广东省江门市新会区第一中学2025-2026学年高二（上）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年广东省江门市新会区第一中学高二（上）期末数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.下列结论正确的是()A.事件A的概率为，则必有

B.事件A的概率，则事件A是必然事件

C.用某种药物对患有胃溃疡的500名病人治疗，结果有380人有明显的疗效，现在胃溃疡的病人服用此药，则估计有明显疗效的可能性为

D.某奖券中奖率为，则某人购买此券10张，一定有5张中奖2.抛物线y=-4x2的准线方程是（）A. B.x=1 C.y=1 D.3.已知空间中三点A（-1，0，0），B（0，1，-1），C（-2，-1，2），则点C到直线AB的距离为（）A. B. C. D.4.一个质地均匀的骰子六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6.连续抛掷这个骰子两次，并记录每次正面朝上的数字，记事件A=“两次向上的数字都为3”，B=“两次向上的数字之和是6”，则下列结论正确的是（）A.事件A与事件B相互独立 B.事件A与事件B互斥

C. D.P（AB）=5.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，已知，=，=，=，则=（）

​​​​​​​A. B.

C. D.6.“”是直线l1：（2a-1）x-ay+1=0与直线l2：x+2ay-1=0平行的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件7.已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2＝60°，|PF1|＝3|PF2|，则C的离心率为A. B. C. D.8.已知抛物线C：y2=16x的焦点为F，过点A（7，1）作直线l；x+ay-2y-7a+4=0的垂线，垂足为B，点P是抛物线C上的动点，则|PF|+|PB|的最小值为（）A. B. C.14 D.二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.下列说法正确的是（）A.用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体m被抽到的概率是0.1

B.已知一组数据1，2，m,6，7的平均数为4，则这组数据的方差是5

C.数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23

D.若样本数据x1，x2，x3，…，x10的极差为8，则数据2x1-1，2x2-1，⋯，2x10-1的极差为1510.以下四个命题表述正确的是（）A.直线（3+m）x+4y-3+3m=0（m∈R）恒过定点（-3，-3）

B.已知圆C：x2+y2=4，点P为直线上一动点，过点P向圆C引两条切线PA、PB，A、B为切点，则直线AB经过定点（1，2）

C.曲线C1：x2+y2+2x=0与曲线C2：x2+y2-4x-8y+m=0恰有三条公切线，则m=4

D.圆x2+y2=4上存在4个点到直线l：x-y+=0的距离都等于111.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为AA1的中点，点F满足=λ（0≤λ≤1），则（）A.当λ=0时，AC1⊥平面BDF

B.任意λ∈[0，1]，三棱锥F-BDE的体积是定值

C.存在λ∈[0，1]，使得AC与平面BDF所成的角为

D.当λ=时，平面BDF截该正方体的外接球所得截面的面积为π

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.设等差数列{an}前n项和为Sn，a2=-3，S4=-10，则a5=

.13.点A（1，0，1），B（3，2，2），C（λ+1，4，3），若，的夹角为锐角，则λ的取值范围为

.14.若动点M满足，则点M的轨迹方程为

．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知圆C：（x-2）2+（y-3）2=4外有一点P（4，-1），过点P作直线l．

（1）当直线l与圆C相切时，求直线l的方程；

（2）当直线l的倾斜角为135°时，求直线l被圆C所截得的弦长．16.(本小题15分)

俄罗斯与乌克兰的军事冲突导致石油、天然气价格飙升.燃油价格问题是人们关心的热点问题，某网站为此进行了调查.现从参与者中随机选出100人作为样本，并将这100人按年龄分组：第1组[20，30），第2组[30，40），第3组[40，50），第4组[50，60），第5组[60.70]，得到的频率分布直方图如图所示.

（1）求样本中数据落在[50，60）的频率；

（2）求样本数据的第50百分位数；

（3）若将频率视为概率，现在要从[20，30）和[60，70]两组中用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行座谈，求抽取的2人中至少有1人的年龄在[20，30）这一组的概率.17.(本小题15分)

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，AB=2，BC=4，侧面PAD为等边三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E为PB中点.

（1）证明：平面PAD⊥平面PAB；

（2）求平面EAC与平面ACD夹角的余弦值.18.(本小题17分)

已知椭圆的长轴为2，短轴为2，焦点在x轴上．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）过点P（2，0）斜率不为零的直线l与椭圆相交于A，B两不同点．

（ⅰ）若k=，求弦长|AB|的值；

（ⅱ）记O为坐标原点，求△AOB面积的最大值．​​​​​​​19.(本小题17分)

已知椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的左右焦点是F1，F2，且C1的离心率为，抛物线C2：y2=2px（P＞0）的焦点为F2，过OF2的中点Q垂直于x轴的直线截C2所得的弦长为2．

（1）求椭圆C1的标准方程；

（2）设椭圆C1上一动点T满足：=+2，其中A，B是椭圆C1上的点，且直线OA，OB的斜率之积为-，若N（λ，μ）为一动点，点P满足，试探究|NP|+|NQ|是否为定值，如果是，请求出该定值：如果不是，请说明理由．

1.【答案】C

2.【答案】D

3.【答案】A

4.【答案】D

5.【答案】A

6.【答案】C

7.【答案】C

8.【答案】D

9.【答案】AC

10.【答案】BCD

11.【答案】ACD

12.【答案】0

13.【答案】（-5，4）∪（4，+∞）

14.【答案】（x＞0）

15.【答案】解：（1）由题知，圆心坐标为(2，3)，半径为r=2，

当斜率不存在时，直线l的方程为x=4；

当斜率存在时，设直线l的方程为kx-y-4k-1=0，

则，解得，

∴直线l的方程为3x+4y-8=0，

综上，直线l的方程为x=4或3x+4y-8=0；

（2）当直线l的倾斜角为135°时，直线l的方程为x+y-3=0，

圆心到直线l的距离，

∴所求弦长为​．

16.【答案】解：（1）依题意，样本中数据落在[50，60）的频率为1-（0.01×2+0.02×2）×10=0.4．

（2）样本数据的第50百分位数落在第四组，且第50百分位数为．

（3）[20，30）与[60，70]两组的频率之比为1：2，

现从[20，30）和[60，70]两组中用分层抽样的方法抽取6人，则[20，30）组抽取2人，记为a，b，

[60，70]组抽取4人，记为1，2，3，4．

所有可能的情况为（a,b），（a,1），（a,2），（a,3），（a,4），（b,1），（b,2），（b,3），（b,4），（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），共15种．

其中至少有1人的年龄在[20，30）的情况有（a,b），（a,1），（a,2），（a,3），（a,4），（b,1），（b,2），（b,3），（b,4），共9种，

记“抽取的2人中至少有1人的年龄在[20，30）组”为事件A，则．

17.【答案】证明：如图所示，作线段AD的中点F，连接PF，

因为侧面PAD为等边三角形，所以PF⊥AD，

因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PF⊂平面PAD，

所以PF⊥平面ABCD，因为BA⊂平面ABCD，所以PF⊥BA，

因为底面ABCD为矩形，所以BA⊥AD，

因为PF∩AD=F，PF⊂面PAD，AD⊂面PAD，所以BA⊥平面PAD，

因为BA⊂平面PAB，

所以平面PAD⊥平面PAB；

18.【答案】解：（Ⅰ）由题意，2a=，2b=2，则a=，b=1．

∴椭圆的标准方程为；

（Ⅱ）（ⅰ）由题意可得k存在且k≠0，设直线l：y=k（x-2），

联立，得（1+2k2）x2-8k2x+8k2-2=0．

由Δ=64k4-4（1+2k2）（8k2-2）＞0，解得＜k＜．

，，

则|AB|==

=．

当k=时，|AB|=；

（ⅱ）由（ⅰ）知，|AB|=，

坐标原点O到直线l的距离d=，

则==．

令，可得|m|＞，

则，

令（t＞0），则．

当且仅当t=2，即m=，k=时上式等号成立．

∴△AOB面积的最大值为．

19.【答案】解：（1）∵抛物线C2：y2=2px（P＞0）的焦点为F2（，0），

∴Q（），

∵过Q垂直于x轴的直线截C2所得的弦长为2，

∴，

得p=，

∴，

又，

∴a=2，b=1，

∴椭圆C1的方程为：；

（2）设T（x，y），A（x1，y1），B（x2，y2），

则由，

得x=