D、

标准答案：A

知识点解析：原问题可比为求f(x尸

f(x)=/出-Inx=「型也市=f匕迎也>0

%'J，1hl成立时X的取值

1-sin/

范围，由1>0,好(0,1)知，当xE(0,1)时,f(x)>0.故应选A.

1•/n.n..n、

------j+-j—+…+------F)

4、数列极限"一-71+1〃+2几+〃=()

(A)f.(B)f.

(C)f.(D)点.

A、

B、

C、

D、

标准答案：B

知识点解析：

nn.

H—1—1—+...+—1—1

-n1+1+(2)21+(9>

nnn

这是函数/G)=T/在［0，1］上的一个积分和，即

N熄)+/(力+・・•+/(-)+/(/］=力(，)%

ninnnnJ几

其中将积分区间[0,l]n等分，n等分后每个小区间是〃(i=l,2,

n),&是区间的右端

因此，原式=limxn=(「.2=arctanx0=孑，故选B.

limlnJ(1+(1+'I…(1+々)2等于()

A、f|2ln2xdx.

B、2fi2lnxdx.

C、2f|2ln(l+x)dx.

D、fi2ln2(l+x)dx.

标准答案：B

知识点解析：结合积分的定义，则

=limln[(1+—)(1+--■)•,,(1+-~)]

»-•l71nn*

J吧ln(1+~)+ln(1+2)+…+ln(1+—)j

=2(ln(14-x)dx

Jo

21in他=2j

Inxdx.

故选B.

6、设m,n均是正整数，则反常积分万反的收敛性()

A、仅与m的取值有关.

B、仅与n的取值有关.

C、与m,n的取值都有关.

D、与m,n的取值都无关.

标准答案：D

标准答案：B

<］

知识点解析：因为当x>0时，有lanx>x,于是有='taru从而，

XXxx

4=f啖>「•"=办=f芝<小二=)

可见有人>也可排除C、D,又由“〈手，可排除A,故应选B.

积分/)

(A)g.IB)和

(C)gv.(D)及m

9、6

A、

B、

C、

D、

标准答案：B

知识点解析：这是无界函数的反常积分，x=±l为瑕点，与求定积分一样，作变量

替换x=sint,其中

“<"29

11

/=「-..，臂------dt=2「吗'2=&arctan(&ianf),=舄

J-t(14-sin2r)cos/卜1+2tan2ro2

故选B.

10、设f(x)在［a,b］连续，则f(x)在［a,b］非负且在［a,b］的任意子区间上不恒为零

是F(x)=Ja'f⑴出在⑶b］单调增加的()

A、充分非必要条件.

B、必要非充分条件.

c在耍多件

D、既非羞分又非必要条件.

标准答案：C

知识点解析:己知g(x)在［a,b］_L连续,在(a,b)内可导,则g(x)在［a,b］单调增

力［］,g，(x巨O(x€(a,b)),在⑶b)内的任意子区间内g<x)#).因此，F(x尸Hf⑴出(在

［a,b］可导)在［a,b］单调增加,F，(x)=f(x)K)(xW(a,b))且在(a,b)内的任意子区间内

F,(x)=f(x)^O.故选C.

二、填空题(本题共15题，每题J.0分，共15分。)

I痴dx=__________.

H、J。

标准答案：一4兀

知识点解析：

令G=上,则

Jaco86dx=2(Jcostdf=2(Jsim|-12tsin/d«)

-4(tsinldt="4IT.

12、已知K(x3)dx=x3+C(C为任意常数)，则f(x)=.

+c,c为任意常数

标准答案：5

知识点解析：对等式J『(x3)dx=x3+C两边求导，得

f(x3)=3x2.

令c=，(％=日)，则广⑴=34,故/«)=#+C,C为任意常数.

/xTT+2

(X+1)2-yr+T-,

In--AZI-2clan2_^ZT±1+c

标准答案:X+2+y/x+1QG

令JK+\=c,那么欠=t2-1,dx=2疝，则有

原式=1曰2d=2］繇=2］（匕-诚七）也

="（一笠峦）也

(力_(d(1+e+l)_r7）

=2

Jr-1J尸+1+1J（，+基+御

=21n|X-1|-In|/2+t+1|

=In%+2_Cretan?望+C.

x+2+-Jx+1行耳

知识点解析:

[y/lx-xidx=.

14、k

TT

标准答案：丁

知识点解析：令x—1=sint,则

(V2x-x2dx=1八-(%-1)'dx=/cos?疝=?

15-x2dx=.

7T

标准答案：2

知识点解析：令l=x-l得

]Xy/lx-xdx=/(£+[)y/\-r<d,=JJ-Jdf+j]J\=y.

猊，

设/(%)=

16、If

标准答案:

知识点解析：令X--1=3则

。(一1粒=//(1)&=/山+|^(-l)df=0-y=-y.

=产4,则门⑴心=_________.

a/(x+-)=

17、X14-Xh

4~ln3

标准答案：2

知识点解析：

11

—+X—+X

小++)X____________X________

(十+J-2

X,得/(，)

X1-2

所以

门⑺晟=广7^2^=TIn(x，游］1

2-2)=y(ln6-!n2)=yln3.

C-^dx=___________.

18、J(1+x)2

标准答案：ln2

知识点解析：

r/工…J》(士)yc“广1

+z.xQX

x1Jix(1+x)

=Jr,4—TH)-&=-1r

X

=-,n(,+7)=ln2'

19、设可导函数y=y(x)由方程

e"山=(xsin)市确定，则来J=.____■

标准答案；一1

*♦，

知识点解析：已知1

=xfoxsin2tdt,令x=0,则y(0)=0.等式两端同时对x求

院《*”(1+强)=jiti,dx+xsin2x.

将%=0,y(0)=0代入上式，得1+=0.

因此可得半

导，得dx

=

20、f*取

标准答案：*

令-，，则/-ye«"ck=出=卜e4

X

'I;-依=#

知识点解析:

1

y=

21、设位于曲线，式1+如%)(於xV+oo)下方,x轴上方的无界区域为G,则G

绕x轴旋转一周所得空间区域的体积为

式

标准答案：4

2,广dx

V=Ttydx=ITT—•——2~T

Jex(1+Inx)

，丁2=TT•[arctan(Inx)]喧寸)小

k1+inx

知识点解析:

(0这刀W")

22、曲线y^o'tantdt4的弧长S=.

标准答案：M(&+1)

〔$=[/1+(y*)2dx=，+tan5xdx=]secxdx

知识点解析：=,n(8ecx+lanx)=In(&+1).

o

f^L_+

23、设F(x)=51+/Jo1+/'则F(X)=

IT

标准答案：2

10

1+%2।1扑

知识点解析：对F(x)求导，可得F，(x)=x则F(x)为常

所以

cnIT

z)—=(2arctant)

F(=F(l)=20-4-2,

数.1+t

24、曲线y=/二I直线x=2及X轴所围成的平面图形绕X轴旋转所成的旋转体

的体积为.

4

标准答案：3

V=irf(x2-1)dx=ir[---x]=-I)=4■伍

知识点解析：Ji131,J33

%N0,

:------,-1<x<0,

25、f(x)=+C08X则h4f(x.2)dx三

l11.41

!tan---r-e+-

标准答案：222

知识点解析：设x—2=t,dx=dt,当x=l时，t=­I：当x=4时,

//(#-2)dx=。*(2)出=+fte,市

于是

-i1+cost

tany。-犷叩

■i2Io

t=2.

三、解答题(本题共74题，每题1.0分，共14分。)

26、设y=f(x)是区间［0,I］上的任一非负连续函数.⑴试证存在xo®O,1),使得

在区间［0,xo］上以f(xo)为高的矩形面积，等于在区间［xo，1］上以y=f(x)为曲边的

梯形面积.(2)又设f(x)在区间(0,1)内可导，且r(x)>X.证明(1)中的X0是

唯一的.

.［7(x)ck.

标准答案：(1)本题可转化为证明xof(xo)="o令(p(x尸一xJxf(l)dl,则(p(x)在

闭区间［0,1］上是连续的，在开区间(0,1)上是可导的，又因为(p(0尸(p(l)=0,根据

罗尔定埋可知,存在xoE(O,1),使得优(xo)=O,即

</(%)=々/Go)-1/(£)出=0.

也就是xo/()=f/(x)dx.

(2)令F(x)=xf(x)

且由/'(*)>-"⑷有

Hx'nodt,%F，(x)=xr(x)+Rx)+Rx尸2f(x)+x「(x)>0,即

F(x)在(0,1)内是严格单调递增的，从而F(x)=0的点x=xo一定唯一，因此(1)中的

点是唯一的.

知识点解析：暂无解析

27、设f(x),g(x)在⑶b］上连续,且满足/f(t)dt%Xg⑴dtW［a,b)Jabf⑴dt=Jabg(t)dt

证明Ja%f(x)dx4abxg(x)dx.

标准答案：令F(x)=f(x)—g(x),G(x)=faXF(t)dt,由题设G(x)N0,xE［a,b),且

b

G(a)=G(b)=0,G'(x)=F(x).从而JabxF(x)dx=L『xdG(x)=xG(x)|ab一faG(x)dx=一

b

faG(x)dx,由于G(x)N0,x6［a,b),故有一#G(x)dxWO,即axF(x)dxWO.因此

Jabxf(x)dx<Iabxg(x)dx

知识点解析：暂无解析

arctane

求/dx.

28、

-2«.«fde"

原式=-Tjarctan界(屋")=-y[68rClane-J

=-1(e^arctan/一传+J件)

一、八田»=-4"(e2,arctane1+e-*+arctane1)•

标准答案：2

知识点解析：暂无解析

29、设f(x),g(x)在[0,1]上的导数连续,且f(O)=Of(x)NO,g'(x)K).证明对任何

a€[0,1],有J()ag(x)F(x)dx+J()if(x)g，(x)dxNf(a)g(l).

标准答案：设F(x尸⑴dt+bf(t)g，⑴dt-f(x)g(l),则F(x)在[0,1]上的导数

连续,并且P(x)=g(x)P(x)-P(x)g(l尸P(x)[g(x)-g(l)],由于xRO,1]时f(x)出，

gXx)>0,因此F(x)S0,即F(x)在[0,1]上单调递减.注意到

F(1尸J(/g(t)「⑴dt+Joif(t)g'(t)dt—f(l)g(1),而io，g(t)f(t)dt=/o1g(l)df(t)=g(t)f(l)|o,一

6f(t)g'⑴dt=f(l)g(l)Tjf(t)g，(t)dt,故F(l)=0.因此xE[O,1]时，F(x)>F(l)=O,

由此可得对任何ae[O,1],有f()ag(x)f(x)dx+J()1f(x)g,(x)dx>f(a)g(l).

知识点解析：暂无解析

30、在xOy坐标平面匕连续曲线L过点M(l,0),其上任意点P(x,y)(x翔)处的

切线斜率与直线OP的斜率之差等于ax(常数a>0).(1)求L的方程；(2)当L与直

8

线y=ax所围成平面图形的面积为3时，确定a的值.

y，―工=QJC,

标准答案：(1)设曲线L的方程为产f(x),则由题设可得力这是一阶

P(x)=——x)=ax,

线性微分方程，其中工代入通解公式得

y=[axe.^l^dz+=x(ax+C)=ax2+Cx,

」又f(l)=0,所以c=一

a.故曲线L的方程为y=ax?—ax(x,0).(2)L与直线y=ax(a>0)所围成平面图形

如图3—2所示.所以

ax-(ax-ax)]dx,

=Q(2x-x2)dx=ya=y,

故a=2.

知识点解析：暂尢解析

31、设曲线y=f(x),其中y=f(x)是可导函数，且f(x)>0.已知曲线y=f(x)与直线

y=0,x=l及x=t(l>l)所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周所得的立体体积值是该曲

边梯形面积值的加倍，求该曲线方程.

标准答案：旋转体的体积为V=J%F(x)dx=jdVf2(x)dx,曲边梯形的面积为：

s=filf(x)dx,则由题可知兀L甲(x)dx=7rtj］'f(x)dx,B［JJilf2(x)dx=tf।lf(x)dx.两边对t求

导可得f2(t)=htf(x)dx+tf(t),即f2(t)-tf(t)=filf(x)dx,(*)等式两端求导可得2f(t)f(t)

一f(。一tr(t尸f(t),化简可得(2f⑴一t)r⑴=2f(t),即

小3=I,解之得，=C・y++多.

7y在(*)式中令匚1,则f2(l)—f(l)=O,因为

已知f(x)>0,所以f(l)=l,代入

I=+与得C=/，所以,="(：+2y).

Jy所以该曲线方程为

2y+-yz-3x=0.

vy

知识点解析：暂无解析

32、设函数f(x)在［0,3］上连续，在(0,3)内存在二阶导数，且

2f(0尸Jo2f(x)dx=f(2)+f(3).(1)证明存在n&0,2),使f(n)=f(O)；(2)证明存在

氏(0,3),使『6)=0.

标准答案：(1)已知2f(0)=J()2f(x)dx,又根据f(x)在［0,2］上是连续的，目.由积分中值

定理得，至少有一点、(0,2),使得Jo2f(x)dx=f(r|).(2—0).因此可得

2f(0)=2f(n),即存在n0O,2),使得f(n)=f(0).(2)因f(2)+f(3)=2f(0),即

=/(0)

2.又因为f(x)在［2,3］上连续，由介值定理知，至少存在一点

ni6［2,3］使得f(ni尸f(o).因f(o)在［0,川上连续，在(0,n)上可导，且f(0)=f(n)，

由罗尔中值定理知，存在0，有F©)n=o.又因为f(x)在［mnU上是连续

的，在(中中)上是可导的，且满足f(n)=f(。尸f(n。，由罗尔中值定理知，存在

n。，有?七)=().又因为f(x)在国，上是二阶可导的，£(。尸£&)=0,

根据罗尔中值定理，至少存在一点斤(言，々)，使得「'(9=0.

知识点解析：暂无解析

求/松皿"脸

JE

33、

标准答案：

(arcsin£+片%王三/见经如土她??业=2f(arcsin/+1”)也

=2[Jarcsin/df+Jlnf2dz]=2[/arcsinZ-Jrdarcsin/+t\nt'-Jfdhi/2]

=2[tarcsinf-J•,，2dt+lint2-,2"

yi-l

=2[tarcsint+J\-t+t\nt2-2/+C1]

=2[^arcsin-/x+八-x+>fx\nx-27r]+C.

知识点解析：暂无解析

34、⑴比较显1M11】(1+1力出与Htn|lnt|dt(n=l,2,…)的大小，说明理由.(2)记

Un=fo1|lnt||ln(H-t)]ndt(n=l,2,…)，求极限・]i工m”"

/'⑺=人-1W0

标准答案：(1)令f(l)=ln(l+t)—I.当OSfl时，1+，，故当

OWtgl时,f(t)Wf(O)=O,即当OWtWl时，OWln(l+t)SWl,从而[ln(l+t)rWn(n=l,

2,...).又由|1nt|K)得姑lm|[ln(l+t)Fd回0用]刖出(廿1,2,…).(2)由(1)知，

O^Un^ohlntKlnCl+t^ddo^^lntldt,因为外用刖出二一61狈叫中

=一(Inf)广,+[-

/i+loA)n+1(n+1)

所以limfr|lnx|dt=0.

ft—Jo

由夹逼准则得

limfIInt[ln(1+t)]"d/=0.

借f■JO

知识点解析：暂无解析

35、设f(x)在区间［a,b］上可导,且满足f(b).cosb=।°"f(x).cosxdx.证明至少

存在一点乐(a,b),使得P©尸f«).tan。

标准答案:由f(x)在区间⑶b］上可导,知f(x)在区间［a,b］上连续，从而

・「。%/a+6)

F(x);f(x)cosx在''2上连续，由积分中值定理，知存在一点°'°’2

2所

F(b)=f(b)cosb=T----1/(x),cosxdx

o-ak

a-b

-a)

2

使得=尸在[c,b]±,由罗尔定理得至

少存在一点斤（c,b）C（a,b）使F熊尸f©cos＜一低）sinJ=0.即

F化尸f（4）tan我6（a,b）.

知识点解析：暂无解析

计算（管dx,其中/（%）=/%皿市.

36、

标准答案：使用分部积分法和换元积分

法.

I耍加=2，f（x）d石=2础2]-2（广《）而k,其中由题设/（I）=0,

因此,上式=-2（=-4Iln(1+化)d及

x-4ln(l+x)|+4(7«clln(I+x)

=-41n2+4

dt=-4ln2+8^'(I

=-41n2+8

=-41n2+8-21r.

知识点解析：暂无解析

37、某企业为生产甲、乙两种型号的产品投入的固定成本为10000（万元），设该企

业生产甲、乙两种产品的产量分别为x（件）和y（件），且这两种产品的边际成本分别

20+9

为2（万元/件）与6+y（万元/件）.（1）求生产甲、乙两种产品的总成本函数

C（x,y）（万元）；（2）当总产量为50件时，甲、乙两种产品的产量各为多少时可使总

成本最小，求最小成本；（3）求总产量为50件且总成本最小时甲产品的边际成本，

并解释其经济意义.

（1）设成本函数为。（明外，则C/（明/=20+f,

标准答案：对'积分得.C(%y)=20%+年+r6),再对

y求导，且有已知得，Cy'（x,y尸（p'（y尸6+y,

再对y积分有，3(y)=6y++C.

所以C(")=期+9+6y+%、C•因为c(o

C