河南省南阳市桐柏县方树泉、一初中两大教育集团2026届九年级上学期1月联考数学试卷（含答案）

2025-2026学年九年级上学期1月月考数学试题一、单选题1．下列计算正确的是（

）A． B． C． D．2．下列说法正确的是（

）A．“福山福地福人居”这句话中任选一个汉字，这个字是“福”字的概率是B．任意画一个三角形，其内角和是是必然事件C．某彩票中奖概率为，那么买100张彩票一定会中奖D．“穿十条马路连遇十次红灯”是不可能事件3．已知一元二次方程的两根为，则的值为（

）A．2 B． C．8 D．4．对于二次函数，下列结论正确的是（

）A．函数图像的顶点坐标是B．当时，有最小值为7C．当时，随的增大而增大D．图像的对称轴是直线5．如图，在平面直角坐标系中，△AOB与△COD是以点O为位似中心的位似图形，若，，，则点D的对应点B的坐标为（）A． B． C． D．6．如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小菲同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知小菲的眼睛离地面高度为，同时量得小菲与镜子的水平距离为，镜子与旗杆的水平距离为，则旗杆高度为（

）

A． B． C． D．7．如图，正方形的顶点G在正方形的边上，与交于点H，若，，则的长为（

）A．2 B．3 C． D．8．已知点都在二次函数的图象上，则的大小关系用“”表示为（

）A． B． C． D．9．如图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点P处与地面的距离为1.6米，车头近似看成一个矩形，且满足，若盲区的长度是6米，则车宽的长度为（）米．A． B． C． D．210．如图，边长分别为1和2的两个等边三角形，开始它们在左边重合，大三角形固定不动，然后把小三角形自左向右平移直至移出大三角形外停止．设小三角形移动的距离为x，两个三角形重叠面积为y，则y关于x的函数图象是（）A． B．C． D．二、填空题11．使式子有意义的实数x的取值范围是__________．12．某商品经过连续两次降价，价格由100元降为64元．已知两次降价的百分率都是，则满足的方程是_____________．13．如图，菱形的边长为10，对角线相交于点O，E为边的中点，连接交于点F．若，则的长为________．14．如图，抛物线（为常数）关于直线对称．下列五个结论：①；②；③；④；⑤．其中结论正确的是______．（填序号）15．如图，在中，，，点是边上一动点（不与，重合），，交于点，则的最大值为________．三、解答题16．计算(1)；(2)17．解方程(1)；(2)(3)；18．一个不透明的袋子中装有四个小球，这四个小球上各标有一个数字，分别是1，1，2，3，这些小球除标有的数字外都相同．(1)从袋中随机摸出一个小球，则摸出的这个小球上标有的数字是1的概率为；(2)先从袋中随机摸出一个小球，记下小球上标有的数字后，放回，摇匀，再从袋中随机摸出一个小球，记下小球上标有的数字，请利用画树状图或列表的方法、求摸出的这两个小球上标有的数字之积是偶数的概率．19．关于的一元二次方程．(1)若原方程有两个不相等的实数根，求的取值范围；(2)若原方程的一个根是1，求此时的值及方程的另外一个根．20．如图，是矩形的边上的一点，于点，，，．

(1)求证：．(2)求线段的长．21．为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装避阳篷，便于社区居民休憩．如图，在侧面示意图中，遮阳篷长为米，与水平面的夹角为，且靠墙端离地高为米，当太阳光线与地面的夹角为时，求阴影的长．（结果精确到米；参考数据：）

22．在平面直角坐标系中，关于的二次函数的图象过点，．（1）求这个二次函数的表达式；（2）求当时，的最大值与最小值的差；（3）一次函数的图象与二次函数的图象交点的横坐标分别是和，且，求的取值范围．23．在中，是边上的中线，过点C作的垂线交的延长线于点E，于点F．(1)求证：平分；(2)求证：；(3)过点A作交的延长线于点G，连结，当时，求的长．题号12345678910答案BBCDABBBBB1．B【详解】解：A.排除A,B.，B正确，C.，排除C,D.，排除D故选B2．B【详解】解：A、“福山福地福人居”这句话中任选一个汉字，这个字是“福”字的概率是，原说法错误，该选项不符合题意；B、任意画一个三角形，其内角和是是必然事件，原说法正确，该选项符合题意；C、某彩票中奖概率为，那么买100张彩票不一定会中奖，原说法错误，该选项不符合题意；D、“穿十条马路连遇十次红灯”是随机事件，原说法错误，该选项不符合题意；故选：B．3．C【详解】解：∵一元二次方程的两根为，，，故选：C．4．D【详解】解：∵，∴函数图像的顶点坐标是，故A选项不符合题意；∵，∴开口方向向下，当时，有最大值为7，故B选项不符合题意；∵，∴抛物线开口方向向下，对称轴为直线，故D选项符合题意；当时，随的增大而减小，故C选项不符合题意；故选：D．5．A【详解】解：与是以点为位似中心的位似图形，相似比为，点的坐标为，即，故选：A．6．B【详解】解：如图所示，

由图可知，，，.根据镜面的反射性质，∴，∴，，，.小菲的眼睛离地面高度为，同时量得小菲与镜子的水平距离为，镜子与旗杆的水平距离为，，，...故选：B.7．B【详解】解：∵正方形，，∴，∵正方形，，∴，∴，由题意得，∴，∴，即，解得，故选：B．8．B【详解】解：二次函数，∴二次函数图象开口向下，对称轴直线为，∴离对称轴直线越远，函数值越小，∵，，即点是顶点坐标，值最大，，即，∴，故选：B．9．B【详解】解：如图，过点P作，垂足为M，交于点N，则，设米，由得，，∵四边形是矩形，，，，即，，，，解得，，故选：B．10．B【详解】解：①x≤1时，两个三角形重叠面积为小三角形的面积，∴y==；②当1＜x≤2时，重叠三角形的边长为2﹣x，高为，y==；③当x=2时，两个三角形没有重叠的部分，即重叠面积为0，故选B．11．且【详解】解：由题意得，且x≠0，解得且x≠0，故答案为且x≠0．12．【详解】解：根据题意第一次降低后的售价是原来的那么第二次降低后的售价是原来的列方程得：故答案为：．13．4【详解】解：过点作于G，延长线交于点H，则，，∵菱形的边长为10，对角线相交于点O，，∴，∴，即：，∴，∴菱形面积为：，∴，即：，∵，∴，∵E为边的中点，∴，∴，∵，∴，故答案为：4．14．①②⑤【详解】解：①∵抛物线的开口向上，，∵抛物线与y轴交点在y轴的负半轴上，，由得，，，故①正确；②抛物线的对称轴为，，，，故②正确；③由抛物线的对称轴为，可知时和时的y值相等．由图知时，，∴时，．即．故③错误；④由图知时二次函数有最小值，，，故④错误；⑤由图象知函数图象与轴有两个不同的交点，∴，∴，故⑤正确．综上所述：正确的是①②⑤，故答案为：①②⑤．15．2【详解】解：设的长为，，，，，，；由勾股定理得：，点是边上一动点（不与点重合），，垂线段最短，当时，取得最小值，，，，，，，，，即，的最大值为2，故答案为：2．16．(1)7(2)【详解】（1）解：；（2）解：．17．(1)，；(2)，；(3)，．【详解】（1）解：，移项得：，配方得：，即，开方得：，解得：，；（2）解：，整理得：，因式分解得：，∴或，∴，；（3）解：，整理得：，因式分解得：，∴或，∴，．18．(1)(2)【详解】（1）由题意可得，数字1，1，2，3中，数字1有2个，所以，从袋中机摸出一个小球，则摸出的这个小球上标有的数字是1的概率为，故答案为：；（2）树状图如下：

由上可得，一共有16种等可能性，其中两数之积是偶数的可能性有7种，摸出的这两个小球上标有的数字之积是偶数的概率．19．(1)且；(2)此时的值为2，方程的另外一个根为．【详解】（1）解：由题意知，，所以.∵原方程有两个不相等的实数根，∴，解得，综上所述，的取值范围是且；（2）解：把代入原方程，得，解得，把代入原方程，得，解得，.∴此时的值为2，方程的另外一个根为．20．(1)证明：∵四边形是矩形，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴；(2)【详解】（1）略（2）解：∵四边形是矩形，∴，在中∵，，∴由（）知∴∵∴∴21．米【详解】解：如图所示，过点作于点，于点，则四边形是矩形，

依题意，，（米）在中，（米），（米），则（米）∵（米）∴（米）∵，∴（米）∴（米）．22．（1）；（2）；（3）．【详解】解：（1）∵的图象过点，，∴解得∴（2）由（1）得，二次函数对称轴为∴当时，y的最大值为(-2)