空间解析几何-课后习题解析

第一章矢量与坐标

§1.1矢量的概念

1.以下情形中的矢量终点各构成什么图形?

(1)把空间中一切单位矢量归结到共同的始点；

(2)把平行于某一平面的一切单位矢量归结到共同的始点:

(3)把平行于某一直线的一切矢量归结到共同的始点；

(4)把平行于某一直线的一切单位矢量归结到共同的始点.

［解］：(I〕单位球面；(2)单位圆

(3)直线；(4)相距为2的两点

2.设点。是正六边形4NCQE/的中心，

在矢量苏、OB.OC.而、OE.

而、而、前、丽DE.EF

、

和短中，哪些矢量是相等的？

［解］:如图1-1,在正六边形ABCDEF中，

相等的矢量对是：

3.设在平面上给了一个四边形438,点K、L、M、N分别是边/反BaCD、

的中点，求证：KL=NM.当ABC。是空间四边形时，这等式是否也成立？

KL^-AC.近与配方向相同；在AD4C中,

［证明］:如图1-2,连结AC,那么在ABAC中，八

-AC.丽与印1方向相同，从而KL=

2

MW且应与丽7方向相同，所以近=丽7.

4.如图1-3,设A8CQ-EFG”是一个平行六面

体，在以下各对矢量中，找出相等的矢量和互

为相反矢量的矢量：

(1)AB.CD,(2)AE>CG;(3)AC.

由；

(4)AD.GF;(5)BE.CH.

［解］:相等的矢量对是⑵、⑶和(5)；

互为反矢量的矢量对是(1)和(4)。

§1.2矢量的加法

L要使以下各式成立，矢量应满足什么条件？

(I)〃+q=卜一0；(2)4+1=4+1；

⑶匕+耳=|汩斗(4)a-h=6f|+1^1;

⑸*相汩斗

［解］：(1)Z3所在的直线垂直时有卜+q二口一4；

(2)同向时有4+B=a+W；

(3)“目斗且。［反向时有4+科H斗

(4)反向时有。一坂二〃+/

(5)同向，且a上5时有卜一耳一卜卜R

§1.3数量乘矢量

1试解以下各题.

—>—>—>—>

⑴化简(x-y)-(a-b)-(x+y)•(a-b).

—>—>—>—>—>->—>—>—>—>—>->—>—>

(2)4=4+262-63,b=3q-2g+263,求〃+/?,a-b和3a+2人.

"—>—>—>

⑶从矢量方程组F：+4匕-二，解出矢量(，y,

2x-3y=h

解⑴

->->-»->TTTTTfTTT->

(x-y)•(cz-Z?)-(x+y)•(«-/?)=xa-\-xb-ya-yb-xa-xb-ya+yb=2xb-2ya(2)

—>—>—>—>—»T—>—»-»-»

4+Z?=6+24-63+36-262+263=4G+G,

〃_/?=q+2.-63—(3q—2/+2q)=-2q+4.-36,

—>—»—»—>—>—>—>—>—>—>—»

3a-2h=3(e]+2e2-e3)-2(3-2(?2+2q)=-3q+10e2-7^3.

2四边形A8CD中，AB=a-2^tCD=5a+6b-Sc,对角线A2、8b的中点分别为£、F,

求升.

—>I—>1—>]-♦—>—>I—>—>

解EF=-CD+-AB=-(5a+6b-Sc)+-(a-2c)=3a+3b-5c.

2222

3设A力=：+5大BC=-2d+8^,cb=34—分)，证明：A、B、。三点共线.

—>—>—>—>—>

证明•・•40=BC+CD=-24+8Z?+3(〃一万)=。+5/?=AB

・•・/与而共线，又・・・5为公共点，从而A、B、。三点共线.

4在四边形ABC。中，AB=a+2b,BC=-^a-b,CD=-5a-3b,证明A3C。为梯形.

—>—>—>—>—>—>—>—>—>T—>—>T

证明•・•AO=A8+8C+CO=(。+2/7)+(-4。一/7)+(53b)=2(-4a-b)=2BC

二启〃/，・・・438为梯形.

5.设L、历、N分别是AA8C的三边8C、CA、A8的中点，证明：三中线矢量瓦.而固可以

构成一个三角形.’‘

[证明]:vXZ=-(Afi+AC)

2

从而三中线矢量布，丽，丽构成一个三角形。

6.设乙、M、N是△ABC的三边的中点，0是任意一点，证明

OA+OB+OC=OL^OM+0N.

［证明］-OA=OL।TA

=++ON-（AL+BM+CN）

由上题结论知：AL+BM+CN=O

7.如图1-5,设M是平行四边形ABC7）的中心，0是任意一点，证明

OA+OB+OC+OD=4而.

［证明］：因为。M=

-(OA+OC),0M=

2

-(OR+OD\

2

所以2丽=

^(OA+OB+OC+OD)

图1-5

OA+OB+OC+OD=4而.

—>—>—>—>

8在平行六面体AACDE/GV（参看第一节第4题图）中，证明AC+4尸+AH=24G.

证明AC+A尸+A"=AC+A/+AZXDH=AC+AF+FG+CG=2AG.

9用矢量法证明梯形两腰中点连续平行于上、下两底边且等于它们长度和的一半.

证明梯形A8C。，两腰中点分别为V、N,连接AN、BN.

MN=MA+AN=MA+AEh-DN,

—>—>—>—>—>—>

MN=MB+BN=MB+BC+CN,：.MN=AABC,即

->］fT1->->

MN=L（AD+8C），故MN平行且等于

22

10用矢量法证明，平行四边行的对角线互相平分.

［证明］:如图1-4,在平行四边形ABCD中，O是对角线AC,BD的交点

'：~AD=OD-OA

BC=OC-OB

但AI）=JC

:.OD-OA=OC-OB

OA+OC=OD+OB

由于（况+无）〃就，（丽+而）〃丽，而M2不平行于砺,

:.OA+OC=OD+OB=Of

从而OA=OC,OB=ODo

11.设点O是平面上正多边形

44…A”的中心，证明：

西+西+・・・+两=6.

［证明］:因为

两十两=义两，

O&+O/\$—AOAy,

0ALi+°A=2%，

0An+0A.2=尤。41,

所以2（两+两+…+区）

=4两+两+•••+西），

所以（2-2）（西+万]+…+04）=0.

显然2#2,即71一2#0.

所以西十E+…+两=6.

12.在11题的条件下，设P是任意点，证明：石4+巫+...+两=〃而

证明：•.•函+就+…+两=6

即萩+丽+•.•+可二〃两

§1.4矢量的线性关系与矢量的分解

1.在平行四边形ABCD中，

（I）设对角线冠二々,而二在求而衣，而,万入

解：族=—前=33+々）丽=3心—£）方=—+设边BC和CD的（2）中点M

和N,且而二反而=力求而无。

2.在平行六面体ABCD-EFGH中，设48=q,4。=q,AE=J，三个

面上对角线矢量设为衣=%,■万=1,衣=：,试把矢量1=而+泊+力写成的线性组

人匚O

..,••.—♦[•'•

证明：AC=p=e2—e],AH=q=e3—e2>

AF=r=e3-e］,

3.设一直线上三点A,民夕满足AP=4而（加-1）,。是空间任意一点，求证:

-OA+A0B

OP=------------

1+2

［证明］:如图1-7,因为

AP=0P-0A,

PB=0B-0Py

所以而一方=〃砺_丽),

(\+A)OP=OA+AOB,

..=OA+AOB

从而OP=--------------.

1+A

4.在AA8C中，设A8=,,AC=e2.

（1）设。、E是边BC三等分点，将矢量而乱分解为1的线性组合;

（2）设47是角A的平分线（它与8C交于7点），将AT分解为G，g的线性组合

...>..I.I/••I

解：(1)•.•8C=4C—48=6—6,80=380=5卜2—4),

.—*’•]—*—*]—*21-'•2_*1~*

AD=AB+BE)=—=—^|+§，2，同理AE=§e2+

⑵因为胃胃

巨8丁与丁。方向相同,

所以防=国元.

\e2\

由上题结论有

1+%____

喟I，l+B|

5.在四面体OA8C中，设点G是AA8C的重心（三中线之交点），求矢量0G对于矢量

0A,。从OC的分解式。

能：:G是A4BC的重心。.•.连接AG并延长与BC交于P

同理前=g(而+说)，的=g®+而)

—**—*——1/——\

/.0G=0A+AG=0A+^\B+BC)(1)

—►—►—,—►1/———/

0G=0B^BG=0B+^BA+BC(2)A

~OG=~OC+~CG=~OC+-^A+CB

⑶(图1)

3

由(1)(2)(3)得

HP0G=-(0A+0B+(?C

3

6.用矢量法证明以下各题

（1）三角形三中线共点

证明：设BC,CA,AB中，点分别为L,M,N。AL与BM交于《，AL于CN交于8

BM于CN交于P：取空间任一点O,那么A

二砺+(归一砺+玩一网=;(厉+为+无

同理丽=g向+丽+瓦)

丽=1•廊+而+而)

/.4,■，鸟三点重合

二.三角形三中线共点（图2）

(第3页)

7.矢量3,3不共线，问］=2%-刃与)=31-21是否线性相关？

证明：设存在不全为0的力,〃，使得2c+〃分=0

即A(2^-^)+^(-A-2A)=0=>^(2A-3/7)+^(-A-2//)=0

故由不共线得｛：^：0=>与假设矛盾，故不存在不全为0的4〃，使得+=0成立。

所以1,2线性无关。

8.证明三个矢量5=—,+3.+2内，b=4e,—6e2+2e3,1=-3q+12&+110共面，其中。能否

用5,2线性表示？如育落示，写出线性表示关系式.

［证明］:由于矢量［,］不共面，即它们线性无关.

考虑表达式％。+pb+vc=0,OP

_

九(―et+3e2+2e3)+〃(4q~6e2+2q)+v(3^)+12e2+11)=0,

或(-A+4ju-3v))+(32-6〃+⑵)^+(2A+2^+llv)^=6.

由于I，I，或线性无关，故有

解得2=—10,〃=—1,v=2.

由于2=—10。0,所以不能用彼曰线性表示

_1-,1,

a=——/?十一c.

1()5

9.证明三个矢量Mi-瓜jLih一i/c,w4a共面。

证明：（丸〃一+-vcj+（vc-4a）=0

・••三个矢量线性相关，从而三个矢量共面。

OC—OB=A(OA—OB),

所以前=2瓦，

从而BC//BA.

故4,B,C三点共线.

§1.5标架与坐标

3.在空间直角坐标系｛0:7,下，求P(2,—3,—l),M(a",c)关于

(1)坐标平面；(2)坐标釉；(3)坐标原点的各个对称点的会标.

［解］:M(a,b,c)关于x0)，平面的对称点坐标为3,b、—c),

M(a,b,c)关于yOz平面的对称点坐标为(一a,b,c),

M(a,c)关于xOz平面的对称点坐标为(a,—/?,c),

M(a,b,c)关于A轴平面的对称点坐标为(a,-

M(a,b,c)关于y轴的对称点的坐标为(一a,A,—c),

M(a,b,c)关于z轴的对称点的坐标为(一a,一4c).

类似考虑。(2,—3,—1)即可.

8.矢量a,B,c的分量如下：

(1)a={0,—1,2},1={0,2,—4},c={1,2,—I}；

(2)a={1,2,3),B={2,—1,0},c={0,5,6).

试判别它们是否共面？能否将2表成Z,5的线性组合？假设能表示，写出表示式.

0-12

［解］:⑴因为02-4=0,所以a,b,c三矢量共面，

12-1

又因为a,1的对应坐标成比例，即a〃B,但c/a,

故不能将之表成］分的线性组合.

123

(2)因为2-10=0,所以"，1),Z三矢量共面.

056

又因为"，B的对应坐标不成比例，即

故可以将工表成B的线性组合.

设c=Aa+^b.亦即［0,5,6}=附1,2,3}+〃{2,-1,0)

从而

解得4=2,〃=一1,

所以下=22—坂.

7.A,B,C三点坐标如下：

(I)在标架卜去，卜}下,A(0,l),B(2,-2),C(-2,4)i

(2)在标架上下，^(0,1,0),B(-1,0-2),C(-2,3,4)

判别它们是否共线？假设共线，写出通和标的线形关系式.

解：(1)因为Q=(2,-3),元=(-2,3)

所以而=一/共线

(2)AB={-1-1-2},AC={-2,2,4}

设而=2恁，但/I不存在

所以4,反C不共线.

A+2//=0

尸2=2

得=5所以1一.

9.线段AB被点C(2,0,2)和D(5,-2Q)三等分，试求这个线段两端点A与R的坐标.

答A(-l,2,4),B(8,-4,2).

10.证明：四面体每一个顶点与对面重心所连的线段共点，且这点到顶点的距离是它到对面重:心距离的

三倍.用四面体的顶点坐标把交点坐标表示出来.

［证明］:设四面体4A2AM4,4对面重心为G,欲证4G交于一点(i=1,2,3,4).

在A,G上取一点Pi,使AP=3P0,从而OP］=,

JLI7

设Ai3,M，Zi)(i=1,2,3,4),那么

‘-+一+-%+■+乂22+Z3+Z。

、333)

1%+—+♦y+)\+乂4+Z3+Z4I

\333)

(x,+x2+x4乂+%+”Z+Z2+Z4I

%―5-'-3-'-3-y

G"+W+.y+)'2+)’3Z+Z2+Z31

4<333)

所以

p](-____2______3____：____3—)

1+3'1+3'1+3

凡+士+七+七X+兄+%+乂4+Z2+Z3+Z4、

二小4

44

同理得七三凸三R三P”所以AG,交于一点P,且这点到顶点距离等于这点到对面重心距离的三倍.

§1.6矢量在轴上的射影

1.矢量而与单位矢量Z的夹角为150°,且|羽=1(),求射影矢量;,而与射影；而，又如果7=工,

求射影矢量；而与射影?丽.

［解］射影"而二|洞cos/(2,戏)=10COS150。=—5C,

射影矢量;而=-56工

射影7通=|洞cos/()，丽=10.COS300=5A/3,

射影矢星：丽二5757

2试证明：射影+A£7,+…+乙〃”)=办射影/《+4射影1(12

+…+加射影(an.

［证明］:用数学归纳法来证.

当〃=2时，有

射影/(九-I+&。2)=射影A4q)+射影/()=办射影/〃［+42射影/。2,

假设当〃=4时4式成立，即有

射影/(4。1+…+4々)=右射影ia\+…+射射影g,

欲证当〃=HI时亦然.事实上

射影'I\akI4+G+I)

=射影4(4q+…+)+4"45]

=射影/(4qH----1-cik)+射影/(4+i4+i)

=办射影M+…+&射影g+&+i射影icik+l

故等式对自然数〃成立.

§1.7两矢量的数性积

1.证明：

(1)矢量。垂直于矢量(〃〃)c-(ac)h；

⑵在平面上如果叫/庆2，且石.阿=〃.〃?，(/-1,2),那么有a=〃.

■--•一—————————————i——

证明：(1),:a.(ab)c-(ac)b=a(ab)c-a(ac)b=(ab)ac-(ac)ah=0

，矢景。垂直于矢审3〃)C-(ac)b.

(2)因为相发电,所以，对该平面上任意矢量0=4而+〃电，

(a—b)c=(a—h)(2m1+juin2)

一一一一

=2所।(a-b)+〃而2(。一〃)

————

=4(am]—h/%)+/4am2-bm2)=0,

故(a-b)lc.

由？的任意性知Z-B=6.

——

从而。=b.

2.矢量3石互相垂直，矢量2与"花的夹角都是60"且口=1罔=2,同=3计算：

阐：

3.计算以下各题.(I)等边

△ABC的边长为1,且=〃,CA=b,AB=C^ab+hc-^-ca(2)o,b,c两两垂直，且

=1=2,卜卜3,求，•=〃+人+。的长和它与凡〃,。的夹角.(3)a+3人与7々一5b垂直，求出〃的夹

PlLW

一.一9一.一•一

=5,/(〃,/?)=-《p=3a-b,q=/U+17〃,问系数4取何值时p与9垂直？

3

解⑴忖朴心,

ab+bc+ca=L|•忖•cos1200+b-c-cos1200+郎忖・cos1200=-1(2)•・,alb1c,且

W=1,b=2,口=3.设r=a+b+c=i+2/+3火

222

|r|=Vl+2+3=V14设，•与C的夹角分别为a、B、r

c°sa=3="8S个二=巫,335/14Vi4

COS/=—r==-------a=arccos

V1414V147V1414~14~

3V14

y-arccos-------.(3)(a+3b)-(7a-5b)=0即

714

7。+16。6—15。=0(1)(rz-4/?)-(7a-2b)=0,即7。-30ab+Sb=0

⑴一(2)得：2ab=b~(1)x8+(2)x5M：2ab=a

]_

ahcos/(〃/)

\=\\2

cosZ(«,Z?)=—(4)ab=a•bcosZ(t7,Z?)=2x5x(一~-)=-5p*q=(3a-b)-CAa+\7b)

32

=3/1a2+5\ah-Aa-h-\lb：=-680+172=0A2=40(8)页后

4.用矢量法证明以下各题：

(1)三角形的余弦定理a2=b2+c2-2bccosA;

(2)三角形各边的垂直平分线共点且这点到各顶点等距.

证明：(1)如图1-21,△ABC中，设而；=九而=2,前=3,

目,|=a,\=b]c\=c.那么a=〃一(?,

222222

a=(b—c)=b+c—2b-c=b+c—2\b||c|cosA.图171

jJtHPa2=b^c2-2bccosA.

(2)如图1-22,设A3,3。边的垂直平分线PD,

PE相交丁P,

D,E,/为A及BC,CA的中点，设%=a,PB=

B,PC=c,那么AB=b—a,BC=c—b,

'♦-*一■[——

CA=a—c,PD=—(fl+Z?),

方=*+5).

因为丽J_而，PE1BC,

所以+5)(/?—a)=—(b2—a2)=0.

22

——f—1fA—A

—(b+c)(c—b)=—(cb-)=0,

22

从而有42=G2=《2,即|aF=|SF=|cF,

所以?(?+/)(2—乙)=?(,2—？2)=o,

22

所以而_LCA,且|a|=|〃|=|c|.

故三角形各边的垂直平分线共点且这点到各顶点等距.

5平行四边形以a-{1,2,-1),b-{1,-2,11为两边(1)求它的边长

和内角(2)求它的两对角线的长和夹角解

12

(1)a=di+1+1=瓜、b=Vl+2+1=瓜cos0=^=arccos—或

a-b66

^-arccos|(2)|c,|=p

+b=A/TO，=a-b=V14.

C,c,=°・.・"彳64A8C的三顶点4。,。,3),B(4,。,。)，C(0,8,-3)

cosa=

ffHJ

试求：⑴△三边长（2）△三内角（3）三中线长（4）角A的角平分线矢量AQ（中

点在BC边上），并求AO的方向余弦和单位矢显解

(1)AB=(4,0,-3),AC=(0,8,-6),"=(—4,8,3)

ABBC_9

AB=5,BC=V§9(2)cosZA=

叫25

ZA=arccos^c°sNC，/C*AZC=arccos^8s4=^1二也

25\AC\]BC\445445|BC|-|^C|445

arccos返g

⑶AD,=AB+BDS.？

445l

----x/161.一LI——•一-g

AD}=号一BD2=BA+AD2=(-4,4,0)Z.BD2=4V2|CD3=CA+ADy=(2,-8,-)/.

22

AB4力ACAD…。s—,

(4)cos9=AD=

AB\\ADAC|-|AD33717

设它的单位矢量为｛a^c｝，

§1.8两矢量的失性

a=\,b=5,ab=3.试求:⑴axh(2)[(〃+〃)x(〃-方)](3)[(a-2Z?)xS-2〃)]

傩:⑴sinZ.(a,b)=5/1-cos2(tz,/?)=Jl-(-)2=—axh=|tz•/?sinZ(6f,/?)=4.

(2)原式=[(a+Z?)x4-(a+b)x/?]=(-2rzx/?)2=4t/xZ?=64.

(3)原式=[ox〃-一ax2a+4bxa]=(-3axb)2=9x42=144

2.证明：

(1)(axb)2^a2^b2,并说明在什么情形下等号成立.

(2)如果a+B+c=0,那么aBxc=cxa,并说明它的几何意义.

(3)如果ax/?=cxd,Qxc=〃xd.那么。一1与/;一。共线.(4)如果

2

a=pxnyb=qxn,c=rxn,那么，a,6,c共面.证明：(1：(axb)

=\axbF=|aFlB|2sin2Z(«,^)

^\ap\b\1=a2-b2.

要使等号成立，必须sin2(a)=1,从而sin/(a,B)=1,

故么a、b)=巴,即当a_L坂时，等号成立.

2

(2)由a+B+c=O,有(a+^+c)xc=6xc=6,但.cxc=O,

于是axc+bxc=0,

-ff—

所以bXr?=。X〃.

同理由(4+b+c)xa=0,有cxa=a义b,

从而axh=bxc=cxa.

其几何意义是以三角形的任二边为邻边构成的平行四边形的面积相等.

(3)*.*(a-d)x(b-c)=axd-axc-hxd+dxc

=cxd-bxd+bxd-cxd=0：.a-d与人-c共线.

(4)(axh)c=(〃x〃)x(qx〃).(rx〃)={,•(〃x〃).g-(px〃).g〃}•(/-x/z)=0

-(pxn)^•n(rxn)=0(axb)c=0；・a,5,c共面

3.如果非零矢量彳0=1,2,3)满足彳=Zx1,E=己=后1，那么彳，ER是彼此垂直的单位矢

量，并且按这次序构成右手系.

［证明］:由矢性积的定义易知彼此垂直，且构成右手系.

下证它们均为单位矢量.

—•—♦—♦.—♦—♦

因为6=qxq,

所以1彳1=£|宿1，IM=IMMI,

所以ld=hl2kl.(.

由于|不快0,从而|行=1,用|=1./\

同理可证由|=1,|彳|=1.y\a

从而彳m都是单位矢量./\

4.：〃={2,-3,1}*={1,一2,3},求与。，6ACB

都垂直，且满足以下条件的矢量C：图1T3

(1)C为单位矢量⑵C-d=10,其

中d={2,1,-7}.解：⑴设c=",y,z}.二

cLa.cLb,cb=x-2y+3z=0(1)ca=2x-3y+z=0(2)x2+y2+z2=1(3)

由⑴，(2),⑶得：c=］迪，且，且卜2)设。={乂，2}.・・・c-J=I0・•・2x+y-7z=10(4)

15315I

由⑴，⑵，(4)得:《=(¥，§，!■］.

［666J

5.在直角坐标系内三点4(5,1,-1),8(0,-4,3),。(1,一3,7),试求:(1)三角形

ABC的面积(2)三角形ABC的三条高的长

解：⑴/IB=(-5,-5,4),AC=(-4,-4,8),3C=(1,1,4)cosN5=叱产二巫,sin/l=-.

AB’AC66

5=-\AB\-\AC\-sinA=\2y[2.⑵网=而，|AC|=V96,|BC|=V18.:.

2

4=^1,%=2x/5,4=8.6.：a={2,3,1},%={5,6,4},试求：(1)以a,〃为

边的平行四边形的面积.(2)这平行四边形的两条高的长.

解：⑴S=a/?•sinN(a,Z?)*.*cosb)=~~n~~r=------sinN(a,Z?)=-----，

MW7777

5=35/6(2)a=V14,|z?|=>/77,A/?,=—=^1^=—=

11a7-b77

7.用矢量方法证明：

(1)三角形的正弦定理

ci_b_c

sinAsinBsinC

(2)三角形面积的海伦(Heron)公式，即三斜求积公式：

A2=p(p—a)(p—b)(p—c).

式中〃=g(a+〃+c)是三角形的半周长，△为三角形的面积.

[证明]：(1)如图1-13,在△A3C中，设前=",CA=h,AB=c,

且|a|=〃，\b\=b,|c|=c,那么a+6+c=0,

————♦—♦—•

从而有〃xc=cxa=axb,

所以xc|=|cxa|=|a|,

bcs\nA=easinB=abs\nC,

于是0=b=_£-.

siny4sinBsinC

(2)同上题图，△ABC的面积为

I一一

A=—|flx/7I，

2

i-一

所以相：》"/".

因为(axb)2+(ab)2=a2b2,

|—•—«T—

所以—=—[a2b2—(ab)2].

4

由于a+Z?+c=6,

从而〃+%=—c,(ab)2=c2,

一一1-1

所以〃h=—{c2—a2—b2)=—(c2—a2—Z>2),

22

故有1[a2b2_1(c2_a2_b2)2}

44

=­[2ab-(c2-a2-Z?2)][2«/?+(02-a2-b2)]

=—[(«+〃)2—C2][12-3一加2]

16

=—(a+b+c){a+b—c)(c+a-6)(。一a+〃)

16

=—2P«2p—2c)(2p—2A)(2p—2a).

16

所以相二/乂片①⑺-初⑺-。，

或p(p—a)(p-b)(p-c)•

§1.9三矢量的混合积

1.设7X,Z为三个非零矢量，证明

——————_—

(l)(«,b,c+2。+〃/>)=(〃，b,c);

(2)(a+3,B+c,c+a)=2(a,b,c).

[证明]:⑴左端=(ax1)(c+Xa)

二(axb)c+(axb)•(入a)+(axb)-(yib)

—*―-*—♦——♦—♦——

二(axb)•c+九(axb)•a+p(axb)-b

—•———•——♦-♦—f

=(abc)+Maba)+p(abb)

=(abc尸右端.

(2)左才能=[(人+。)乂(c+a)]•(«+/?)

————♦-—♦-♦

=[bxc+bxa+cxa](a+b)

———♦——»——♦—♦—————♦———♦一

=(bxc)-a+(b>a)-a+(cxa)-a+(bxc)-b+(bxa)-b+(cxa)b

=(bca)+(cab)=2(aBc尸右端.

2.设径矢OA=4，OB=r2,0C=勺，证明7?=(4xG)+(4x4)+(4x/；)

垂直于ABC平面.

「证明]:由于A8•斤二苗-。)[(Rx^)+(*£)+(心彳)]

.———♦—♦—•

二(々4与)+(4々4)+(44/1)一(/14为)一册小)一(164)

—♦—♦

二储々々)一(4々〃)=。，

所以而，无.

同理可证尼_1_天.

所以平面人4c.

3./+G4+/&+。2%,而二46+。3c3，

«i4。

试证明O,w)=a2b2c2

%4q

a.b、一一h,

[证明]:•「〃xK=(4x6,)+

a2b2'b2

/.(i/,v.iv)=(Mxv)-w

@)(e2xei)-4+

%(《xgAq

4Ac.

的分量，判别这些矢量是否共面？如果不共面，求出以它们为三邻边作成的平行六面体体积.

⑴〃={3,4,5},〃={1,2,2},c={9,14,16}.（2）£={3,0,-1},〃={2,Y,3},c={-l,-2,2}.

345

解：⑴共面•・•（〃也c）=l22=0,向量凡"c共面（2）不共面•••

91416

30-1

（凡〃,c）=2-43=2・・・向量〃也。不共面以其为邻边作成的平行六面体体积V=2

-1-22

5.直角坐标系内四点坐标,判别它们是否共面?如果不共面，求以它们为顶点的四面体体积和

从顶点。所引出的高的长.

⑴4（1,0,1）,夙4,4,6）,。（2,2,3）,7）（10,14,17）;

⑵42,3,1),8(4,1,-2),C(6,3,7),D(-5,4,8),

解:⑴共面.

2-2-3

/-♦->\58

⑵AB,ACtAD=406=2x58.*.V=—

<J3

-717

又ABxAC={-12,-24,8),/.ABx/^C=28,

1162929

：,h=—=—顶点。所引出的四面体高为二.

2877

§i.io三欠量的双重欠经积

1.在直角坐标系内,。{1,0,—一2,0},c{-1,2,1},求(ox]xc^11axfc

->->-»->->

Xc=a-cb-b•ca=-2b+5ci

{-2,4,0}+{5,0-5}={3,4-5}

/->T

dxbxc-acb-a-b\c=-2b-c={-2,4,0}-{-1,2,1}={-1,2-1}.

2.证明对于任意矢量防=123,4）下式成立:

y->-*A(-1丫--、<->->VT—»

证左式二八八JM