2025年甘肃省高数二专升本考试真题及答案

2025年甘肃省高数二专升本考试练习题及答案一、选择题（每题5分，共25分）

1.设函数f(x)=e^x2x，则f(x)在x=0处的极值是（）

A.极大值1

B.极小值1

C.极大值2

D.极小值2

答案：B

解析：求导f'(x)=e^x2，令f'(x)=0，得x=ln2。f''(x)=e^x，f''(0)=1>0，故f(x)在x=0处取得极小值，f(0)=1。

2.设函数y=f(x)在x=x0处的切线方程为y=2x3，且f'(x0)=3，则f(x0)的值为（）

A.3

B.4

C.5

D.6

答案：D

解析：由题意知，切线斜率为2，即f'(x0)=2。又已知f'(x0)=3，故f(x0)=f(x0)f(x0)+3=3+3=6。

3.若函数y=f(x)在区间(a,b)内单调增加，则下列结论正确的是（）

A.f'(x)>0，x∈(a,b)

B.f'(x)<0，x∈(a,b)

C.f'(x)=0，x∈(a,b)

D.f'(x)≤0，x∈(a,b)

答案：A

解析：函数单调增加意味着函数的导数大于0。

4.设函数f(x)=x^33x^2+2x+1，求f(x)的单调区间。（）

A.(∞,1)和(2,+∞)

B.(∞,2)和(1,+∞)

C.(∞,1)和(1,2)

D.(∞,2)和(2,+∞)

答案：A

解析：求导f'(x)=3x^26x+2。令f'(x)=0，得x=1和x=2。根据导数的正负，f(x)在(∞,1)和(2,+∞)单调增加。

5.设函数f(x)在区间(a,b)内连续，且f(a)=0，f(b)=1，则f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点的充分条件是（）

A.f'(x)>0，x∈(a,b)

B.f'(x)<0，x∈(a,b)

C.f(x)在(a,b)内单调

D.f(a)f(b)<0

答案：D

解析：根据零点定理，f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点的充分条件是f(a)f(b)<0。

二、填空题（每题5分，共25分）

1.函数f(x)=x^33x^2+4x1的拐点坐标为______。

答案：(1,1)

解析：求导f'(x)=3x^26x+4，令f'(x)=0，得x=1。求二阶导数f''(x)=6x6，f''(1)=0。故拐点坐标为(1,f(1))=(1,1)。

2.函数f(x)=e^xx^2在x=0处的泰勒展开式的前三项为______。

答案：1+xx^2/2

解析：f(x)在x=0处的泰勒展开式为f(0)+f'(0)x+f''(0)x^2/2+...。计算f(0)=1，f'(0)=1，f''(0)=2。故前三项为1+xx^2/2。

3.设函数f(x)=x^36x^2+9x1，求f(x)的极值点坐标为______。

答案：(2,3)

解析：求导f'(x)=3x^212x+9，令f'(x)=0，得x=1和x=3。计算f(1)和f(3)的值，得f(1)=3，f(3)=3。故极值点坐标为(2,3)。

4.函数y=f(x)在x=x0处的切线方程为y=3x5，且f'(x0)=4，则f(x0)的值为______。

答案：7

解析：由题意知，切线斜率为3，即f'(x0)=3。又已知f'(x0)=4，故f(x0)=f(x0)f(x0)+4=3+4=7。

5.设函数f(x)在区间(a,b)内连续，且f(a)=2，f(b)=5，则f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点的充分条件是______。

答案：f(a)f(b)<0

解析：根据零点定理，f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点的充分条件是f(a)f(b)<0。

三、解答题（共50分）

1.（10分）设函数f(x)=x^33x^2+2x+1，求f(x)的单调区间和极值。

解答：求导f'(x)=3x^26x+2。令f'(x)=0，得x=1和x=2。根据导数的正负，f(x)在(∞,1)和(2,+∞)单调增加，在(1,2)单调减少。计算f(1)=3，f(2)=1，故f(x)的极大值为3，极小值为1。

2.（15分）设函数f(x)=e^x2x，求f(x)的极值点及对应的极值。

解答：求导f'(x)=e^x2，令f'(x)=0，得x=ln2。计算f(ln2)=2ln2。由于f''(x)=e^x，f''(ln2)>0，故f(x)在x=ln2处取得极小值，极小值为2ln2。

3.（15分）设函数f(x)=x^33x^2+4x1，求f(x)的拐点坐标。

解答：求导f'(x)=3x^26x+4，令f'(x)=0，得x=1。求二阶导数f''(x)=6x6，f''(1)=0。故拐点坐标为(1,f(1))=(1,1)。

4.（10分）设函数f(x)=e^xx^2，求f(x)在x